解析数学奥赛历年考试试题及答案

解析数学奥赛历年考试试题及答案

一、单选题

1.已知函数fx=x^2-2ax+2在x=1时的最小值为1，则a的值为（）（2分）A.1B.2C.-1D.0【答案】B【解析】fx在x=1时的最小值为1，则f1=1-2a+2=1，解得a=

22.在△ABC中，若AB=AC，且∠BAC=120°，则cosB的值为（）（2分）A.1/2B.-1/2C.sqrt3/2D.-sqrt3/2【答案】C【解析】由等腰三角形的性质可知∠ABC=∠ACB=180°-120°/2=30°，所以cosB=sqrt3/

23.已知实数x满足x^2-4x+30，则|x-2|的取值范围是（）（2分）A.0,1B.1,2C.2,3D.3,4【答案】B【解析】由不等式x^2-4x+30解得1x3，因此|x-2|的取值范围是1,

24.设集合A={x|x^2-3x+2=0}，B={x|x=2k+1，k∈Z}，则A∩B等于（）（2分）A.{1}B.{2}C.{1,3}D.{2,4}【答案】A【解析】解方程x^2-3x+2=0得x=1或x=2，所以A={1,2}又因为B为奇数集，所以A∩B={1}

5.在直角坐标系中，点Pa,b关于y轴对称的点的坐标是（）（2分）A.-a,bB.a,-bC.-a,-bD.a,b【答案】A【解析】点Pa,b关于y轴对称的点的坐标是-a,b

6.若一个圆锥的底面半径为3，母线长为5，则它的侧面积是（）（2分）A.15πB.24πC.30πD.36π【答案】A【解析】圆锥的侧面积公式为πrl，其中r=3，l=5，所以侧面积为15π

7.在△ABC中，若sinA=3/5，cosA=4/5，且BC=10，则AB的长度是（）（2分）A.6B.8C.10D.12【答案】B【解析】由正弦定理可得AB/sinB=BC/sinA，又因为sinB=sqrt1-cos^2A=3/5，所以AB=BCsinB/sinA=103/5/3/5=

88.函数y=2^x+1的反函数是（）（2分）A.y=2^x-1B.y=2^1-xC.lnx+1D.ln2x-1【答案】D【解析】令y=2^x+1，则x=log2y-1，反函数为y=ln2x-

19.在等差数列{a_n}中，若a_1=2，d=3，则a_5的值是（）（2分）A.10B.13C.16D.19【答案】B【解析】等差数列的通项公式为a_n=a_1+n-1d，所以a_5=2+5-13=

1310.若圆O的方程为x^2+y^2-4x+6y-3=0，则圆心O的坐标是（）（2分）A.2,-3B.-2,3C.2,3D.-2,-3【答案】C【解析】圆的标准方程为x-a^2+y-b^2=r^2，将原方程配方得x-2^2+y+3^2=16，所以圆心坐标为2,-3

二、多选题（每题4分，共20分）

1.以下哪些函数是偶函数？（）A.y=x^2B.y=cosxC.y=x^3D.y=1/xE.y=|x|【答案】A、B、E【解析】偶函数满足f-x=fxy=x^2和y=cosx是偶函数，y=|x|也是偶函数y=x^3和y=1/x不是偶函数

2.以下不等式成立的是？（）A.-2^3-1^2B.2^-32^-2C.3^03^1D.

0.2^

50.2^3E.log_23log_32【答案】C、D、E【解析】-2^3=-8，-1^2=1，所以A不成立2^-3=1/8，2^-2=1/4，所以B不成立3^0=1，3^1=3，所以C成立

0.2^

50.2^3，所以D不成立log_231，log_321，所以E成立

3.以下哪些图形是中心对称图形？（）A.等腰梯形B.矩形C.菱形D.正五边形E.圆【答案】B、C、E【解析】矩形、菱形和圆是中心对称图形等腰梯形和正五边形不是中心对称图形

4.以下哪些数是有理数？（）A.√4B.πC.

0.

1010010001...D.1/3E.

0.23【答案】A、D、E【解析】√4=2是有理数π是无理数

0.

1010010001...是无理数1/3和

0.23都是有理数

5.以下哪些命题是真命题？（）A.同位角相等B.对顶角相等C.平行线的同旁内角互补D.三角形内角和为180°E.四边形内角和为360°【答案】B、C、D、E【解析】同位角相等的前提是两条直线平行，所以A是假命题对顶角相等是真命题平行线的同旁内角互补是真命题三角形内角和为180°是真命题四边形内角和为360°是真命题

三、填空题

1.若函数fx=ax^2+bx+c的图像经过点1,0，2,0，且对称轴为x=-1，则a+b+c的值为______（4分）【答案】-2【解析】由题意可知1和2是方程ax^2+bx+c=0的两根，所以f1=a+b+c=0，f2=4a+2b+c=0又因为对称轴为x=-1，所以-2a+b=0解得a=1/2，b=1，c=-3/2，所以a+b+c=-

22.在直角三角形中，若两条直角边的长度分别为3和4，则斜边的长度是______（4分）【答案】5【解析】由勾股定理可知斜边长度为sqrt3^2+4^2=

53.若等比数列{a_n}中，a_1=2，a_4=16，则公比q的值为______（4分）【答案】2【解析】等比数列的通项公式为a_n=a_1q^n-1，所以a_4=a_1q^3，即16=2q^3，解得q=

24.在△ABC中，若AB=AC=5，BC=6，则△ABC的面积是______（4分）【答案】12【解析】作高AD，则AD=3，所以△ABC的面积为1/2BCAD=1/263=

125.若圆O的方程为x^2+y^2-2x+4y-3=0，则圆的半径R的值是______（4分）【答案】4【解析】圆的标准方程为x-a^2+y-b^2=R^2，将原方程配方得x-1^2+y+2^2=16，所以半径R=4

四、判断题（每题2分，共10分）

1.若ab，则a^2b^2（）【答案】（×）【解析】如a=1，b=-2，则ab但a^2b^

22.所有等腰三角形都是相似三角形（）【答案】（×）【解析】等腰三角形的底角不一定相等，所以不一定相似

3.若函数fx在区间a,b上单调递增，则fx在a,b上是增函数（）【答案】（√）【解析】根据单调函数的定义，fx在a,b上单调递增即为增函数

4.若圆O的方程为x^2+y^2-4x+6y-3=0，则圆心O在第三象限（）【答案】（×）【解析】圆心坐标为2,-3，在第四象限

5.若等差数列{a_n}的前n项和为S_n，则S_n是关于n的一次函数（）【答案】（×）【解析】等差数列的前n项和公式为S_n=n/22a_1+n-1d，是关于n的二次函数

五、简答题（每题4分，共12分）

1.已知函数fx=x^2-2x+3，求f2的值【答案】f2=2^2-22+3=3【解析】将x=2代入函数fx得f2=2^2-22+3=

32.在△ABC中，若∠A=60°，∠B=45°，且BC=10，求AB的长度【答案】AB=10sqrt2/2=5sqrt2【解析】由内角和定理可知∠C=75°，由正弦定理可得AB/BC=sinC/sinA，即AB/10=sin75°/sin60°，所以AB=10sin75°/sin60°=10sqrt6+sqrt2/42/sqrt3=5sqrt

23.在等比数列{a_n}中，若a_1=3，a_3=12，求a_5的值【答案】a_5=48【解析】等比数列的公比q=a_3/a_1^1/2=12/3^1/2=2，所以a_5=a_1q^4=32^4=48

六、分析题（每题10分，共20分）

1.已知函数fx=x^2-4x+3，求fx的顶点坐标和开口方向【答案】顶点坐标为2,-1，开口向上【解析】函数fx的标准形式为fx=x-2^2-1，所以顶点坐标为2,-1因为二次项系数为正，所以开口向上

2.已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n=3n^2-2n，求该数列的通项公式a_n【答案】a_n=6n-5【解析】等差数列的通项公式为a_n=a_1+n-1d由S_n=3n^2-2n得a_1=S_1=1，d=S_2-S_1=4，所以a_n=1+n-14=6n-5

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.已知圆O的方程为x^2+y^2-6x+4y-12=0，求圆的半径R和圆心O到直线3x-4y+5=0的距离d【答案】R=5，d=1【解析】圆的标准方程为x-3^2+y+2^2=25，所以半径R=5圆心O到直线3x-4y+5=0的距离公式为d=|33-4-2+5|/sqrt3^2+-4^2=

12.已知函数fx=2^x+1，求fx的反函数f^-1x及其定义域和值域【答案】f^-1x=log_2x-1，定义域为1,∞，值域为R【解析】令y=2^x+1，则x=log_2y-1，反函数为f^-1x=log_2x-1定义域为x-10，即x1；值域为y1，即1,∞---标准答案

一、单选题

1.B

2.C

3.B

4.A

5.A

6.A

7.B

8.D

9.B

10.C

二、多选题

1.A、B、E

2.C、D、E

3.B、C、E

4.A、D、E

5.B、C、D、E

三、填空题

1.-

22.

53.

24.

125.4

四、判断题

1.×

2.×

3.√

4.×

5.×

五、简答题

1.

32.5sqrt

23.48

六、分析题

1.顶点坐标为2,-1，开口向上

2.a_n=6n-5

七、综合应用题

1.R=5，d=

12.f^-1x=log_2x-1，定义域为1,∞，值域为R。