重庆一诊数学试题全览和答案揭晓

重庆一诊数学试题全览和答案揭晓

一、单选题（每题2分，共20分）

1.若集合A={x|x²-3x+2=0}，B={x|x²-ax+1=0}，且A∪B={1,2}，则实数a的值为（）（2分）A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】由A={1,2}，若B={1}，则a=2；若B={2}，则a=2；若B={1,2}，则a=3综上a=

32.函数fx=lgx²-2x+3的定义域为（）（2分）A.0,3B.-∞,0∪3,+∞C.RD.1,2【答案】C【解析】x²-2x+3=x-1²+2≥2，定义域为R

3.已知向量a=1,2，b=-2,3，则向量2a+b的坐标为（）（2分）A.-3,7B.3,-7C.-4,7D.4,-7【答案】A【解析】2a+b=2,4+-2,3=-3,

74.若复数z=1+i满足z²+2bz+c=0（b,c∈R），则c的值为（）（2分）A.2B.3C.4D.5【答案】C【解析】z²=2i，2bz=2bi，c=1，2i+2bi+1=0，解得b=-1，c=

45.抛掷两枚质地均匀的骰子，记事件A为“点数之和大于9”，则事件A的概率为（）（2分）A.1/6B.1/12C.5/36D.7/36【答案】A【解析】基本事件共36个，A包含4,6,5,5,6,4,5,6,6,5,6,6共6个，PA=6/36=1/

66.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a,b,c，若a²=b²+c²-bc，则角B的大小为（）（2分）A.30°B.45°C.60°D.90°【答案】B【解析】a²=b²+c²-bc=b²+c²-2bccosA=b²+c²-2bccos60°，则cosA=1/2，A=60°，B=45°

7.已知直线l1:ax+2y-1=0与直线l2:3x-y+4=0平行，则实数a的值为（）（2分）A.-3B.3C.6/5D.-6/5【答案】D【解析】两直线平行则斜率相等，即-a/2=-3，解得a=6/

58.已知函数fx=sinωx+φ（ω0）的最小正周期为π，且fπ/4=√2/2，则φ的值为（）（2分）A.π/4B.3π/4C.π/2D.0【答案】A【解析】周期T=2π/ω=π，ω=2，fπ/4=sinπ/2+φ=√2/2，得φ=π/

49.设fx为定义在R上的奇函数，且当x0时fx=x²-2x，则当x0时fx的表达式为（）（2分）A.x²+2xB.-x²-2xC.x²-2xD.-x²+2x【答案】B【解析】由f-x=-fx，当x0时fx=-f-x=--x²-2-x=-x²-2x

10.已知数列{a_n}的前n项和为S_n，若a_1=1，且S_n=2a_n-1，则a_3的值为（）（2分）A.4B.5C.6D.7【答案】C【解析】S_n-S_{n-1}=a_n=2a_n-2a_{n-1}，a_n=2a_{n-1}，a_2=2，a_3=4

二、多选题（每题4分，共20分）

1.下列命题中正确的有（）（4分）A.空集是任何集合的真子集B.若ab，则a²b²C.若fx是奇函数，则f0=0D.若sinα=sinβ，则α=βE.若直线l1垂直于直线l2，则l1的斜率k1与l2的斜率k2满足k1k2=-1【答案】C、E【解析】A错，空集是任何非空集合的真子集；B错，如a=1b=-2；C对，奇函数图像过原点；D错，α=β+2kπ或α=π-β+2kπ；E对，l1垂直l2时斜率乘积为-

12.在△ABC中，下列条件中能确定△ABC的充分条件有（）（4分）A.sinA/sinB=c/bB.a²+b²=c²C.a/b=c/tanBD.cosC=a²+b²-c²/2abE.2RsinA=2RsinB【答案】A、D、E【解析】A为正弦定理；B为勾股定理，仅适用于直角三角形；C不能确定三角形；D为余弦定理；E为正弦定理

3.关于x的方程x²+px+q=0（p,q∈R）的根的情况，下列说法正确的有（）（4分）A.若△0，则方程无实根B.若△=0，则方程有一重根C.若△0且p0，则两根均为负D.若△0且p0，则两根均为正E.若两根异号，则pq0【答案】A、B、E【解析】A对，判别式小于0无实根；B对，判别式等于0有一重根；C错，两根和为-p，若p0则两根异号；D错，两根和为-p，若p0则两根异号；E对，两根异号则乘积为负

4.函数y=fx的图像经过点1,2，且满足fx+y=fx+fy对任意x,y∈R成立，则下列说法正确的有（）（4分）A.f0=0B.f1=2C.f-1=-2D.f2=4E.fx为奇函数【答案】A、B、C、D【解析】令x=y=0，f0=2f0，得f0=0；令y=1，fx+1=fx+f1，得fx+1=fx+2，f2=f1+f1=4；f-x=f-x+0=f-x+f0，得f-x=-fx，fx为奇函数，f-1=-f1=-

25.已知点A1,2，B3,0，C为直线y=x上的动点，则△ABC面积的最小值为（）（4分）A.1/2B.√2/2C.1D.√3/2E.2【答案】B、C【解析】设Ct,t，BC边上的高为|t-1|，底BC=√2²+-t²=√t²+4，面积S=1/2BC|t-1|=t²+4^1/2|t-1|，当t=0时S取最小值√2/2

三、填空题（每题4分，共20分）

1.在等差数列{a_n}中，若a_5=10，a_10=25，则该数列的通项公式为a_n=______（4分）【答案】a_n=3n-5【解析】设首项为a_1，公差为d，a_5=a_1+4d=10，a_10=a_1+9d=25，解得a_1=2，d=3/2，a_n=2+n-13/2=3n-5/

22.已知点P在曲线C:x²/9+y²/4=1上运动，则点P到直线l:2x+3y-6=0的距离的最小值为______（4分）【答案】2【解析】直线l可化为x/3+y/2=1，半长轴a=3，半短轴b=2，c=√13，焦点F1-√13,0，直线l到F1的距离d=|-2√13-6|/√13=2√13+6/√13=2，最小值为

23.已知函数fx=x³-3x+1，则函数在区间[-2,2]上的最大值为______，最小值为______（4分）【答案】8；-2【解析】fx=3x²-3，令fx=0，得x=±1，f-2=-1，f-1=3，f1=-1，f2=8，最大值8，最小值-

24.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a,b,c，若a=2，b=√7，c=3，则cosB的值为______（4分）【答案】2/3【解析】由余弦定理cosB=a²+c²-b²/2ac=4+9-7/223=6/12=1/2，故cosB=2/

35.已知函数y=fx在区间[0,1]上的图像如右图所示，则函数fx在区间[0,1]上的定积分______（4分）【答案】1/2【解析】由图像可知fx在[0,1]上为直线y=2x，定积分为面积S=1/2底高=1/211=1/2

四、判断题（每题2分，共10分）

1.若ab，则fx=ax²+bx+c的图像开口方向一定向上（）（2分）【答案】（×）【解析】若b0，则开口向下，如a=1b=0时fx=x²，开口向上；a=1b=-2时fx=x²-2x，开口向下

2.若复数z满足|z|=1，则z²一定是实数（）（2分）【答案】（√）【解析】设z=a+bi，|z|=√a²+b²=1，z²=a+bi²=a²-b²+2abi，若z²为实数，则2ab=0，由|z|=1，得a²+b²=1，ab=0，则z为±

13.若函数fx在区间I上单调递增，则对任意x1,x2∈I，有fx1≤fx2（）（2分）【答案】（√）【解析】单调递增定义即为对任意x1x2，有fx1≤fx

24.若样本数据x1,x2,...,xn的平均数为x，则样本方差s²=x1-x²+x2-x²+...+xn-x²/n（）（2分）【答案】（√）【解析】样本方差定义即为s²=1/nΣxi-x²

5.若直线l1与直线l2的斜率乘积为-1，则l1与l2一定垂直（）（2分）【答案】（√）【解析】l1垂直l2的定义即为斜率乘积为-1

五、简答题（每题5分，共15分）

1.已知函数fx=x²-2x+3，求函数在区间[-1,3]上的最大值和最小值（5分）【答案】最大值4，最小值2【解析】fx=2x-2，令fx=0，得x=1，f-1=6，f1=2，f3=6，最大值max{6,6}=4，最小值min{6,2}=

22.已知等比数列{a_n}的前n项和为S_n，若a_1=1，q≠1，且S_3=4，求q的值（5分）【答案】q=2【解析】S_3=a_11-q³/1-q=1-q³/1-q=4，解得q=

23.已知△ABC中，角A、B、C的对边分别为a,b,c，且满足a²+b²+c²=ab+bc+ca，求角C的大小（5分）【答案】C=60°【解析】由a²+b²+c²=ab+bc+ca，得2a²+2b²+2c²=2ab+2bc+2ca，即a-b²+b-c²+c-a²=0，得a=b=c，C=60°

六、分析题（每题10分，共20分）

1.已知函数fx=|x-1|+|x+2|，求函数fx的最小值及取得最小值时的x值（10分）【答案】最小值3，取得最小值时x∈[-2,1]【解析】fx图像为折线段，x∈-∞,-2时fx=-2x-1，x∈[-2,1]时fx=3，x∈1,+∞时fx=2x+1，最小值为3，取得最小值时x∈[-2,1]

2.已知函数fx=sin²x+2cosx-1，求函数fx的最大值和最小值（10分）【答案】最大值2，最小值-3/2【解析】fx=1-cos²x+2cosx-1=-cos²x+2cosx=-（cosx-1）²+1，令t=cosx，t∈[-1,1]，gt=-t²+2t，gtmax=1，min=-3/2

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a,b,c，若a=3，b=√7，c=2，求△ABC的面积及角A的大小（25分）【答案】面积√3，角A=60°【解析】由余弦定理cosA=3²+2²-7/232=1/2，A=60°，S=1/2bcsinA=1/223√3/2=√

32.已知函数fx=x³-3x²+2x，求函数的极值及单调区间（25分）【答案】极大值1，极小值0，增区间-∞,0,2,+∞，减区间0,2【解析】fx=3x²-6x+2=3x-1/3²-1/3，令fx=0，得x=1/3，f1/3=1，f0=0，f2=0，极大值1，极小值0，增区间-∞,1/3,1/3,+∞，减区间1/3,2，即0,2---标准答案

一、单选题

1.C

2.C

3.A

4.C

5.A

6.B

7.D

8.A

9.B

10.C

二、多选题

1.C、E

2.A、D、E

3.A、B、E

4.A、B、C、D

5.B、C

三、填空题

1.3n-

52.

23.8；-

24.2/

35.1/2

四、判断题

1.（×）

2.（√）

3.（√）

4.（√）

5.（√）

五、简答题

1.最大值4，最小值

22.q=

23.C=60°

六、分析题

1.最小值3，取得最小值时x∈[-2,1]

2.最大值2，最小值-3/2

七、综合应用题

1.面积√3，角A=60°

2.极大值1，极小值0，增区间-∞,0,2,+∞，减区间0,2。