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高三函数综合试题解析与答案汇总
一、单选题(每题2分,共20分)
1.函数fx=x³-ax+1在x=1处取得极值,则a的值为()(2分)A.3B.2C.1D.0【答案】A【解析】fx=3x²-a,令f1=0,得3-a=0,解得a=
32.函数fx=log₃x²-2x+3的定义域为()(2分)A.-∞,1∪1,+∞B.[1,3]C.RD.-1,3【答案】C【解析】x²-2x+30对所有实数x恒成立,故定义域为R
3.函数fx=sin2x+cos2x的最小正周期为()(2分)A.πB.2πC.π/2D.4π【答案】A【解析】fx=√2sin2x+π/4,周期T=2π/|ω|=π
4.函数fx=e^x-1与gx=x³在-1,1上的图象关于y=x对称的是()(2分)A.fxB.gxC.两函数都对称D.都不对称【答案】A【解析】fx的反函数为y=lnx+1,与y=x在-1,1相交
5.函数fx=|x-1|+|x+2|的最小值为()(2分)A.1B.3C.0D.-3【答案】B【解析】分段函数fx={3-x,x-2{1,-2≤x≤1{x+3,x1最小值为1(当x=1时)
6.函数fx=2cos²x-sin2x的最小正周期为()(2分)A.πB.2πC.π/2D.4π【答案】A【解析】fx=1+cos2x-sin2x,周期T=2π/|ω|=π
7.函数fx=x²-ax+1在1,+∞上单调递增,则a的取值范围是()(2分)A.a≤2B.a≥2C.a≤-2D.a≥-2【答案】A【解析】fx=2x-a≥0在1,+∞上恒成立,需a≤
28.函数fx=sinx+π/6+cosx-π/3的最小正周期为()(2分)A.πB.2πC.π/2D.4π【答案】B【解析】fx=√3sinx,周期T=2π/|ω|=2π
9.函数fx=x³-3x在-2,2上的极值点个数为()(2分)A.0B.1C.2D.3【答案】C【解析】fx=3x²-3,令fx=0得x=±1,有两个极值点
10.函数fx=arcsinx+arccosx的值域为()(2分)A.[0,π]B.-π/2,π/2C.[0,π/2]D.R【答案】C【解析】fx=π/2,值域为{π/2},即[0,π/2]
二、多选题(每题4分,共20分)
1.下列函数中,在区间0,π上单调递减的是()(4分)A.fx=cosxB.fx=-x²C.fx=log₂xD.fx=sinx【答案】B、C【解析】fx=-x²在0,π上单调递减,fx=log₂x在0,π上单调递增
2.函数fx=|x-1|+|x+2|的图象具有的性质有()(4分)A.奇函数B.偶函数C.关于x=-
1.5对称D.关于原点对称【答案】B、C【解析】fx是偶函数,f-x=fx,对称轴为x=-
1.
53.函数fx=sinωx+φ的图象向左平移π/ω个单位后与原图象重合,则()(4分)A.φ=kπB.φ=kπ/2C.ω为正整数D.ω为偶数【答案】A、C【解析】平移周期T=2π/|ω|,需π/ω是周期整数倍,φ=kπ
4.函数fx=e^x-ax在x=1处取得极值,则()(4分)A.a=eB.f1=0C.fx在0,+∞上单调递增D.fx在R上无极值【答案】A、C【解析】f1=e-a=0得a=e,fx=e^x-e0在0,+∞上
5.函数fx=sin²x-sinx+1的最小值为()(4分)A.0B.1C.-1D.3/4【答案】D【解析】令t=sinx,ft=t²-t+1,最小值为1/2²-1/2+1=3/4
三、填空题(每题4分,共20分)
1.函数fx=sin2x+cos2x的最小正周期为______(4分)【答案】π【解析】fx=√2sin2x+π/4,周期T=2π/|ω|=π
2.函数fx=|x-1|+|x+2|的值域为______(4分)【答案】[3,+∞【解析】fx最小值为3(当x=-
1.5时),值域为[3,+∞
3.函数fx=x³-ax+1在x=1处取得极值,则a=______(4分)【答案】3【解析】f1=3-a=0,解得a=
34.函数fx=arcsinx+arccosx的值域为______(4分)【答案】[0,π/2]【解析】fx=π/2,值域为{π/2},即[0,π/2]
5.函数fx=e^x-ax在x=1处取得极值,则fx在0,+∞上的单调性为______(4分)【答案】单调递增【解析】fx=e^x-e0在0,+∞上,故单调递增
四、判断题(每题2分,共10分)
1.函数fx=sinx+cosx的最小正周期为π()(2分)【答案】(√)【解析】fx=√2sinx+π/4,周期T=2π/|ω|=π
2.函数fx=x³-3x在-2,2上必有极值点()(2分)【答案】(√)【解析】fx=3x²-3,令fx=0得x=±1,有两个极值点
3.函数fx=|x|在R上单调递增()(2分)【答案】(×)【解析】|x|在-∞,0上单调递减,在0,+∞上单调递增
4.函数fx=sin²x-sinx+1的最小值为1()(2分)【答案】(×)【解析】fx的最小值为3/4(当sinx=1/2时)
5.函数fx=arcsinx+arccosx是奇函数()(2分)【答案】(×)【解析】fx=π/2,是偶函数
五、简答题(每题4分,共12分)
1.求函数fx=x³-3x+2的单调区间和极值点(4分)【答案】fx=3x²-3=3x-1x+1令fx=0得x=±1当x∈-∞,-1时,fx0,递增当x∈-1,1时,fx0,递减当x∈1,+∞时,fx0,递增极大值点x=-1,极大值f-1=4极小值点x=1,极小值f1=
02.函数fx=sin2x+cos2x的最小正周期是多少?图象有何特征?(4分)【答案】fx=√2sin2x+π/4最小正周期T=2π/|ω|=2π/2=π图象特征
(1)周期为π
(2)振幅为√2
(3)相位为π/4
(4)图象关于直线x=π/8+kπ/2(k∈Z)对称
3.函数fx=e^x-ax在x=1处取得极值,求a的值并判断fx的单调性(4分)【答案】fx=e^x-a令f1=0得e-a=0,解得a=efx=e^x-e当x∈0,+∞时,e^xe,fx0,递增当x∈-∞,0时,e^xe,fx0,递减故fx在0,+∞上单调递增,在-∞,0上单调递减
六、分析题(每题10分,共20分)
1.已知函数fx=x³-ax²+bx在x=1和x=2处取得极值,求a、b的值并分析fx的单调性(10分)【答案】fx=3x²-2ax+b由题意得f1=0且f2=0即3-2a+b=0
①12-4a+b=0
②解
①②得a=3,b=-3fx=3x²-6x+3=3x-1²当x∈-∞,1∪1,+∞时,fx0,递增当x∈1,1时,fx=0,无变化故fx在R上单调递增,x=1处有拐点
2.函数fx=sin²x-sinx+1的最小正周期是多少?求其值域并分析图象特征(10分)【答案】fx=sin²x-sinx+1令t=sinx,则y=t²-t+1y=t-1/2²+3/4最小正周期T=2π/|ω|=2π值域为[3/4,+∞图象特征
(1)周期为2π
(2)对称轴为x=π/2+kπ(k∈Z)
(3)最小值3/4(当sinx=1/2时)
(4)在[π/2,3π/2]上取得最小值
(5)在[0,π/2∪3π/2,2π]上单调递增
七、综合应用题(每题25分,共50分)
1.已知函数fx=x³-ax²+bx-1,若fx在x=1处取得极大值,在x=3处取得极小值,且f1+f3=0
(1)求a、b的值;
(2)求fx的单调区间和极值;
(3)若方程fx=0在1,3上有解,求a的取值范围(25分)【答案】
(1)fx=3x²-2ax+b由题意得f1=0且f3=0即3-2a+b=0
①27-6a+b=0
②解
①②得a=6,b=-9又f1+f3=0即1-6+b-1+27-18+9-1=0解得b=-9故a=6,b=-9
(2)fx=3x²-12x+9=3x-1x-3当x∈-∞,1时,fx0,递增当x∈1,3时,fx0,递减当x∈3,+∞时,fx0,递增极大值点x=1,极大值f1=1-6+9-1=3极小值点x=3,极小值f3=27-54-27-1=-55
(3)若方程fx=0在1,3上有解,则f1f30即3-550恒成立故a的取值范围为R
2.已知函数fx=sinωx+cosωx的最小正周期为π,且在x=π/4处取得最大值√2
(1)求ω的值;
(2)求fx的解析式并分析图象特征;
(3)若直线y=kx+1与fx的图象恰有两个交点,求k的取值范围(25分)【答案】
(1)fx=√2sinωx+π/4最小正周期T=2π/|ω|=π,解得|ω|=2又fπ/4=√2,即√2sinωπ/4+π/4=√2sinωπ/4+π/4=1ωπ/4+π/4=π/2+2kπ解得ω=1-8k取ω=2(最小正整数)
(2)fx=√2sin2x+π/4图象特征
(1)周期为π
(2)振幅为√2
(3)相位为π/4
(4)图象关于直线x=π/8+kπ/2(k∈Z)对称
(5)最大值√2(当2x+π/4=π/2+2kπ时)
(6)最小值-√2(当2x+π/4=3π/2+2kπ时)
(3)令gx=fx-kx-1=√2sin2x+π/4-kx-1由题意知gx恰有两个零点即直线y=kx+1与半周期图象有两个交点当k=0时,恰有一个交点当k0时,需k≤√2/2当k0时,需k≥-√2/2故k的取值范围为-√2/2,√2/2---完整标准答案(最后一页)
一、单选题
1.A
2.C
3.A
4.A
5.B
6.A
7.A
8.B
9.C
10.C
二、多选题
1.B、C
2.B、C
3.A、C
4.A、C
5.D
三、填空题
1.π
2.[3,+∞
3.
34.[0,π/2]
5.单调递增
四、判断题
1.√
2.√
3.×
4.×
5.×
五、简答题
1.单调区间-∞,-1递增,-1,1递减,1,+∞递增;极值点x=-1(极大值4),x=1(极小值0)
2.最小正周期π;图象特征周期为π,振幅为√2,相位为π/4,关于直线x=π/8+kπ/2对称
3.a=e;单调性0,+∞递增,-∞,0递减
六、分析题
1.a=6,b=-9;单调区间-∞,1递增,1,3递减,3,+∞递增;极值点x=1(极大值3),x=3(极小值-55)
2.最小正周期2π;值域[3/4,+∞;图象特征周期为2π,对称轴x=π/2+kπ,最小值3/4,[π/2,3π/2]上最小,[0,π/2∪3π/2,2π]上递增
七、综合应用题
1.
(1)a=6,b=-9;
(2)单调区间-∞,1递增,1,3递减,3,+∞递增;极值点x=1(极大值3),x=3(极小值-55)
(3)a∈R
2.
(1)ω=2;
(2)fx=√2sin2x+π/4;图象特征周期π,振幅√2,相位π/4,关于x=π/8+kπ/2对称,最大值√2,最小值-√2
(3)k∈-√2/2,√2/2。
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