高三函数综合试题解析与答案汇总

高三函数综合试题解析与答案汇总

一、单选题（每题2分，共20分）

1.函数fx=x³-ax+1在x=1处取得极值，则a的值为（）（2分）A.3B.2C.1D.0【答案】A【解析】fx=3x²-a，令f1=0，得3-a=0，解得a=

32.函数fx=log₃x²-2x+3的定义域为（）（2分）A.-∞,1∪1,+∞B.[1,3]C.RD.-1,3【答案】C【解析】x²-2x+30对所有实数x恒成立，故定义域为R

3.函数fx=sin2x+cos2x的最小正周期为（）（2分）A.πB.2πC.π/2D.4π【答案】A【解析】fx=√2sin2x+π/4，周期T=2π/|ω|=π

4.函数fx=e^x-1与gx=x³在-1,1上的图象关于y=x对称的是（）（2分）A.fxB.gxC.两函数都对称D.都不对称【答案】A【解析】fx的反函数为y=lnx+1，与y=x在-1,1相交

5.函数fx=|x-1|+|x+2|的最小值为（）（2分）A.1B.3C.0D.-3【答案】B【解析】分段函数fx={3-x,x-2{1,-2≤x≤1{x+3,x1最小值为1（当x=1时）

6.函数fx=2cos²x-sin2x的最小正周期为（）（2分）A.πB.2πC.π/2D.4π【答案】A【解析】fx=1+cos2x-sin2x，周期T=2π/|ω|=π

7.函数fx=x²-ax+1在1,+∞上单调递增，则a的取值范围是（）（2分）A.a≤2B.a≥2C.a≤-2D.a≥-2【答案】A【解析】fx=2x-a≥0在1,+∞上恒成立，需a≤

28.函数fx=sinx+π/6+cosx-π/3的最小正周期为（）（2分）A.πB.2πC.π/2D.4π【答案】B【解析】fx=√3sinx，周期T=2π/|ω|=2π

9.函数fx=x³-3x在-2,2上的极值点个数为（）（2分）A.0B.1C.2D.3【答案】C【解析】fx=3x²-3，令fx=0得x=±1，有两个极值点

10.函数fx=arcsinx+arccosx的值域为（）（2分）A.[0,π]B.-π/2,π/2C.[0,π/2]D.R【答案】C【解析】fx=π/2，值域为{π/2}，即[0,π/2]

二、多选题（每题4分，共20分）

1.下列函数中，在区间0,π上单调递减的是（）（4分）A.fx=cosxB.fx=-x²C.fx=log₂xD.fx=sinx【答案】B、C【解析】fx=-x²在0,π上单调递减，fx=log₂x在0,π上单调递增

2.函数fx=|x-1|+|x+2|的图象具有的性质有（）（4分）A.奇函数B.偶函数C.关于x=-

1.5对称D.关于原点对称【答案】B、C【解析】fx是偶函数，f-x=fx，对称轴为x=-

1.

53.函数fx=sinωx+φ的图象向左平移π/ω个单位后与原图象重合，则（）（4分）A.φ=kπB.φ=kπ/2C.ω为正整数D.ω为偶数【答案】A、C【解析】平移周期T=2π/|ω|，需π/ω是周期整数倍，φ=kπ

4.函数fx=e^x-ax在x=1处取得极值，则（）（4分）A.a=eB.f1=0C.fx在0,+∞上单调递增D.fx在R上无极值【答案】A、C【解析】f1=e-a=0得a=e，fx=e^x-e0在0,+∞上

5.函数fx=sin²x-sinx+1的最小值为（）（4分）A.0B.1C.-1D.3/4【答案】D【解析】令t=sinx，ft=t²-t+1，最小值为1/2²-1/2+1=3/4

三、填空题（每题4分，共20分）

1.函数fx=sin2x+cos2x的最小正周期为______（4分）【答案】π【解析】fx=√2sin2x+π/4，周期T=2π/|ω|=π

2.函数fx=|x-1|+|x+2|的值域为______（4分）【答案】[3,+∞【解析】fx最小值为3（当x=-

1.5时），值域为[3,+∞

3.函数fx=x³-ax+1在x=1处取得极值，则a=______（4分）【答案】3【解析】f1=3-a=0，解得a=

34.函数fx=arcsinx+arccosx的值域为______（4分）【答案】[0,π/2]【解析】fx=π/2，值域为{π/2}，即[0,π/2]

5.函数fx=e^x-ax在x=1处取得极值，则fx在0,+∞上的单调性为______（4分）【答案】单调递增【解析】fx=e^x-e0在0,+∞上，故单调递增

四、判断题（每题2分，共10分）

1.函数fx=sinx+cosx的最小正周期为π（）（2分）【答案】（√）【解析】fx=√2sinx+π/4，周期T=2π/|ω|=π

2.函数fx=x³-3x在-2,2上必有极值点（）（2分）【答案】（√）【解析】fx=3x²-3，令fx=0得x=±1，有两个极值点

3.函数fx=|x|在R上单调递增（）（2分）【答案】（×）【解析】|x|在-∞,0上单调递减，在0,+∞上单调递增

4.函数fx=sin²x-sinx+1的最小值为1（）（2分）【答案】（×）【解析】fx的最小值为3/4（当sinx=1/2时）

5.函数fx=arcsinx+arccosx是奇函数（）（2分）【答案】（×）【解析】fx=π/2，是偶函数

五、简答题（每题4分，共12分）

1.求函数fx=x³-3x+2的单调区间和极值点（4分）【答案】fx=3x²-3=3x-1x+1令fx=0得x=±1当x∈-∞,-1时，fx0，递增当x∈-1,1时，fx0，递减当x∈1,+∞时，fx0，递增极大值点x=-1，极大值f-1=4极小值点x=1，极小值f1=

02.函数fx=sin2x+cos2x的最小正周期是多少？图象有何特征？（4分）【答案】fx=√2sin2x+π/4最小正周期T=2π/|ω|=2π/2=π图象特征

（1）周期为π

（2）振幅为√2

（3）相位为π/4

（4）图象关于直线x=π/8+kπ/2（k∈Z）对称

3.函数fx=e^x-ax在x=1处取得极值，求a的值并判断fx的单调性（4分）【答案】fx=e^x-a令f1=0得e-a=0，解得a=efx=e^x-e当x∈0,+∞时，e^xe，fx0，递增当x∈-∞,0时，e^xe，fx0，递减故fx在0,+∞上单调递增，在-∞,0上单调递减

六、分析题（每题10分，共20分）

1.已知函数fx=x³-ax²+bx在x=1和x=2处取得极值，求a、b的值并分析fx的单调性（10分）【答案】fx=3x²-2ax+b由题意得f1=0且f2=0即3-2a+b=0

①12-4a+b=0

②解

①②得a=3，b=-3fx=3x²-6x+3=3x-1²当x∈-∞,1∪1,+∞时，fx0，递增当x∈1,1时，fx=0，无变化故fx在R上单调递增，x=1处有拐点

2.函数fx=sin²x-sinx+1的最小正周期是多少？求其值域并分析图象特征（10分）【答案】fx=sin²x-sinx+1令t=sinx，则y=t²-t+1y=t-1/2²+3/4最小正周期T=2π/|ω|=2π值域为[3/4,+∞图象特征

（1）周期为2π

（2）对称轴为x=π/2+kπ（k∈Z）

（3）最小值3/4（当sinx=1/2时）

（4）在[π/2,3π/2]上取得最小值

（5）在[0,π/2∪3π/2,2π]上单调递增

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.已知函数fx=x³-ax²+bx-1，若fx在x=1处取得极大值，在x=3处取得极小值，且f1+f3=0

（1）求a、b的值；

（2）求fx的单调区间和极值；

（3）若方程fx=0在1,3上有解，求a的取值范围（25分）【答案】

（1）fx=3x²-2ax+b由题意得f1=0且f3=0即3-2a+b=0

①27-6a+b=0

②解

①②得a=6，b=-9又f1+f3=0即1-6+b-1+27-18+9-1=0解得b=-9故a=6，b=-9

（2）fx=3x²-12x+9=3x-1x-3当x∈-∞,1时，fx0，递增当x∈1,3时，fx0，递减当x∈3,+∞时，fx0，递增极大值点x=1，极大值f1=1-6+9-1=3极小值点x=3，极小值f3=27-54-27-1=-55

（3）若方程fx=0在1,3上有解，则f1f30即3-550恒成立故a的取值范围为R

2.已知函数fx=sinωx+cosωx的最小正周期为π，且在x=π/4处取得最大值√2

（1）求ω的值；

（2）求fx的解析式并分析图象特征；

（3）若直线y=kx+1与fx的图象恰有两个交点，求k的取值范围（25分）【答案】

（1）fx=√2sinωx+π/4最小正周期T=2π/|ω|=π，解得|ω|=2又fπ/4=√2，即√2sinωπ/4+π/4=√2sinωπ/4+π/4=1ωπ/4+π/4=π/2+2kπ解得ω=1-8k取ω=2（最小正整数）

（2）fx=√2sin2x+π/4图象特征

（1）周期为π

（2）振幅为√2

（3）相位为π/4

（4）图象关于直线x=π/8+kπ/2（k∈Z）对称

（5）最大值√2（当2x+π/4=π/2+2kπ时）

（6）最小值-√2（当2x+π/4=3π/2+2kπ时）

（3）令gx=fx-kx-1=√2sin2x+π/4-kx-1由题意知gx恰有两个零点即直线y=kx+1与半周期图象有两个交点当k=0时，恰有一个交点当k0时，需k≤√2/2当k0时，需k≥-√2/2故k的取值范围为-√2/2,√2/2---完整标准答案（最后一页）

一、单选题

1.A

2.C

3.A

4.A

5.B

6.A

7.A

8.B

9.C

10.C

二、多选题

1.B、C

2.B、C

3.A、C

4.A、C

5.D

三、填空题

1.π

2.[3,+∞

3.

34.[0,π/2]

5.单调递增

四、判断题

1.√

2.√

3.×

4.×

5.×

五、简答题

1.单调区间-∞,-1递增，-1,1递减，1,+∞递增；极值点x=-1（极大值4），x=1（极小值0）

2.最小正周期π；图象特征周期为π，振幅为√2，相位为π/4，关于直线x=π/8+kπ/2对称

3.a=e；单调性0,+∞递增，-∞,0递减

六、分析题

1.a=6，b=-9；单调区间-∞,1递增，1,3递减，3,+∞递增；极值点x=1（极大值3），x=3（极小值-55）

2.最小正周期2π；值域[3/4,+∞；图象特征周期为2π，对称轴x=π/2+kπ，最小值3/4，[π/2,3π/2]上最小，[0,π/2∪3π/2,2π]上递增

七、综合应用题

1.

（1）a=6，b=-9；

（2）单调区间-∞,1递增，1,3递减，3,+∞递增；极值点x=1（极大值3），x=3（极小值-55）

（3）a∈R

2.

（1）ω=2；

（2）fx=√2sin2x+π/4；图象特征周期π，振幅√2，相位π/4，关于x=π/8+kπ/2对称，最大值√2，最小值-√2

（3）k∈-√2/2,√2/2。