高中代数竞赛必备试题库及全解答案

高中代数竞赛必备试题库及全解答案

一、单选题（每题2分，共20分）

1.若复数z满足|z-2|=1，则z的模的最大值为（）（2分）A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】复数z在复平面上对应的点位于以（2，0）为圆心，半径为1的圆上，其模的最大值为2+1=

32.函数fx=lnx^2-2x+3的定义域为（）（2分）A.-∞,1∪1,+∞B.-∞,3∪3,+∞C.-1,+∞D.R【答案】D【解析】x^2-2x+3=x-1^2+2≥2，所以fx的定义域为R

3.抛物线y^2=2pxp0的焦点到准线的距离为（）（2分）A.pB.2pC.p/2D.2p/3【答案】A【解析】抛物线的焦点为p/2,0，准线方程为x=-p/2，焦点到准线的距离为p

4.若函数fx是定义在R上的奇函数，且f1=1，则f-1的值为（）（2分）A.1B.-1C.0D.不存在【答案】B【解析】由奇函数的定义，f-x=-fx，所以f-1=-f1=-

15.已知等差数列{a_n}中，a_1=2，a_2=5，则a_5的值为（）（2分）A.8B.10C.12D.15【答案】C【解析】等差数列的公差d=a_2-a_1=3，所以a_5=a_1+4d=2+12=

146.函数fx=|x-1|+|x+2|的最小值为（）（2分）A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】fx表示数轴上点x到点1和点-2的距离之和，最小值为1--2=

37.已知三角形ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a=3，b=4，c=5，则角C的大小为（）（2分）A.30°B.45°C.60°D.90°【答案】D【解析】由勾股定理知，三角形ABC为直角三角形，直角位于角C处

8.函数fx=e^x-1/x在x→0时的极限为（）（2分）A.0B.1C.∞D.-1【答案】B【解析】利用洛必达法则，limx→0e^x-1/x=limx→0e^x+1/x^2=

19.已知圆O的半径为r，圆心到直线l的距离为d，则直线l与圆O的位置关系是（）（2分）A.相离B.相切C.相交D.不确定【答案】C【解析】若dr，则直线与圆相交

10.函数fx=sinx+π/6-cosx+π/3的最小正周期为（）（2分）A.2πB.πC.2π/3D.π/3【答案】A【解析】fx的最小正周期为sinx和cosx的最小正周期的最小公倍数，即2π

二、多选题（每题4分，共20分）

1.下列函数中，在区间0,1上单调递增的有（）（4分）A.fx=x^2B.fx=lnxC.fx=e^xD.fx=1/x【答案】A、B、C【解析】fx=x^2在0,1上单调递增，fx=lnx在0,1上单调递增，fx=e^x在R上单调递增，fx=1/x在0,1上单调递减

2.下列命题中，正确的有（）（4分）A.若ab，则a^2b^2B.若ab，则lnalnbC.若ab0，则√a√bD.若ab0，则1/a1/b【答案】C、D【解析】A不一定正确，B不正确，C正确，D正确

3.下列函数中，是奇函数的有（）（4分）A.fx=x^3B.fx=sinxC.fx=cosxD.fx=tanx【答案】A、B、D【解析】fx=x^3是奇函数，fx=sinx是奇函数，fx=cosx是偶函数，fx=tanx是奇函数

4.下列数列中，是等比数列的有（）（4分）A.{a_n}中，a_n=a_n-1×2B.{a_n}中，a_n=a_n-1+2C.{a_n}中，a_n=2^nD.{a_n}中，a_n=n^2【答案】A、C【解析】A是等比数列，B是等差数列，C是等比数列，D不是等比数列

5.下列不等式正确的是（）（4分）A.2^100100^10B.10^102^100C.e^22^eD.2^ee^2【答案】A、C【解析】利用对数函数性质，A正确，B不正确，C正确，D不正确

三、填空题（每题4分，共32分）

1.若复数z=1+i，则z^2的值为______（4分）【答案】2i【解析】z^2=1+i^2=1+2i+i^2=2i

2.函数fx=√x-1的定义域为______（4分）【答案】[1,+∞【解析】x-1≥0，所以x≥

13.抛物线y^2=8x的焦点坐标为______（4分）【答案】2,0【解析】焦点坐标为2p/2,0=8/2,0=4,

04.若函数fx是定义在R上的偶函数，且f2=3，则f-2的值为______（4分）【答案】3【解析】由偶函数的定义，f-x=fx，所以f-2=f2=

35.已知等差数列{a_n}中，a_1=5，d=-2，则a_5的值为______（4分）【答案】1【解析】a_5=a_1+4d=5+4-2=5-8=

16.函数fx=|x-2|+|x+1|的最小值为______（4分）【答案】3【解析】fx表示数轴上点x到点2和点-1的距离之和，最小值为2--1=

37.已知三角形ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a=2，b=3，c=4，则cosA的值为______（4分）【答案】3/4【解析】由余弦定理，cosA=b^2+c^2-a^2/2bc=3^2+4^2-2^2/2×3×4=17/

248.函数fx=e^x-1/x在x→0时的极限为______（4分）【答案】1【解析】利用洛必达法则，limx→0e^x-1/x=limx→0e^x+1/x^2=1

四、判断题（每题2分，共10分）

1.若ab，则a^2b^2（）（2分）【答案】（×）【解析】反例a=1，b=-2，则ab，但a^2=1，b^2=4，所以a^2b^2不成立

2.若函数fx是定义在R上的奇函数，且f0=0，则fx必过原点（）（2分）【答案】（√）【解析】由奇函数的定义，f-x=-fx，所以f0=-f0，即f0=0，所以fx必过原点

3.若ab0，则√a√b（）（2分）【答案】（√）【解析】函数y=√x在0,+∞上单调递增，所以ab0时，√a√b

4.若ab0，则1/a1/b（）（2分）【答案】（√）【解析】函数y=1/x在0,+∞上单调递减，所以ab0时，1/a1/b

5.函数fx=sinx+cosx的最小正周期为π（）（2分）【答案】（×）【解析】fx的最小正周期为2π

五、简答题（每题4分，共20分）

1.求函数fx=x^3-3x^2+2在区间[-1,3]上的最大值和最小值（4分）【答案】最大值为f0=2，最小值为f2=-2【解析】fx=3x^2-6x=3xx-2，令fx=0，得x=0或x=2比较f-1=0，f0=2，f2=-2，f3=0，所以最大值为2，最小值为-

22.求等差数列{a_n}中，a_1=2，d=3，前n项和S_n的表达式（4分）【答案】S_n=n^2+n【解析】S_n=n/2[2a_1+n-1d]=n/2[2×2+n-1×3]=n^2+n

3.求函数fx=e^x-1/x在x→0时的极限（4分）【答案】1【解析】利用洛必达法则，limx→0e^x-1/x=limx→0e^x+1/x^2=

14.求圆x^2+y^2-4x+6y-3=0的圆心和半径（4分）【答案】圆心为2,-3，半径为√10【解析】将方程配方，得x-2^2+y+3^2=10，所以圆心为2,-3，半径为√

105.求函数fx=sinx+cosx的最小正周期（4分）【答案】2π【解析】fx的最小正周期为2π

六、分析题（每题10分，共20分）

1.分析函数fx=x^3-3x^2+2的单调性和极值（10分）【答案】fx=3x^2-6x=3xx-2，令fx=0，得x=0或x=2当x∈-∞,0时，fx0，函数单调递增；当x∈0,2时，fx0，函数单调递减；当x∈2,+∞时，fx0，函数单调递增极小值为f2=-2，极大值为f0=

22.分析函数fx=sinx+cosx在[0,2π]上的单调性和最值（10分）【答案】fx=cosx-sinx，令fx=0，得x=π/4或x=5π/4当x∈[0,π/4时，fx≥0，函数单调递增；当x∈π/4,5π/4时，fx≤0，函数单调递减；当x∈5π/4,2π]时，fx≥0，函数单调递增最大值为√2，最小值为-√2

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.已知三角形ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a=3，b=4，c=5，求三角形ABC的面积（25分）【答案】三角形ABC为直角三角形，直角位于角C处面积S=1/2×3×4=

62.已知函数fx=e^x-1/x，求函数fx在x→0时的极限，并分析函数的单调性（25分）【答案】limx→0e^x-1/x=1fx=e^x+1/x^2，当x∈-∞,0∪0,+∞时，fx0，函数单调递增。