高二解析几何单元试题及详细答案

高二解析几何单元试题及详细答案

一、单选题

1.点Pa，b关于直线x+y=1对称的点的坐标是（）（2分）A.-a，-bB.-b，-aC.1-a，1-bD.1-b，1-a【答案】C【解析】点Pa，b关于直线x+y=1对称，设对称点为Px，y，则有$$\begin{cases}\frac{a+x}{2}+\frac{b+y}{2}=1\\\frac{y-b}{x-a}=-1\end{cases}$$解得$$\begin{cases}x=1-a\\y=1-b\end{cases}$$故对称点为1-a，1-b

2.已知点A1，2和B3，0，则线段AB的中垂线的方程是（）（2分）A.x-y+1=0B.x+y-3=0C.2x+y-4=0D.x-2y+3=0【答案】A【解析】线段AB中点为2，1，斜率为$$k_{AB}=\frac{0-2}{3-1}=-1$$中垂线斜率为1，方程为$$y-1=1x-2\Rightarrowx-y+1=0$$

3.圆x-1²+y+2²=4的圆心坐标和半径分别是（）（1分）A.1，-2，2B.-1，2，4C.2，-1，2D.-2，1，4【答案】A【解析】圆方程标准形式为x-a²+y-b²=r²，圆心1，-2，半径r=

24.抛物线y²=8x的焦点坐标是（）（1分）A.2，0B.4，0C.0，2D.0，-2【答案】A【解析】抛物线y²=2px，p=4，焦点坐标为2，

05.椭圆$\frac{x²}{9}+\frac{y²}{4}=1$的焦距是（）（1分）A.2√5B.2√7C.2√13D.4√5【答案】A【解析】c²=a²-b²=9-4=5，焦距2c=2√

56.双曲线$\frac{x²}{16}-\frac{y²}{9}=1$的渐近线方程是（）（2分）A.x±$\frac{3}{4}$y=0B.x±$\frac{4}{3}$y=0C.y±$\frac{3}{4}$x=0D.y±$\frac{4}{3}$x=0【答案】B【解析】渐近线方程为y=±$\frac{b}{a}$x=±$\frac{3}{4}$x

7.直线x=2与圆x-1²+y²=5的位置关系是（）（2分）A.相离B.相切C.相交D.包含【答案】C【解析】圆心1，0，半径r=√5，圆心到直线距离d=1√5，相交

8.已知直线l过点1，2且与直线3x-4y+5=0平行，则直线l的方程是（）（2分）A.3x-4y-5=0B.3x-4y+5=0C.4x-3y-5=0D.4x-3y+5=0【答案】D【解析】平行直线斜率相同，方程为4x-3y+5=

09.若点Pa，b在圆x²+y²=1上，则$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$的取值范围是（）（2分）A.-∞，-2∪2，+∞B.[-2，2]C.-∞，-2]∪[2，+∞D.-2，2【答案】C【解析】由a²+b²=1且ab≠0，得$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$≥2$\sqrt{\frac{1}{ab}}$≥2$\sqrt{\frac{1}{1}}$=2，或≤-

210.过点2，3且与抛物线y²=2x相切的直线方程是（）（2分）A.x-y+1=0B.x-y-1=0C.x+y-5=0D.x+y+1=0【答案】B【解析】设切线方程y-3=kx-2，代入y²=2x得$$kx-3-k^2=2x\Rightarrowk^2x^2-2k^2+6x+9+6k+k^2=0$$判别式Δ=2k^2+6²-4k^29+6k+k^2=0，解得k=-1，方程为x-y-1=0

二、多选题（每题4分，共20分）

1.下列曲线中，离心率e1的有（）A.$\frac{x²}{9}-\frac{y²}{16}=1$B.y²=4xC.$\frac{x²}{4}+\frac{y²}{9}=1$D.$\frac{y²}{9}-\frac{x²}{4}=1$【答案】A、D【解析】A、D为双曲线，离心率e1；B为抛物线；C为椭圆，离心率e

12.已知点A1，2和B3，0，则下列说法正确的有（）A.线段AB的垂直平分线过原点B.以AB为直径的圆过原点C.直线AB的斜率为-1D.以AB为弦的圆心在直线y=x上【答案】A、B、D【解析】AB中点2，1，垂直平分线方程x+y-3=0不过原点；AB斜率-1；以AB为直径的圆x-2²+y-1²=2过原点；圆心在AB中垂线x-y+1=0与y=x交点1，1在y=x上

3.关于抛物线y²=2pxp0，下列说法正确的有（）A.焦点在x轴正半轴B.准线是x=-pC.顶点在原点D.开口方向由p决定E.对称轴是x轴【答案】A、C、D、E【解析】抛物线y²=2pxp0焦点在x轴正半轴½p，0，准线x=-½p，顶点在原点，开口方向由p决定，对称轴是x轴

4.双曲线$\frac{x²}{a²}-\frac{y²}{b²}=1$的渐近线方程是（）A.y=±$\frac{b}{a}$xB.y=±$\frac{a}{b}$xC.$\frac{x²}{a²}-\frac{y²}{b²}=0$D.$\frac{x²}{b²}-\frac{y²}{a²}=0$【答案】A、C【解析】渐近线方程为y=±$\frac{b}{a}$x，或由原方程移项因式分解得$\frac{x²}{a²}-\frac{y²}{b²}=0$

5.直线x-2y+1=0与圆x-1²+y²=4的位置关系是（）A.相离B.相切C.相交D.包含【答案】C【解析】圆心1，0，半径r=2，圆心到直线距离d=$\frac{|1-2×0+1|}{\sqrt{1^2+-2^2}}$=$\frac{2}{\sqrt{5}}$2，相交

三、填空题（每题4分，共32分）

1.点2，-3关于直线3x-y+4=0对称的点的坐标是______（4分）【答案】-1，0【解析】设对称点为x，y，则有$$\begin{cases}\frac{2+x}{2}=\frac{-3+y}{2}\\\frac{y+3}{x+2}=-\frac{1}{3}\end{cases}$$解得x=-1，y=

02.圆x-1²+y+2²=4的圆心到直线x-y-1=0的距离是______（4分）【答案】$\sqrt{2}$【解析】圆心1，-2，距离d=$\frac{|1--2-1|}{\sqrt{1^2+-1^2}}$=$\frac{2}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$

3.抛物线y²=8x的焦点到准线的距离是______（4分）【答案】4【解析】p=4，焦点到准线距离为2p=

84.椭圆$\frac{x²}{16}+\frac{y²}{9}=1$的焦点坐标是______（4分）【答案】±√7，0【解析】c²=a²-b²=16-9=7，焦点±√7，

05.双曲线$\frac{x²}{9}-\frac{y²}{16}=1$的渐近线方程是______（4分）【答案】y=±$\frac{4}{3}$x【解析】渐近线方程为y=±$\frac{b}{a}$x=±$\frac{4}{3}$x

6.过点1，2且与直线x+y-3=0垂直的直线方程是______（4分）【答案】x-y+1=0【解析】垂直直线斜率为1，方程为x-y+1=

07.若点Pa，b在圆x²+y²=4上，则|a|+|b|的最大值是______（4分）【答案】4【解析】由a²+b²=4，|a|+|b|≤√2$\sqrt{a²+b²}$=√2×2=

48.直线y=x与抛物线y²=2x的交点坐标是______（4分）【答案】0，0，2，2【解析】联立方程得x²=2x，解得x=0或x=2，交点0，0，2，2

四、判断题（每题2分，共20分）

1.圆x-1²+y+2²=4与x轴相切（）（2分）【答案】（√）【解析】圆心到x轴距离为|2|=半径2，相切

2.抛物线y²=-2x的焦点在y轴上（）（2分）【答案】（×）【解析】焦点在x轴负半轴-½p，0，即-1，

03.双曲线$\frac{y²}{9}-\frac{x²}{16}=1$的焦点在y轴上（）（2分）【答案】（√）【解析】中心在原点，焦点在y轴

4.直线x=1与圆x-2²+y²=5相切（）（2分）【答案】（×）【解析】圆心到直线距离d=1半径√5，相交

5.椭圆$\frac{x²}{a²}+\frac{y²}{b²}=1ab0$的离心率e1（）（2分）【答案】（√）【解析】离心率e=c/a=a²-b²/a²1

五、简答题（每题5分，共15分）

1.求圆x²+y²-4x+6y-3=0的圆心和半径（5分）【答案】圆心2，-3，半径r=√2²+-3²+3=√

72.求过点1，2且与抛物线y²=4x相切的直线方程（5分）【答案】设切线y-2=kx-1，代入y²=4x得$$kx-2-k^2=4x\Rightarrowk^2x^2-4k^2+4kx+4+4k+k^2=0$$Δ=0得k=-1，方程为x+y-3=

03.证明椭圆$\frac{x²}{a²}+\frac{y²}{b²}=1ab0$上任意一点到两焦点的距离之和等于2a（5分）【证明】设Px，y，焦点F₁-c，0，F₂c，0，则$$PF₁²=x+c²+y²，PF₂²=x-c²+y²$$相加得2x²+2y²+2c²=2a²，由椭圆方程x²/a²+y²/b²=1得x²+y²=a²-b²，代入得PF₁²+PF₂²=2a²，开方得PF₁+PF₂=2a

六、分析题（每题12分，共24分）

1.已知A1，2，B3，0，求以AB为弦，圆心在直线y=x上的圆的方程（12分）【解】AB中点2，1，AB斜率k=-1，垂直平分线方程x+y-3=0与y=x交点

1.5，

1.5为圆心，半径r=AB中点至A的距离$$r=\sqrt{

1.5-1²+

1.5-2²}=\sqrt{

0.25+

0.25}=\sqrt{

0.5}$$圆方程为x-

1.5²+y-

1.5²=

0.

52.设椭圆$\frac{x²}{9}+\frac{y²}{4}=1$上一点P到左准线的距离为10，求P点到右焦点的距离（12分）【解】a=3，b=2，c=√5，左准线x=-9/√5，右焦点F√5，0设Px，y，由第二定义$$\frac{PF₁}{-9/√5+3}=e=\frac{√5}{3}\RightarrowPF₁=6$$由椭圆定义PF₁+PF₂=6，得PF₂=6-10=-4（舍去），或PF₂=10-6=4

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.已知A1，2，B3，0，求过点P2，1且与AB平行的直线方程，再求该直线与圆x-1²+y+2²=4的交点坐标（25分）【解】AB斜率k=-1，过P2，1的平行线方程y-1=-1x-2⇒x+y-3=0联立方程组$$\begin{cases}x+y-3=0\\x-1²+y+2²=4\end{cases}$$代入得x-1²+-2-x²=4，展开整理$$x²-2x+1+x²+4x+4=4\Rightarrow2x²+2x+1=0$$Δ=4-80，无交点

2.设椭圆$\frac{x²}{9}+\frac{y²}{4}=1$上一点P的横坐标为1，求P点到左准线的距离（25分）【解】a=3，b=2，c=√5，左准线x=-9/√5P1，±2√5/3，P到左准线距离$$d=1+\frac{9}{√5}=\frac{√5+9}{√5}=\frac{9√5+5}{5}$$---完整标准答案---

一、单选题

1.C

2.A

3.A

4.A

5.A

6.B

7.C

8.D

9.C

10.B

二、多选题

1.A、D

2.A、B、D

3.A、C、D、E

4.A、C

5.C

三、填空题

1.-1，

02.$\sqrt{2}$

3.

44.±√7，

05.y=±$\frac{4}{3}$x

6.x-y+1=

07.

48.0，0，2，2

四、判断题

1.（√）

2.（×）

3.（√）

4.（×）

5.（√）

五、简答题

1.圆心2，-3，半径r=√

72.设切线y-2=kx-1，代入y²=4x得k=-1，方程x+y-3=

03.证明椭圆$\frac{x²}{a²}+\frac{y²}{b²}=1$上任意一点Px，y到两焦点F₁-c，0，F₂c，0的距离之和等于2a PF₁²=x+c²+y²，PF₂²=x-c²+y²，相加得2x²+2y²+2c²=2a²，由椭圆方程得x²+y²=a²-b²，代入得PF₁²+PF₂²=2a²，开方得PF₁+PF₂=2a

六、分析题

1.圆心

1.5，

1.5，半径r=$\sqrt{

0.5}$，圆方程x-

1.5²+y-

1.5²=

0.

52.设Px，y，由第二定义$\frac{PF₁}{-9/√5+3}=e=\frac{√5}{3}$⇒PF₁=6，由椭圆定义PF₁+PF₂=6，得PF₂=6-10=-4（舍去），或PF₂=10-6=4

七、综合应用题

1.过P2，1与AB平行的直线方程x+y-3=0，与圆x-1²+y+2²=4无交点

2.设P1，±2√5/3，P到左准线距离d=1+9/√5=9√5+5/5。