高等代数2易错试题库及答案剖析

高等代数2易错试题库及答案剖析

一、单选题

1.下列哪个行列式等于其转置行列式？（）（2分）A.|123||456||789|B.|012||103||230|C.|100||010||001|D.|123||045||006|【答案】C【解析】只有单位矩阵的行列式等于其转置行列式

2.向量组α1=1,0,1,α2=0,1,0,α3=1,1,1的秩为（）（2分）A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】向量组中任意两个向量线性无关，但三个向量线性相关，因此秩为

23.矩阵A=（1，2，3；4，5，6；7，8，9）的秩为（）（2分）A.1B.2C.3D.4【答案】A【解析】矩阵的行向量组线性相关，因此秩为

14.下列哪个矩阵是可逆的？（）（2分）A.|12||34|B.|01||10|C.|11||11|D.|23||46|【答案】B【解析】只有行列式不为零的矩阵是可逆的，B选项行列式为

15.设V是n维欧氏空间，α，β是V中的向量，下列哪个不等式成立？（）（2分）A.|α+β|≤|α|+|β|B.|α+β|≥|α|+|β|C.|α+β|=|α|+|β|D.|α+β|≠|α|+|β|【答案】A【解析】根据三角不等式，向量的模长满足|α+β|≤|α|+|β|

6.线性变换T:R^3→R^3，Tx,y,z=x-y,x+z,y+z，则T的秩为（）（2分）A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】T的矩阵表示为1,-1,0;1,1,1;0,1,1，其秩为

37.下列哪个矩阵是正定矩阵？（）（2分）A.|12||23|B.|1-1||-12|C.|21||12|D.|10||01|【答案】C【解析】只有特征值全为正的对称矩阵是正定矩阵，C选项的特征值均为正

8.设A是n阶矩阵，如果A^k=0（k为正整数），则称A为（）（2分）A.可逆矩阵B.幂零矩阵C.正定矩阵D.单位矩阵【答案】B【解析】满足A^k=0的矩阵称为幂零矩阵

9.向量组α1=1,0,0,α2=0,1,0,α3=0,0,1的线性相关性为（）（2分）A.线性相关B.线性无关C.部分线性相关D.部分线性无关【答案】B【解析】这三个向量是标准基向量，线性无关

10.矩阵A=（1，0，0；0，1，0；0，0，1）是（）（2分）A.可逆矩阵B.幂零矩阵C.正定矩阵D.零矩阵【答案】A【解析】单位矩阵是可逆矩阵

二、多选题（每题4分，共20分）

1.以下哪些是线性空间R^3的子空间？（）A.过原点的平面B.过原点的直线C.不过原点的平面D.不过原点的直线E.全空间R^3【答案】A、B、E【解析】线性空间的子空间必须包含零向量，且对线性运算封闭

2.以下哪些矩阵是正交矩阵？（）A.|1/sqrt21/sqrt2||-1/sqrt21/sqrt2|B.|10||01|C.|11||1-1|D.|1/sqrt31/sqrt31/sqrt3||1/sqrt3-1/sqrt31/sqrt3||1/sqrt31/sqrt3-1/sqrt3|E.|01||-10|【答案】A、B、D、E【解析】正交矩阵的列向量组是标准正交基

3.以下哪些是线性变换的性质？（）A.Tu+v=Tu+TvB.Tcu=cTuC.T0=0D.Tu-Tv=Tu-vE.Tu.Tv=Tuv【答案】A、B、C、D【解析】线性变换满足加法和数乘的线性性质

4.以下哪些矩阵是可逆矩阵？（）A.|10||01|B.|12||34|C.|01||10|D.|23||46|E.|1-1||-12|【答案】A、B、C【解析】只有行列式不为零的矩阵是可逆的

5.以下哪些是欧氏空间中的标准正交基？（）A.1,0,0,0,1,0,0,0,1B.1/sqrt2,1/sqrt2,0,1/sqrt2,-1/sqrt2,0,0,0,1C.1,1,1,1,-1,0,1,0,-1D.1,0,0,0,0,1,0,1,0E.1,0,0,0,1,0,0,0,-1【答案】A、B【解析】标准正交基要求向量组两两正交且模长为1

三、填空题

1.矩阵A=（1，2，3；4，5，6；7，8，9）的秩为______（4分）【答案】

12.向量组α1=1,0,0,α2=0,1,0,α3=0,0,1的线性相关性为______（4分）【答案】线性无关

3.线性变换T:R^3→R^3，Tx,y,z=x-y,x+z,y+z，则T的秩为______（4分）【答案】

34.矩阵A=（1，0，0；0，1，0；0，0，1）是______（4分）【答案】可逆矩阵

5.设V是n维欧氏空间，α，β是V中的向量，根据三角不等式有|α+β|______|α|+|β|（4分）【答案】≤

6.只有行列式不为零的矩阵是______（4分）【答案】可逆矩阵

7.满足A^k=0（k为正整数）的矩阵称为______（4分）【答案】幂零矩阵

8.线性空间的子空间必须包含______，且对线性运算封闭（4分）【答案】零向量

9.正交矩阵的列向量组是______（4分）【答案】标准正交基

10.线性变换满足______和______的线性性质（4分）【答案】加法；数乘

四、判断题

1.两个正定矩阵的乘积一定是正定矩阵（）（2分）【答案】（×）【解析】两个正定矩阵的乘积不一定是对称矩阵，因此不一定正定

2.线性变换的核是线性空间的一个子空间（）（2分）【答案】（√）【解析】核是线性运算的核，满足线性空间子空间的性质

3.如果一个矩阵的秩等于它的阶数，则该矩阵是可逆的（）（2分）【答案】（√）【解析】满秩矩阵一定是可逆的

4.所有实数的集合R是实数域R上的线性空间（）（2分）【答案】（√）【解析】实数域上的线性空间定义就是实数集

5.正交矩阵的行列式只能是1或-1（）（2分）【答案】（√）【解析】正交矩阵的行列式绝对值为1

五、简答题

1.简述线性变换的基本性质（5分）【答案】线性变换满足加法和数乘的线性性质，即Tu+v=Tu+Tv和Tcu=cTu

2.简述正定矩阵的定义和性质（5分）【答案】正定矩阵是对称矩阵，且其特征值全为正正定矩阵有如下性质正定矩阵的行列式为正，正定矩阵的逆矩阵也是正定矩阵

3.简述欧氏空间的标准正交基的定义和性质（5分）【答案】欧氏空间的标准正交基是两两正交且模长为1的向量组标准正交基的性质是任意向量可以唯一表示为标准正交基的线性组合

六、分析题

1.分析线性变换T:R^3→R^3，Tx,y,z=x-y,x+z,y+z的性质（10分）【答案】线性变换T满足加法和数乘的线性性质，即Tu+v=Tu+Tv和Tcu=cTuT的矩阵表示为1,-1,0;1,1,1;0,1,1，其秩为3，因此T是满射T的核为{0}，因此T是单射综上所述，T是双射，即T是可逆的

2.分析正定矩阵A=（1，0，0；0，1，0；0，0，1）的性质（10分）【答案】矩阵A是单位矩阵，是正定矩阵A的特征值为1，1，1，均为正A的行列式为1，不为零，因此A是可逆的A的逆矩阵也是单位矩阵，也是正定矩阵A的列向量组是标准正交基

七、综合应用题

1.设线性变换T:R^3→R^3，Tx,y,z=x-y,x+z,y+z，求T在基{1,0,0,0,1,0,0,0,1}下的矩阵表示，并验证T是否可逆（25分）【答案】T在基{1,0,0,0,1,0,0,0,1}下的矩阵表示为1,-1,0;1,1,1;0,1,1计算该矩阵的行列式为2，不为零，因此T是可逆的T的逆变换为T^-1x,y,z=x+z,y-x,y-z

八、标准答案

一、单选题

1.C

2.B

3.A

4.B

5.A

6.C

7.C

8.B

9.B

10.A

二、多选题

1.A、B、E

2.A、B、D、E

3.A、B、C、D

4.A、B、C

5.A、B

三、填空题

1.

12.线性无关

3.

34.可逆矩阵

5.≤

6.可逆矩阵

7.幂零矩阵

8.零向量

9.标准正交基

10.加法；数乘

四、判断题

1.（×）

2.（√）

3.（√）

4.（√）

5.（√）

五、简答题

1.线性变换满足加法和数乘的线性性质，即Tu+v=Tu+Tv和Tcu=cTu

2.正定矩阵是对称矩阵，且其特征值全为正正定矩阵有如下性质正定矩阵的行列式为正，正定矩阵的逆矩阵也是正定矩阵

3.欧氏空间的标准正交基是两两正交且模长为1的向量组标准正交基的性质是任意向量可以唯一表示为标准正交基的线性组合

六、分析题

1.线性变换T满足加法和数乘的线性性质，即Tu+v=Tu+Tv和Tcu=cTuT的矩阵表示为1,-1,0;1,1,1;0,1,1，其秩为3，因此T是满射T的核为{0}，因此T是单射综上所述，T是双射，即T是可逆的

2.矩阵A是单位矩阵，是正定矩阵A的特征值为1，1，1，均为正A的行列式为1，不为零，因此A是可逆的A的逆矩阵也是单位矩阵，也是正定矩阵A的列向量组是标准正交基

七、综合应用题

1.T在基{1,0,0,0,1,0,0,0,1}下的矩阵表示为1,-1,0;1,1,1;0,1,1计算该矩阵的行列式为2，不为零，因此T是可逆的T的逆变换为T^-1x,y,z=x+z,y-x,y-z。