高等代数2模拟试题库及答案参考

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一、单选题（每题2分，共20分）

1.下列哪个矩阵是可逆的？（）A.\\begin{pmatrix}12\\24\end{pmatrix}\B.\\begin{pmatrix}30\\02\end{pmatrix}\C.\\begin{pmatrix}01\\10\end{pmatrix}\D.\\begin{pmatrix}11\\11\end{pmatrix}\【答案】B【解析】矩阵B的行列式为\3\times2=6\neq0\，故可逆

2.下列哪个向量是线性无关的？（）A.\\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}\,\\begin{pmatrix}2\\4\\6\end{pmatrix}\B.\\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}\,\\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}\,\\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\C.\\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}\,\\begin{pmatrix}2\\2\end{pmatrix}\D.\\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}\,\\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}\【答案】B【解析】B选项中的向量是标准基向量，线性无关

3.下列哪个矩阵是正定矩阵？（）A.\\begin{pmatrix}12\\21\end{pmatrix}\B.\\begin{pmatrix}1-1\\-11\end{pmatrix}\C.\\begin{pmatrix}20\\03\end{pmatrix}\D.\\begin{pmatrix}-11\\1-1\end{pmatrix}\【答案】C【解析】C选项矩阵的特征值均为正，故正定

4.下列哪个方程组有唯一解？（）A.\2x+3y=5\，\4x+6y=10\B.\x+y=1\，\2x+2y=2\C.\x+y=1\，\x-y=3\D.\x+y=1\，\x+y=2\【答案】C【解析】C选项的系数矩阵行列式不为0，有唯一解

5.下列哪个向量是齐次线性方程组\\begin{pmatrix}123\\246\\10-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}\的解？（）A.\\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}\B.\\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}\C.\\begin{pmatrix}2\\-1\\1\end{pmatrix}\D.\\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}\【答案】B【解析】零向量是任何齐次线性方程组的解

6.下列哪个矩阵是正交矩阵？（）A.\\begin{pmatrix}10\\01\end{pmatrix}\B.\\begin{pmatrix}01\\10\end{pmatrix}\C.\\begin{pmatrix}\frac{1}{\sqrt{2}}\frac{1}{\sqrt{2}}\\\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{2}}\end{pmatrix}\D.\\begin{pmatrix}11\\1-1\end{pmatrix}\【答案】C【解析】C选项矩阵的列向量是单位正交向量

7.下列哪个矩阵是上三角矩阵？（）A.\\begin{pmatrix}12\\34\end{pmatrix}\B.\\begin{pmatrix}100\\020\\003\end{pmatrix}\C.\\begin{pmatrix}123\\023\\003\end{pmatrix}\D.\\begin{pmatrix}12\\03\end{pmatrix}\【答案】C【解析】C选项矩阵是上三角矩阵

8.下列哪个矩阵是单位矩阵？（）A.\\begin{pmatrix}10\\01\end{pmatrix}\B.\\begin{pmatrix}01\\10\end{pmatrix}\C.\\begin{pmatrix}11\\11\end{pmatrix}\D.\\begin{pmatrix}10\\0-1\end{pmatrix}\【答案】A【解析】A选项矩阵是单位矩阵

9.下列哪个矩阵是幂等矩阵？（）A.\\begin{pmatrix}10\\01\end{pmatrix}\B.\\begin{pmatrix}01\\10\end{pmatrix}\C.\\begin{pmatrix}11\\10\end{pmatrix}\D.\\begin{pmatrix}21\\12\end{pmatrix}\【答案】A【解析】A选项矩阵满足\A^2=A\

10.下列哪个矩阵是可对角化的？（）A.\\begin{pmatrix}12\\21\end{pmatrix}\B.\\begin{pmatrix}30\\03\end{pmatrix}\C.\\begin{pmatrix}11\\01\end{pmatrix}\D.\\begin{pmatrix}10\\02\end{pmatrix}\【答案】D【解析】D选项矩阵已经是对角矩阵，故可对角化

二、多选题（每题4分，共20分）

1.以下哪些是线性代数中的重要概念？（）A.矩阵B.向量空间C.线性变换D.特征值E.欧几里得空间【答案】A、B、C、D【解析】这些都是线性代数中的重要概念

2.以下哪些矩阵是正定矩阵？（）A.\\begin{pmatrix}20\\03\end{pmatrix}\B.\\begin{pmatrix}11\\11\end{pmatrix}\C.\\begin{pmatrix}10\\0-1\end{pmatrix}\D.\\begin{pmatrix}21\\12\end{pmatrix}\【答案】A、D【解析】A和D选项矩阵的特征值均为正，故正定

3.以下哪些向量组是线性无关的？（）A.\\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}\,\\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}\,\\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\B.\\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}\,\\begin{pmatrix}2\\2\end{pmatrix}\C.\\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}\,\\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}\D.\\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}\,\\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}\【答案】A、C、D【解析】A、C、D选项中的向量组线性无关

4.以下哪些是矩阵运算的基本性质？（）A.矩阵加法交换律B.矩阵乘法结合律C.矩阵乘法分配律D.矩阵乘法交换律E.单位矩阵性质【答案】A、B、C、E【解析】这些都是矩阵运算的基本性质

5.以下哪些是线性方程组有解的充分必要条件？（）A.系数矩阵的行列式不为0B.增广矩阵的秩等于系数矩阵的秩C.齐次线性方程组有非零解D.系数矩阵的秩等于未知数的个数【答案】B、D【解析】B和D选项是线性方程组有解的充分必要条件

三、填空题（每题4分，共20分）

1.矩阵\\begin{pmatrix}12\\34\end{pmatrix}\的行列式为______【答案】-2【解析】行列式计算\1\times4-2\times3=-2\

2.向量组\\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}\,\\begin{pmatrix}4\\5\\6\end{pmatrix}\,\\begin{pmatrix}7\\8\\9\end{pmatrix}\的秩为______【答案】2【解析】向量组秩为2，因为前两个向量线性无关，第三个向量是前两个向量的线性组合

3.矩阵\\begin{pmatrix}10\\02\end{pmatrix}\的特征值为______【答案】1,2【解析】特征值计算解方程\\det\begin{pmatrix}1-\lambda0\\02-\lambda\end{pmatrix}=0\，得\\lambda=1,2\

4.齐次线性方程组\\begin{pmatrix}12\\24\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}\的解空间维数为______【答案】1【解析】系数矩阵秩为1，解空间维数为\2-1=1\

5.矩阵\\begin{pmatrix}11\\11\end{pmatrix}\的逆矩阵为______【答案】无逆矩阵【解析】行列式为0，不可逆

四、判断题（每题2分，共10分）

1.两个可逆矩阵的乘积仍然是可逆矩阵（）【答案】（√）【解析】两个可逆矩阵的乘积仍然是可逆矩阵

2.线性无关的向量组一定线性无关（）【答案】（√）【解析】线性无关的向量组定义就是线性无关

3.正定矩阵一定是实对称矩阵（）【答案】（√）【解析】正定矩阵定义要求矩阵是实对称的

4.齐次线性方程组总有解（）【答案】（√）【解析】齐次线性方程组总有零解

5.矩阵的秩等于其非零子式的最高阶数（）【答案】（√）【解析】矩阵的秩定义就是其非零子式的最高阶数

五、简答题（每题5分，共15分）

1.简述矩阵的特征值和特征向量的定义【答案】特征值和特征向量定义设A为n阶方阵，如果存在数λ和非零向量x，使得Ax=λx，则称λ为A的特征值，x为A对应于特征值λ的特征向量

2.简述线性无关的向量组的定义【答案】线性无关的向量组定义对于向量组α₁,α₂,…,αn，如果只有全为零的数k₁,k₂,…,kn，使得k₁α₁+k₂α₂+…+knαn=0，则称向量组α₁,α₂,…,αn线性无关

3.简述正定矩阵的定义【答案】正定矩阵定义设A为n阶实对称矩阵，如果对于任意非零向量x，都有xTAx0，则称A为正定矩阵

六、分析题（每题10分，共20分）

1.分析矩阵\\begin{pmatrix}12\\25\end{pmatrix}\是否可对角化，若可对角化，求其对角化形式【答案】矩阵\\begin{pmatrix}12\\25\end{pmatrix}\可对角化特征值计算解方程\\det\begin{pmatrix}1-\lambda2\\25-\lambda\end{pmatrix}=0\，得\\lambda=3,4\特征向量计算对于\\lambda=3\，解方程\\begin{pmatrix}-22\\22\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}\，得特征向量\\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}\对于\\lambda=4\，解方程\\begin{pmatrix}-32\\21\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}\，得特征向量\\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}\对角化形式\\begin{pmatrix}12\\25\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}12\\-13\end{pmatrix}\begin{pmatrix}30\\04\end{pmatrix}\begin{pmatrix}12\\-13\end{pmatrix}^{-1}\

2.分析齐次线性方程组\\begin{pmatrix}123\\246\\10-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}\的解空间【答案】齐次线性方程组\\begin{pmatrix}123\\246\\10-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}\的解空间行简化阶梯形矩阵\[\begin{pmatrix}123\\246\\10-1\end{pmatrix}\rightarrow\begin{pmatrix}123\\000\\0-2-4\end{pmatrix}\rightarrow\begin{pmatrix}123\\012\\000\end{pmatrix}\]解得\y=-2z\，\x=-7z\解空间维数为2，基础解系为\\begin{pmatrix}-7\\-2\\1\end{pmatrix}\

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.已知矩阵\A=\begin{pmatrix}12\\34\end{pmatrix}\，求矩阵\A\的特征值和特征向量，并判断\A\是否可对角化【答案】特征值计算解方程\\det\begin{pmatrix}1-\lambda2\\34-\lambda\end{pmatrix}=0\，得\\lambda=5,-2\特征向量计算对于\\lambda=5\，解方程\\begin{pmatrix}-42\\3-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}\，得特征向量\\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}\对于\\lambda=-2\，解方程\\begin{pmatrix}32\\36\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}\，得特征向量\\begin{pmatrix}-2\\3\end{pmatrix}\对角化形式\\begin{pmatrix}12\\34\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1-2\\23\end{pmatrix}\begin{pmatrix}50\\0-2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1-2\\23\end{pmatrix}^{-1}\故\A\可对角化

2.已知向量组\\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}\,\\begin{pmatrix}4\\5\\6\end{pmatrix}\,\\begin{pmatrix}7\\8\\9\end{pmatrix}\，求该向量组的秩，并判断是否线性无关【答案】向量组秩为2，因为前两个向量线性无关，第三个向量是前两个向量的线性组合判断线性无关向量组\\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}\,\\begin{pmatrix}4\\5\\6\end{pmatrix}\,\\begin{pmatrix}7\\8\\9\end{pmatrix}\线性相关，因为\\begin{pmatrix}7\\8\\9\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}4\\5\\6\end{pmatrix}\。