三点共线测试题及参考答案

精编三点共线测试题及参考答案

一、单选题（每题2分，共20分）

1.若点A（2，3）、B（-4，m）和C（1，-2）共线，则m的值为（）A.1B.5C.-5D.7【答案】C【解析】点A（2，3）、B（-4，m）和C（1，-2）共线，则向量AB和向量AC共线，即斜率相等计算斜率k_AB=m-3/-4-2和k_AC=-2-3/1-2，解得m=-

52.三点P（a，b）、Q（2a，2b+c）和R（3a，3b+2c）共线的充要条件是（）A.a=0B.b=0C.c=0D.a+b+c=0【答案】C【解析】向量PQ和PR共线，斜率相等，即2b+c-b/2a-a=（3b+2c-b）/（3a-a），化简得c=

03.已知点A（1，2）、B（3，-1）和C（x，y）共线，则点C的轨迹方程为（）A.x-y=1B.x+y=1C.x-y=-1D.x+y=-1【答案】A【解析】向量AB和向量AC共线，斜率相等，即-1-2/3-1=y-2/x-1，化简得x-y=

14.若三点G（1，2）、H（3，m）和K（n，4）共线，则m和n的关系为（）A.m+n=4B.m+n=6C.m-n=2D.m-n=-2【答案】B【解析】向量GH和GK共线，斜率相等，即m-2/3-1=4-2/n-1，解得m+n=

65.若点A（a，a+1）、B（2a，2a+2）和C（3a，3a+3）共线，则a的取值范围是（）A.a≠0B.a=0C.a为任意实数D.a为任意非零实数【答案】C【解析】向量AB和AC共线，斜率相等，即2a+2-a-1/2a-a=3a+3-2a-2/3a-2a，恒成立，故a为任意实数

6.若点M（sinθ，cosθ）、N（cosθ，sinθ）和P（1，1）共线，则θ的值为（）A.π/4B.π/2C.3π/4D.π【答案】A【解析】向量MN和MP共线，斜率相等，即sinθ-cosθ/cosθ-sinθ=1-sinθ/1-cosθ，解得θ=π/

47.若点A（t，t+1）、B（t+1，t+2）和C（t+2，t+3）共线，则t的取值范围是（）A.t为任意实数B.t≠0C.t=0D.t为任意非零实数【答案】A【解析】向量AB和AC共线，斜率相等，即t+2-t-1/t+1-t=t+3-t-2/t+2-t-1，恒成立，故t为任意实数

8.若点P（a，a^2）、Q（b，b^2）和R（c，c^2）共线，则a、b、c的关系为（）A.a=b=cB.a+b+c=0C.a、b、c成等差数列D.a、b、c成等比数列【答案】B【解析】向量PQ和PR共线，斜率相等，即b^2-a^2/b-a=c^2-b^2/c-b，解得a+b+c=

09.若点A（1，2）、B（3，6）和C（k，8）共线，则k的值为（）A.4B.5C.6D.7【答案】A【解析】向量AB和AC共线，斜率相等，即6-2/3-1=8-2/k-1，解得k=

410.若点M（a，b）、N（2a，2b）和P（3a，3b）共线，则a和b的关系为（）A.a=0B.b=0C.a=bD.a、b为任意实数【答案】D【解析】向量MN和MP共线，斜率相等，即2b-b/2a-a=3b-2b/3a-2a，恒成立，故a、b为任意实数

二、多选题（每题4分，共20分）

1.以下哪些条件下，三点P（x1，y1）、Q（x2，y2）和R（x3，y3）共线？（）A.x1/x2=y1/y2B.y2-y1/x2-x1=y3-y1/x3-x1C.x1y2-y3+x2y3-y1+x3y1-y2=0D.y1x2-x3+y2x3-x1+y3x1-x2=0【答案】B、C【解析】选项B是斜率相等的条件，选项C是行列式为零的条件，均表示三点共线

2.以下哪些情况下，三点A（a，b）、B（c，d）和C（e，f）共线？（）A.ad=bcB.af=beC.d-b/c-a=f-b/e-aD.de=bcE.ad-f+cf-b+eb-d=0【答案】C、E【解析】选项C是斜率相等的条件，选项E是行列式为零的条件，均表示三点共线

3.若点P（a，b）、Q（c，d）和R（e，f）共线，则以下哪些等式成立？（）A.d-b/c-a=e-b/a-cB.d-b/c-a=f-b/e-aC.bc-e+de-a+fa-c=0D.ad-f+cf-b+eb-d=0【答案】B、D【解析】选项B是斜率相等的条件，选项D是行列式为零的条件，均表示三点共线

4.以下哪些条件下，三点M（x1，y1）、N（x2，y2）和P（x3，y3）共线？（）A.x1y2=x2y1B.x1y3=x3y1C.x1y2-y3+x2y3-y1+x3y1-y2=0D.y1x2-x3+y2x3-x1+y3x1-x2=0【答案】C、D【解析】选项C是行列式为零的条件，选项D是行列式为零的条件，均表示三点共线

5.以下哪些情况下，三点A（a，b）、B（c，d）和C（e，f）共线？（）A.ad=bcB.af=beC.ad-f+cf-b+eb-d=0D.ab-d+cd-f+ef-b=0E.ac-e+be-a+ca-c=0【答案】C、D【解析】选项C是行列式为零的条件，选项D是行列式为零的条件，均表示三点共线

三、填空题（每题4分，共20分）

1.若点A（1，2）、B（3，6）和C（k，4）共线，则k=______【答案】4【解析】向量AB和AC共线，斜率相等，即6-2/3-1=4-2/k-1，解得k=

42.若点M（a，b）、N（2a，2b）和P（3a，3b）共线，则a、b的关系为______【答案】a、b为任意实数【解析】向量MN和MP共线，斜率相等，即2b-b/2a-a=3b-2b/3a-2a，恒成立，故a、b为任意实数

3.若点P（sinθ，cosθ）、Q（cosθ，sinθ）和R（1，1）共线，则θ=______【答案】π/4【解析】向量PQ和PR共线，斜率相等，即sinθ-cosθ/cosθ-sinθ=1-sinθ/1-cosθ，解得θ=π/

44.若点A（a，a+1）、B（2a，2a+2）和C（3a，3a+3）共线，则a=______【答案】任意实数【解析】向量AB和AC共线，斜率相等，即2a+2-a-1/2a-a=3a+3-2a-2/3a-2a，恒成立，故a为任意实数

5.若点M（t，t+1）、N（t+1，t+2）和P（t+2，t+3）共线，则t=______【答案】任意实数【解析】向量MN和MP共线，斜率相等，即t+2-t-1/t+1-t=t+3-t-2/t+2-t-1，恒成立，故t为任意实数

四、判断题（每题2分，共10分）

1.若点A（a，b）、B（c，d）和C（e，f）共线，则a、b、c、d、e、f成等差数列（）【答案】（×）【解析】三点共线表示斜率相等，但不表示所有六个数成等差数列

2.若点P（a，b）、Q（c，d）和R（e，f）共线，则ab=cd（）【答案】（×）【解析】三点共线表示斜率相等，但不表示所有坐标乘积相等

3.若点M（x1，y1）、N（x2，y2）和P（x3，y3）共线，则x1y2=x2y1（）【答案】（×）【解析】三点共线表示斜率相等，但不表示所有坐标乘积相等

4.若点A（a，b）、B（c，d）和C（e，f）共线，则ad-f+cf-b+eb-d=0（）【答案】（√）【解析】这是行列式为零的条件，表示三点共线

5.若点P（sinθ，cosθ）、Q（cosθ，sinθ）和R（1，1）共线，则θ=π/2（）【答案】（×）【解析】三点共线表示斜率相等，但θ=π/2时斜率不相等

五、简答题（每题5分，共15分）

1.简述三点共线的条件【答案】三点共线的条件有

（1）向量AB和向量AC共线，即斜率相等；

（2）行列式为零，即x1y2-y3+x2y3-y1+x3y1-y2=0；

（3）满足线性方程，即ay2-y3+by3-y1+cy1-y2=

02.简述三点共线的几何意义【答案】三点共线的几何意义是这三个点在同一直线上，即它们可以连成一条直线

3.简述三点共线的代数意义【答案】三点共线的代数意义是这三个点的坐标满足某种线性关系，即它们可以表示为同一个线性方程的解

六、分析题（每题10分，共20分）

1.分析三点共线的条件在几何和代数中的意义【答案】三点共线的条件在几何和代数中具有重要意义

（1）几何意义三点共线表示这三个点在同一直线上，即它们可以连成一条直线这在几何图形中非常直观，可以用来判断三个点是否在同一直线上

（2）代数意义三点共线的条件在代数中可以表示为斜率相等或行列式为零这些代数条件可以用来判断三个点是否在同一直线上，并且在解决一些几何问题时非常有用

2.分析三点共线的条件在实际问题中的应用【答案】三点共线的条件在实际问题中有很多应用，例如

（1）计算机图形学在计算机图形学中，三点共线的条件可以用来判断三个点是否在同一直线上，从而进行一些图形的绘制和变换

（2）地理信息系统在地理信息系统中，三点共线的条件可以用来判断三个地点是否在同一直线上，从而进行一些地理信息的分析和处理

（3）机器人学在机器人学中，三点共线的条件可以用来判断三个点是否在同一直线上，从而进行一些机器人的路径规划和控制

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.已知点A（1，2）、B（3，6）和C（k，4），求k的值，并证明三点共线【答案】

（1）求k的值向量AB和向量AC共线，斜率相等，即6-2/3-1=4-2/k-1，解得k=4

（2）证明三点共线向量AB的斜率为6-2/3-1=2，向量AC的斜率为4-2/4-1=2/3，由于斜率相等，故三点共线

2.已知点P（sinθ，cosθ）、Q（cosθ，sinθ）和R（1，1），求θ的值，并证明三点共线【答案】

（1）求θ的值向量PQ和向量PR共线，斜率相等，即sinθ-cosθ/cosθ-sinθ=1-sinθ/1-cosθ，解得θ=π/4

（2）证明三点共线向量PQ的斜率为sinθ-cosθ/cosθ-sinθ=-1，向量PR的斜率为1-sinθ/1-cosθ=-1，由于斜率相等，故三点共线。