三级真题及详细答案汇总

三级真题及详细答案汇总

一、单选题

1.在三角函数中，函数y=3sin2x+π/3的周期是（）（1分）A.πB.2πC.π/2D.π/4【答案】B【解析】正弦函数y=Asinωx+φ的周期为2π/|ω|，此处ω=2，故周期为π

2.若向量a=1,2，向量b=3,-1，则向量a与向量b的夹角余弦值为（）（2分）A.1/5B.-1/5C.3/5D.-3/5【答案】C【解析】cosθ=a·b/|a||b|=1×3+2×-1/√1²+2²√3²+-1²=3/5√10/√10=3/

53.函数fx=x³-3x在区间[-2,2]上的最大值是（）（1分）A.2B.4C.8D.0【答案】D【解析】fx=3x²-3，令fx=0得x=±1，f-2=-2，f-1=2，f1=-2，f2=4，最大值为

44.等差数列{a_n}中，若a₁=5，a₅=15，则公差d为（）（2分）A.2B.3C.4D.5【答案】A【解析】a₅=a₁+4d，15=5+4d，解得d=

2.5，最接近选项A

5.直线y=2x+1与直线x-y=1的交点坐标是（）（1分）A.0,1B.1,0C.2,3D.3,2【答案】C【解析】联立方程组解得x=2，y=

36.某工厂生产某种产品，固定成本为10万元，每件产品可变成本为20元，售价为30元，则保本点产量为（）（2分）A.2000件B.3000件C.4000件D.5000件【答案】A【解析】设保本点产量为x，则30x=10万+20x，解得x=

20007.样本数据5,7,9,10,12的方差s²为（）（1分）A.9B.10C.16D.25【答案】C【解析】平均数x=

8.6，s²=[5-

8.6²+7-

8.6²+...]/5=

168.若复数z=1+i，则z²的共轭复数是（）（2分）A.2B.-2C.0D.1-i【答案】B【解析】z²=2i，共轭复数为-

29.在△ABC中，若∠A=60°，a=5，b=7，则c的取值范围是（）（1分）A.2c12B.2c12且c≠6C.6c12D.6c13【答案】B【解析】由正弦定理得c=7sin60°/sinB，当B=90°时c最大为7√3/√3=7，当B=30°时c最小为7sin30°/sin60°=7/√3≈

4.04，且c≠

610.某射手射击一次命中率为

0.7，则射击4次至少命中2次的概率是（）（2分）A.

0.7B.

0.8C.

0.9D.

0.98【答案】C【解析】P至少2次=1-P0次-P1次=1-

0.3⁴-

40.

70.3³≈

0.9

二、多选题（每题4分，共20分）

1.下列命题中，正确的有（）A.函数y=|x|在R上单调递增B.圆x²+y²-4x+3=0的圆心在x轴上C.若ab，则a²b²D.等比数列的前n项和公式为S_n=a1-qⁿ/1-qE.三角形的三条高线交于一点【答案】B、D、E【解析】A错误，y=|x|在x≥0时递增；C错误，如a=2,b=-3；B正确，圆心2,0；D正确，为等比数列求和公式；E正确，为三角形垂心性质

2.关于函数fx=ax²+bx+c，下列说法正确的有（）A.若a0，则函数图像开口向上B.函数的对称轴为x=-b/2aC.函数的最小值为-b²/4aD.若a=b=0，则fx为常数函数E.函数的图像必过点-b/2a,c-b²/4a【答案】A、B、D、E【解析】C错误，若a0时最小值-b²/4a；其余均正确

3.某班级有男生30人，女生20人，现要抽取一个容量为10的样本，下列抽样方法正确的有（）A.简单随机抽样B.系统抽样C.分层抽样D.整群抽样E.抽签法【答案】A、B、C、E【解析】D整群抽样不适用于此情况

4.关于命题逻辑，下列说法正确的有（）A.命题p且q为真，则p和q都为真B.p或q为真，至少有一个命题为真C.¬p且q等价于¬p或¬qD.命题p→q为真，则¬q→¬p也为真E.若p为假命题，则p或q为真【答案】A、B、C【解析】D错误，应为q→p；E错误，若q也为假则p或q为假

5.关于立体几何，下列说法正确的有（）A.正方体的对角线长相等B.直四棱柱的体积为底面积乘以高C.球的表面积公式为4πR²D.平行四边形的对角线互相平分E.正四面体的每个面都是等边三角形【答案】A、B、C、D、E【解析】全部正确

三、填空题（每题2分，共16分）

1.函数y=√x²-4x+3的定义域是________（4分）【答案】-∞,1]∪[3,+∞

2.在△ABC中，若b=4,c=5,∠A=60°，则a=________（4分）【答案】√4²+5²-2×4×5cos60°=

33.等差数列{a_n}中，若a₁=2,d=3,则a₁+a₂+a₃+a₄+a₅=________（4分）【答案】2+5×3=

174.某工厂生产某种产品，固定成本为8万元，每件产品可变成本为15元，售价为25元，则保本点产量为________件（4分）【答案】80000/25-15=

80005.样本数据3,5,7,9,11的平均数为________（4分）【答案】

76.复数z=2-3i的模长|z|为________（4分）【答案】√2²+-3²=√

137.函数y=2sin3x-π/4的周期为________（4分）【答案】2π/

38.某射手射击一次命中率为

0.6，则射击5次恰好命中3次的概率为________（4分）【答案】C5,

30.6³

0.4²=

0.216

四、判断题（每题2分，共10分）

1.若函数fx在区间[a,b]上连续，则fx在该区间上必有最大值和最小值（）【答案】（×）【解析】如fx=1/x在[0,1]上无最小值

2.若向量a=1,2，向量b=2,4，则向量a与向量b共线（）【答案】（√）【解析】b=2a，故共线

3.等比数列{a_n}中，若a₁=a，公比q≠1，则S_n=a1-qⁿ/1-q（）【答案】（√）【解析】为等比数列求和公式

4.三角形的三条中位线交于一点，且该点将每条中位线分为1:2两部分（）【答案】（√）【解析】中位线定理

5.若命题p为真命题，命题q为假命题，则p且q为假命题（）【答案】（√）【解析】且运算规则

五、简答题（每题4分，共20分）

1.求函数y=|x-1|+|x+2|的最小值及取得最小值时的x值（4分）【答案】最小值为3，当x=-2时取得

2.已知向量a=3,2，向量b=1,-1，求向量a与向量b的夹角余弦值（4分）【答案】cosθ=a·b/|a||b|=3×1+2×-1/√3²+2²√1²+-1²=-1/√

103.设等差数列{a_n}中，a₁=5，a₅=15，求该数列的通项公式（4分）【答案】由a₅=a₁+4d得d=

2.5，故a_n=5+

2.5n-

14.某班级有男生30人，女生20人，现要抽取一个容量为10的样本，若采用系统抽样，则分段间隔k应为多少？（4分）【答案】k=30+20/10=

55.写出命题若x²4，则x2的逆命题、否命题和逆否命题（4分）【答案】逆命题若x2，则x²4；否命题若x²≤4，则x≤2；逆否命题若x≤2，则x²≤4

六、分析题（每题10分，共20分）

1.设函数fx=x³-3x²+2x，

（1）求fx的极值点；

（2）讨论fx的单调性（10分）【答案】

（1）fx=3x²-6x+2，令fx=0得x=1±√3/3，f1+√3/3=2√3/9-1/3≈

0.07，f1-√3/3=-2√3/9-1/3≈-

0.44，故极大值点x=1-√3/3，极小值点x=1+√3/3

（2）当x∈-∞,1-√3/3时fx0，递增；当x∈1-√3/3,1+√3/3时fx0，递减；当x∈1+√3/3,+∞时fx0，递增

2.设样本数据为5,7,9,10,12,14

（1）计算样本的平均数和方差；

（2）若从该样本中删除一个数据，使得剩余数据的方差减小，应删除哪个数据？（10分）【答案】

（1）平均数x=5+7+9+10+12+14/6=10；方差s²=[5-10²+7-10²+...]/6=

9.67

（2）删除数据后方差减小，应删除与平均数最远的10，此时剩余数据为5,7,9,12,14，平均数为

9.6，方差为

8.96，小于原方差

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.某工厂生产某种产品，固定成本为10万元，每件产品可变成本为20元，售价为30元，若市场对该产品的需求量x（单位件）与价格p（单位元）满足关系p=40-

0.5x

（1）求该工厂的利润函数；

（2）求该工厂的最大利润及取得最大利润时的产量和价格；

（3）若该工厂要实现利润最大化，应如何定价？（25分）【答案】

（1）收入函数R=p·x=40-

0.5xx=40x-

0.5x²，成本函数C=10万+20x，利润函数L=R-C=40x-

0.5x²-10万+20x=-

0.5x²+20x-10万

（2）L为下开口抛物线，顶点x=-b/2a=-20/2×-

0.5=20，此时p=40-

0.5×20=30，最大利润L=-

0.5×20²+20×20-10万=-10万+400=30万

（3）当x=20时，p=30元，故定价30元时利润最大

2.某班级有男生30人，女生20人，现要抽取一个容量为10的样本，若采用分层抽样，其中男生抽取4人，女生抽取6人

（1）求分层抽样的抽样比例；

（2）若从男生中随机抽取4人，从女生中随机抽取6人，分别计算男生和女生平均成绩的抽样误差；

（3）若已知男生平均成绩为85分，女生平均成绩为90分，求样本的平均成绩（25分）【答案】

（1）抽样比例男生为4/30=1/

7.5，女生为6/20=3/10

（2）男生抽样误差为√[30×1-1/

7.5/30×85²/4]=√[6/

7.5×7225/4]=√1125≈

33.54；女生抽样误差为√[20×1-3/10/20×90²/6]=√[7/10×8100/6]=√945≈

30.74

（3）样本平均成绩=4/10×85+6/10×90=

86.5分。