上大悉商数学试题及答案分析

上大悉商数学经典试题及答案分析

一、单选题

1.若函数fx=ax^2+bx+c在x=1时取得极小值，则下列说法正确的是（）（2分）A.a0,b-2a=0B.a0,b-2a=0C.a0,b+2a=0D.a0,b+2a=0【答案】A【解析】函数fx在x=1处取得极小值，则f1=0且f10，即2a+b=0且4a0，解得a0,b=-2a

2.设向量α=1,2,3，β=0,1,1，则向量α与β的夹角余弦值为（）（2分）A.1/√14B.3/√14C.2/√14D.√14/3【答案】C【解析】cosθ=α·β/|α||β|=1×0+2×1+3×1/√14×√2=5/√28=2/√

143.极限limx→0sinx/x的值为（）（2分）A.1B.0C.无穷大D.-1【答案】A【解析】根据基本极限公式，limx→0sinx/x=

14.曲线y=x^3-3x^2+2在区间[-2,2]上的最大值与最小值分别为（）（2分）A.8,-4B.4,-4C.8,-8D.4,-8【答案】B【解析】y=3x^2-6x，令y=0得x=0或x=2，f-2=-4,f0=2,f2=-4，故最大值为2，最小值为-

45.若A是4阶方阵，|A|=2，则|3A|等于（）（1分）A.3B.6C.8D.36【答案】D【解析】|3A|=3^4|A|=81×2=

1626.设事件A的概率为PA=

0.6，事件B的概率为PB=

0.7，且PA∪B=

0.8，则PA∩B等于（）（2分）A.

0.1B.

0.3C.

0.5D.

0.9【答案】B【解析】PA∩B=PA+PB-PA∪B=

0.6+

0.7-

0.8=

0.

57.级数∑n=1to∞1/2^n的和为（）（2分）A.1/2B.1C.2D.无穷大【答案】B【解析】这是一个等比级数，首项a=1/2，公比r=1/2，和为a/1-r=1/2/1-1/2=

18.设函数fx在[a,b]上连续，则在a,b内至少存在一点ξ，使得（）成立（2分）A.fξ=fb-fa/b-aB.fξ=fb-fa/b-aC.fξ=fb+fa/2D.fξ=fb-fa/b【答案】B【解析】根据拉格朗日中值定理，存在ξ∈a,b使得fξ=fb-fa/b-a

9.矩阵A=[12;34]的逆矩阵A^-1为（）（2分）A.[4-2;-31]B.[1-2;-34]C[-42;3-1]D[-12;3-4]【答案】A【解析】A的行列式|A|=1×4-2×3=-2，A^-1=-1/2×[4-2;-31]=[4-2;-31]

10.若随机变量X服从正态分布Nμ,σ^2，则标准化后的随机变量Z=X-μ/σ服从的分布为（）（2分）A.N0,1B.Nμ,σ^2C.Nσ,μ^2D.N0,σ^2【答案】A【解析】根据正态分布的性质，标准化后的随机变量服从标准正态分布N0,1

二、多选题（每题4分，共20分）

1.以下哪些函数在定义域内连续？（）A.x^2B.1/xC.|x|D.sinxE.logx【答案】A、C、D【解析】x^

2、|x|、sinx在定义域内连续，1/x在x≠0时连续，logx在x0时连续

2.下列不等式正确的有？（）A.x^2+10B.|x|≥0C.sinx≤1D.e^x0E.cosx=1【答案】A、B、C、D【解析】x^2+10对所有实数x成立，|x|≥0对所有实数x成立，sinx≤1对所有实数x成立，e^x0对所有实数x成立，cosx=1仅在x=2kπk∈Z时成立

3.矩阵A可逆的充要条件有？（）A.|A|≠0B.A的行向量组线性无关C.A的列向量组线性无关D.A的特征值非零E.A的秩等于其阶数【答案】A、B、C、E【解析】矩阵A可逆的充要条件是|A|≠0，A的行向量组线性无关，A的列向量组线性无关，A的秩等于其阶数

4.关于事件A和B，下列说法正确的有？（）A.PA∪B=PA+PB-PA∩BB.PA|B=PAPBC.PA∩B=PAPBD.PA|B=PB|APA/PBE.PA∪B=PA+PB【答案】A、D【解析】PA∪B=PA+PB-PA∩B，PA|B=PA∩B/PB，PA|B=PB|APA/PB

5.关于级数，下列说法正确的有？（）A.若级数收敛，则其通项必趋于0B.若级数发散，则其通项必不趋于0C.若正项级数收敛，则其部分和有界D.若级数绝对收敛，则其条件收敛E.若级数收敛，则其部分和极限存在【答案】A、C、E【解析】级数收敛的必要条件是通项趋于0，正项级数收敛则部分和有界，级数收敛则部分和极限存在

三、填空题

1.函数fx=x^2-4x+5的顶点坐标为______（4分）【答案】2,

12.向量α=1,2,3与β=1,1,1的向量积为______（4分）【答案】-1,2,-

13.若limx→2x^2+ax+b/x-2=3，则a=______，b=______（4分）【答案】-4，-

24.矩阵A=[10;01]的特征值为______和______（4分）【答案】1，

15.设事件A的概率为PA=

0.4，事件B的概率为PB=

0.5，且A与B互斥，则PA∪B=______（4分）【答案】

0.

96.级数∑n=1to∞1/3^n的前n项和为______（4分）【答案】1/3-1/3^n+

17.函数fx=e^x在区间[0,1]上的平均值等于______（4分）【答案】e-1/

28.若随机变量X的期望EX=2，方差DX=1，则随机变量Y=3X-4的期望EY=______，方差DY=______（4分）【答案】2，

99.设A是3阶方阵，|A|=3，则|2A|=______（4分）【答案】

2410.若事件A的概率为PA=

0.6，事件B的概率为PB=

0.7，且PA|B=

0.5，则PB|A=______（4分）【答案】7/12

四、判断题（每题2分，共10分）

1.若函数fx在[a,b]上连续，则fx在[a,b]上必有界（）【答案】（√）【解析】根据有界性定理，连续函数在闭区间上必有界

2.若级数∑n=1to∞a_n收敛，则级数∑n=1to∞|a_n|也收敛（）【答案】（×）【解析】级数收敛不一定绝对收敛，如∑-1^n/n

3.若矩阵A可逆，则其转置矩阵A^T也可逆（）【答案】（√）【解析】矩阵A可逆的充要条件是其行列式不为0，转置不改变行列式的值

4.若事件A与B相互独立，则PA∩B=PAPB（）【答案】（√）【解析】事件A与B相互独立的定义就是PA∩B=PAPB

5.若函数fx在[a,b]上可积，则fx在[a,b]上必连续（）【答案】（×）【解析】可积函数不一定连续，如狄利克雷函数

五、简答题（每题4分，共20分）

1.简述拉格朗日中值定理的内容及其几何意义【答案】拉格朗日中值定理若函数fx在闭区间[a,b]上连续，在开区间a,b内可导，则存在ξ∈a,b，使得fξ=fb-fa/b-a几何意义在曲线y=fx上存在一点切线平行于连接点a,fa和b,fb的割线

2.简述矩阵可逆的充要条件【答案】矩阵A可逆的充要条件是|A|≠0，即矩阵A的行列式不为0；或者A的行向量组（或列向量组）线性无关；或者A的秩等于其阶数

3.简述事件A与B互斥的含义及其概率性质【答案】事件A与B互斥的含义是A与B不能同时发生，即A∩B=∅概率性质是PA∪B=PA+PB

4.简述正态分布Nμ,σ^2的主要性质【答案】正态分布Nμ,σ^2的主要性质曲线关于x=μ对称；在x=μ处取得最大值；曲线以x轴为渐进线；曲线下方与x轴所围面积为1；标准化后的随机变量服从标准正态分布N0,

15.简述级数绝对收敛与条件收敛的区别【答案】级数绝对收敛是指级数∑|a_n|收敛，级数条件收敛是指级数∑a_n收敛但∑|a_n|发散绝对收敛的级数一定收敛，但收敛的级数不一定绝对收敛

六、分析题（每题10分，共20分）

1.设函数fx=x^3-3x^2+2，求函数的单调区间和极值点【答案】fx=3x^2-6x=3xx-2，令fx=0得x=0或x=2当x0时，fx0，函数单调递增；当0x2时，fx0，函数单调递减；当x2时，fx0，函数单调递增故单调递增区间为-∞,0和2,+∞，单调递减区间为0,2极值点为x=0和x=2，f0=2，f2=-4，故极大值为2，极小值为-

42.设A是3阶方阵，且|A|=2，A^-1=[1/21/41/6;1/41/81/12;1/61/121/18]，求|A^-1|和A的伴随矩阵A【答案】|A^-1|=1/|A|=1/2根据伴随矩阵的性质，A=|A|A^-1=2A^-1=[11/21/3;1/21/41/6;1/31/61/9]

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.设函数fx=x^2-4x+5，求函数在区间[1,3]上的平均值，并计算函数在该区间上的平均变化率【答案】函数在区间[1,3]上的平均值为∫1to3x^2-4x+5dx/3-1=[1/3x^3-2x^2+5x|_1^3]/2=9-18+15-1/3-2+5/2=6-13/3/2=5/3/2=5/6函数在区间[1,3]上的平均变化率为f3-f1/3-1=-4-2/3-1=-6/2=-

32.设事件A与B的概率分别为PA=

0.6，PB=

0.5，且PA∪B=

0.8，求1PA∩B2PA|B3PB|A4PA∩B【答案】1PA∩B=PA+PB-PA∪B=

0.6+

0.5-

0.8=

0.32PA|B=PA∩B/PB=

0.3/

0.5=

0.63PB|A=PA∩B/PA=

0.3/

0.6=

0.54PA∩B=1-PA∪B=1-

0.8=

0.2

八、完整标准答案

一、单选题

1.A

2.C

3.A

4.B

5.D

6.B

7.B

8.B

9.A

10.A

二、多选题

1.A、C、D

2.A、B、C、D

3.A、B、C、E

4.A、D

5.A、C、E

三、填空题

1.2,

12.-1,2,-

13.-4，-

24.1，

15.

0.

96.1/3-1/3^n+

17.e-1/

28.2，

99.

2410.7/12

四、判断题

1.√

2.×

3.√

4.√

5.×

五、简答题

1.拉格朗日中值定理若函数fx在闭区间[a,b]上连续，在开区间a,b内可导，则存在ξ∈a,b，使得fξ=fb-fa/b-a几何意义在曲线y=fx上存在一点切线平行于连接点a,fa和b,fb的割线

2.矩阵A可逆的充要条件是|A|≠0，即矩阵A的行列式不为0；或者A的行向量组（或列向量组）线性无关；或者A的秩等于其阶数

3.事件A与B互斥的含义是A与B不能同时发生，即A∩B=∅概率性质是PA∪B=PA+PB

4.正态分布Nμ,σ^2的主要性质曲线关于x=μ对称；在x=μ处取得最大值；曲线以x轴为渐进线；曲线下方与x轴所围面积为1；标准化后的随机变量服从标准正态分布N0,

15.级数绝对收敛是指级数∑|a_n|收敛，级数条件收敛是指级数∑a_n收敛但∑|a_n|发散绝对收敛的级数一定收敛，但收敛的级数不一定绝对收敛

六、分析题

1.设函数fx=x^3-3x^2+2，求函数的单调区间和极值点【答案】fx=3x^2-6x=3xx-2，令fx=0得x=0或x=2当x0时，fx0，函数单调递增；当0x2时，fx0，函数单调递减；当x2时，fx0，函数单调递增故单调递增区间为-∞,0和2,+∞，单调递减区间为0,2极值点为x=0和x=2，f0=2，f2=-4，故极大值为2，极小值为-

42.设A是3阶方阵，且|A|=2，A^-1=[1/21/41/6;1/41/81/12;1/61/121/18]，求|A^-1|和A的伴随矩阵A【答案】|A^-1|=1/|A|=1/2根据伴随矩阵的性质，A=|A|A^-1=2A^-1=[11/21/3;1/21/41/6;1/31/61/9]

七、综合应用题

1.设函数fx=x^2-4x+5，求函数在区间[1,3]上的平均值，并计算函数在该区间上的平均变化率【答案】函数在区间[1,3]上的平均值为∫1to3x^2-4x+5dx/3-1=[1/3x^3-2x^2+5x|_1^3]/2=9-18+15-1/3-2+5/2=6-13/3/2=5/3/2=5/6函数在区间[1,3]上的平均变化率为f3-f1/3-1=-4-2/3-1=-6/2=-

32.设事件A与B的概率分别为PA=

0.6，PB=

0.5，且PA∪B=

0.8，求1PA∩B2PA|B3PB|A4PA∩B【答案】1PA∩B=PA+PB-PA∪B=

0.6+

0.5-

0.8=

0.32PA|B=PA∩B/PB=

0.3/

0.5=

0.63PB|A=PA∩B/PA=

0.3/

0.6=

0.54PA∩B=1-PA∪B=1-

0.8=

0.2。