上海中学数学创新试题及答案呈现

上海中学数学创新试题及答案呈现

一、单选题（每题2分，共20分）

1.已知集合A={x|x^2-3x+2=0}，B={x|x=2k+1，k∈Z}，则A∩B为（）（2分）A.{1}B.{2}C.{1，2}D.{-1，2}【答案】A【解析】解方程x^2-3x+2=0得x=1或x=2，所以A={1，2}B为奇数集合，A与B的交集为奇数，所以A∩B={1}

2.函数fx=log_ax+1在0，+∞上单调递增，则a的取值范围是（）（2分）A.0，1B.1，+∞C.0，1∪1，+∞D.R【答案】B【解析】对数函数fx=log_ax+1在0，+∞上单调递增，则底数a必须大于

13.若向量a=1，k，b=3，-2，且a∥b，则k的值为（）（2分）A.-6B.6C.±6D.±3【答案】A【解析】向量a∥b，则a×b=0，即1×-2-3×k=0，解得k=-

64.过点P1，2且与直线x-2y+3=0垂直的直线方程是（）（2分）A.2x+y-4=0B.2x-y+4=0C.x-2y+3=0D.x+2y-5=0【答案】A【解析】直线x-2y+3=0的斜率为1/2，垂直直线的斜率为-2，所以方程为y-2=-2x-1，即2x+y-4=

05.在△ABC中，若角A=60°，角B=45°，则角C的度数是（）（2分）A.75°B.105°C.65°D.135°【答案】A【解析】三角形内角和为180°，所以角C=180°-60°-45°=75°

6.函数y=sin2x+π/3的图像关于哪个点中心对称？（）（2分）A.0，0B.π/6，0C.π/3，0D.π/4，0【答案】B【解析】sin函数的图像中心对称点为周期的一半，即π/

67.某班级有50名学生，其中男生30人，女生20人，现要随机抽取4名学生，则抽到3名男生和1名女生的概率是（）（2分）A.C30，3/C50，4B.P30，3/P50，4C.C30，3×C20，1/C50，4D.P30，3×P20，1/P50，4【答案】C【解析】从30名男生中选3名，从20名女生中选1名，总情况数为C50，4，所以概率为C30，3×C20，1/C50，

48.若复数z=2+i/1-i，则|z|的值是（）（2分）A.√5B.1C.2D.√2【答案】D【解析】|z|=|2+i/1-i|=|2+i1+i|/|1-i|=|1+3i|/√2=√10/√2=√

59.在等差数列{a_n}中，若a_1=5，a_5=15，则a_10的值是（）（2分）A.25B.30C.35D.40【答案】C【解析】等差数列公差d=a_5-a_1/5-1=10/4=

2.5，所以a_10=a_1+9d=5+

22.5=

27.

510.若函数fx=x^3-3x+1，则fx在x=1处的切线方程是（）（2分）A.x-y=0B.x+y=0C.x-y+1=0D.x+y+1=0【答案】A【解析】fx=3x^2-3，f1=0，f1=-1，所以切线方程为y--1=0x-1，即x-y=0

二、多选题（每题4分，共20分）

1.以下命题中正确的有（）（4分）A.空集是任何集合的子集B.若ab，则a^2b^2C.对任意实数x，x^2≥0D.若A⊆B，B⊆C，则A⊆C【答案】A、C、D【解析】空集是任何集合的子集，对任意实数x，x^2≥0，若A⊆B，B⊆C，则A⊆C若ab，a^2不一定大于b^2，如a=-2，b=-

12.以下函数在其定义域内单调递增的有（）（4分）A.y=2^xB.y=1/xC.y=|x|D.y=lgx+1【答案】A、D【解析】指数函数y=2^x和y=lgx+1在其定义域内单调递增，y=1/x在0，+∞上单调递减，y=|x|在-∞，0上单调递减，在0，+∞上单调递增

3.以下向量组中，线性无关的有（）（4分）A.1，0，0，0，1，0，0，0，1B.1，2，2，4，3，6C.1，1，1，-1，2，0D.1，0，0，1，1，1【答案】A、C【解析】标准单位向量组线性无关，1，1，1，-1，2，0线性无关向量2，4是1，2的倍数，向量3，6是1，2的倍数，向量1，1，0，1，1，1线性相关

4.以下不等式成立的有（）（4分）A.x-1^2x+2^30B.|x-1|+|x+2|≥3C.x^2-4x+30D.1-x/x+1≥0【答案】B、D【解析】|x-1|+|x+2|表示数轴上x到1和-2的距离之和，最小值为3分式1-x/x+1≥0当且仅当x∈-∞，-1∪1，+∞

5.以下数列为等比数列的有（）（4分）A.1，-1，1，-1，…B.1，2，4，8，…C.1，1，2，3，…D.1，3，9，27，…【答案】A、B、D【解析】等比数列的特征是相邻项之比为常数数列A中相邻项之比为-1，数列B中相邻项之比为2，数列D中相邻项之比为3，均满足等比数列定义

三、填空题（每题4分，共20分）

1.在直角坐标系中，点A2，3关于直线x+y-1=0的对称点A的坐标是______（4分）【答案】-4，-2【解析】设A坐标为x，y，根据对称性质有x+2/2=1，y+3/2=1，解得x=-4，y=-

22.函数fx=√x^2+1在区间[-1，1]上的最小值是______（4分）【答案】1【解析】fx在[-1，1]上为增函数，最小值在x=0处取得，f0=√1=

13.在△ABC中，若角A=60°，角B=45°，a=√3，则b的值是______（4分）【答案】√2【解析】正弦定理a/sinA=b/sinB，所以b=asinB/sinA=√3sin45°/sin60°=√

24.数列{a_n}的前n项和为S_n=2n^2-3n，则a_5的值是______（4分）【答案】19【解析】a_5=S_5-S_4=25^2-35-24^2-34=

195.若复数z=1+i，则z^4的值是______（4分）【答案】-4【解析】z^2=1+i^2=2i，z^4=2i^2=-4

四、判断题（每题2分，共10分）

1.若fx是偶函数，则fx的图像关于y轴对称（）（2分）【答案】（√）【解析】偶函数定义f-x=fx，其图像关于y轴对称

2.不等式x^2-10的解集是-∞，-1∪1，+∞（）（2分）【答案】（√）【解析】解方程x^2-1=0得x=-1或x=1，所以不等式解集为-∞，-1∪1，+∞

3.若向量a=1，2，b=3，4，则a+b=4，6（）（2分）【答案】（√）【解析】向量加法分量对应相加，a+b=1+3，2+4=4，

64.等比数列{a_n}的公比为q，若a_10，则所有项均为正数（）（2分）【答案】（×）【解析】若q0，则奇数项为负数，如a_1=1，q=-2，则a_3=-

45.三角形两边之和大于第三边（）（2分）【答案】（√）【解析】三角形不等式定理任意两边之和大于第三边

五、简答题（每题5分，共15分）

1.求函数fx=x^3-3x^2+2在区间[-1，3]上的最大值和最小值（5分）【答案】最大值为f-1=5，最小值为f2=-2【解析】fx=3x^2-6x，令fx=0得x=0或x=2比较f-1，f0，f2，f3，得最大值f-1=5，最小值f2=-

22.解不等式|x-1|2（5分）【答案】x∈-∞，-1∪3，+∞【解析】x-12或x-1-2，解得x3或x-

13.已知向量a=2，-1，b=1，3，求向量a+b和a-b的坐标（5分）【答案】a+b=3，2，a-b=1，-4【解析】向量加法分量对应相加，向量减法分量对应相减

六、分析题（每题10分，共20分）

1.已知函数fx=x^2-2ax+2在x=1时取得最小值，求a的值，并判断fx的单调性（10分）【答案】a=1，fx在-∞，1]上单调递减，在[1，+∞上单调递增【解析】fx为二次函数，对称轴x=a，x=1时取得最小值，所以a=1fx=2x-2a，当x≤1时fx≤0，单调递减；当x≥1时fx≥0，单调递增

2.已知数列{a_n}的前n项和为S_n=n^2+n，求通项公式a_n，并判断是否为等差数列（10分）【答案】a_n=2n，是等差数列【解析】当n=1时a_1=S_1=2当n≥2时a_n=S_n-S_{n-1}=n^2+n-n-1^2-n-1=2n，所以a_n=2n数列是等差数列，公差为2

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.某工厂生产一种产品，固定成本为10000元，每件产品成本为50元，售价为80元若销售量为x件，求利润函数Lx，并求销售量为何值时利润最大？（25分）【答案】Lx=30x-10000，销售量x=500件时利润最大【解析】Lx=80x-50x-10000=30x-10000Lx=30，Lx=0，Lx为线性函数，在x=500时取得最大值，L500=15000-10000=5000元

2.已知函数fx=|x-1|+|x+2|，求fx的最小值，并画出函数图像（25分）【答案】最小值为3，图像见解析【解析】fx分段函数x-2时fx=-2x-1；-2≤x≤1时fx=3；x1时fx=2x+1最小值在x=0处取得，f0=3图像为V形，顶点0，3---标准答案

一、单选题

1.A

2.B

3.A

4.A

5.A

6.B

7.C

8.D

9.C

10.A

二、多选题

1.A、C、D

2.A、D

3.A、C

4.B、D

5.A、B、D

三、填空题

1.-4，-

22.

13.√

24.

195.-4

四、判断题

1.（√）

2.（√）

3.（√）

4.（×）

5.（√）

五、简答题

1.最大值为f-1=5，最小值为f2=-

22.x∈-∞，-1∪3，+∞

3.a+b=3，2，a-b=1，-4

六、分析题

1.a=1，fx在-∞，1]上单调递减，在[1，+∞上单调递增

2.a_n=2n，是等差数列

七、综合应用题

1.Lx=30x-10000，销售量x=500件时利润最大

2.最小值为3，图像见解析。