临平中学数学竞赛创新试题及答案

临平中学数学竞赛创新试题及答案

一、单选题

1.下列图形中，不是中心对称图形的是（）（1分）A.等腰三角形B.正方形C.矩形D.圆【答案】A【解析】等腰三角形不是中心对称图形

2.若函数fx=ax^2+bx+c的图像开口向上，且顶点在x轴上，则下列说法正确的是（）（2分）A.fx在R上单调递增B.fx在顶点处取得最小值C.方程ax^2+bx+c=0无实数根D.△=b^2-4ac0【答案】B【解析】函数图像开口向上且顶点在x轴上，说明顶点是极值点，且为最小值点

3.某几何体的三视图如右图所示，该几何体是（）（2分）A.正方体B.长方体C.圆锥D.球体【答案】B【解析】由三视图可知该几何体为长方体

4.在△ABC中，若角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足a^2+b^2=c^2，则角C是（）（2分）A.锐角B.直角C.钝角D.不确定【答案】B【解析】根据勾股定理，a^2+b^2=c^2说明△ABC是直角三角形，角C为直角

5.若复数z满足|z-1|=1，则z在复平面内对应的点位于（）（2分）A.以原点为圆心，半径为1的圆上B.以点1,0为圆心，半径为1的圆上C.以点0,1为圆心，半径为1的圆上D.以点1,1为圆心，半径为1的圆上【答案】B【解析】|z-1|=1表示复数z到点1,0的距离为1，即以1,0为圆心，半径为1的圆

6.某校组织数学竞赛，参赛选手有100名，其中男生60名，女生40名现要随机抽取5名选手组成一个小组，则抽到的5名选手中恰好有3名男生和2名女生的概率是（）（3分）A.

0.25B.

0.35C.

0.45D.

0.55【答案】B【解析】概率=C60,3×C40,2/C100,5=

0.

357.函数fx=|x-1|+|x+2|的最小值是（）（2分）A.-3B.1C.3D.不存在【答案】C【解析】函数图像由两段直线组成，最小值为两段直线交点处的值，即

38.在等差数列{a_n}中，若a_1=2，a_4=10，则a_10的值为（）（3分）A.20B.28C.30D.32【答案】C【解析】由等差数列通项公式a_n=a_1+n-1d，得d=4/3，a_10=2+9×4/3=

309.已知函数fx=x^3-3x^2+2，则方程fx=0的实数根的个数是（）（3分）A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】函数图像与x轴交点即为方程实数根，由图像可知有3个交点

10.在直角坐标系中，点A1,2关于直线y=x的对称点是（）（2分）A.1,2B.2,1C.2,-1D.-1,2【答案】B【解析】关于y=x对称，横纵坐标互换

二、多选题（每题4分，共20分）

1.以下哪些命题是真命题？（）A.空集是任何集合的子集B.若ab，则a^2b^2C.两个无理数的和一定是无理数D.等腰三角形的底角相等E.若x^2=1，则x=1【答案】A、D【解析】A是真命题；B不一定真，如a=1，b=-2；C不一定真，如√2+-√2=0；D是真命题；E不真，x=-1也满足

2.关于函数fx=sinx+π/3，下列说法正确的有（）A.周期为2πB.图像关于y轴对称C.在区间[0,π/2]上单调递增D.最大值为1E.最小值为-1/2【答案】A、D、E【解析】周期为2π；图像不关于y轴对称；在[0,π/2]上不是单调递增；最大值为1；最小值为-1/

23.下列不等式成立的有（）A.3^log_355^log_33B.1/2^-31/3^-3C.log_28log_39D.2^10010^30E.sinπ/6cosπ/4【答案】A、B、D【解析】A成立，因为3^log_35=53=5^log_33；B成立，因为1/2^-3=81/3^-3=27；C不成立，log_28=3log_39=2；D成立，因为2^100=2^10^1010^30；E不成立，sinπ/6=1/2cosπ/4=√2/

24.在四边形ABCD中，下列条件中能判定四边形为平行四边形的有（）A.对角线互相平分B.一组对边平行且相等C.两组对边分别平行D.两组对边分别相等E.对角线相等【答案】A、B、C【解析】A、B、C是平行四边形的性质或判定定理；D是矩形或等腰梯形的性质；E不是平行四边形的充分必要条件

5.已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足a_n=S_n-S_{n-1}（n≥2），则下列结论正确的有（）A.{a_n}一定是等差数列B.{a_n}一定是等比数列C.S_n是关于n的二次函数D.{a_n}可能是常数列E.S_n=a_1+a_2+...+a_n【答案】C、D、E【解析】由a_n=S_n-S_{n-1}得a_1=S_1，a_n=S_n-S_{n-1}，两式相减得a_n-a_{n-1}=a_{n-1}，即a_n=2a_{n-1}，所以{a_n}是等比数列；S_n=a_1+a_2+...+a_n，即S_n是关于n的二次函数；{a_n}可能是常数列，如a_n=0；S_n=a_1+a_2+...+a_n是显然的

三、填空题

1.若函数fx=ax^2+bx+c在x=1处取得极值，且f1=3，则b=______（4分）【答案】-2a【解析】由fx=2ax+b=0得x=-b/2a=1，即b=-2a；又f1=a+b+c=3，代入b=-2a得a+c=

32.在△ABC中，若角A=60°，角B=45°，边a=√3，则边b=______（4分）【答案】√6【解析】由正弦定理a/sinA=b/sinB得b=asinB/sinA=√3√2/2/√3/2=√

63.若复数z满足z^2+z+1=0，则|z|的值为______（4分）【答案】1【解析】由z^2+z+1=0得z=-1±√3i/2，|z|=√-1/2^2+±√3/2^2=

14.在等比数列{a_n}中，若a_2=6，a_4=54，则a_6=______（4分）【答案】972【解析】由等比数列通项公式a_n=a_1q^n-1，得q^2=a_4/a_2=54/6=9，即q=3；a_6=a_2q^4=63^4=

9725.某班级有50名学生，其中男生30名，女生20名现要随机抽取3名学生组成一个小组，则抽到的3名学生中恰好有2名男生和1名女生的概率是______（4分）【答案】3/10【解析】概率=C30,2C20,1/C50,3=3/10

四、判断题

1.若函数fx在区间I上单调递增，则其反函数f^{-1}x在区间I上单调递减（）（2分）【答案】（×）【解析】若fx在区间I上单调递增，则其反函数f^{-1}x在区间fI上单调递增

2.两个相似三角形的周长之比等于它们的面积之比（）（2分）【答案】（√）【解析】由相似三角形的性质知，周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方，所以周长之比等于面积之比

3.若ab，则a^2b^2（）（2分）【答案】（×）【解析】如a=1，b=-2，则ab但a^2=1b^2=

44.一个几何体的主视图和左视图都是矩形，则该几何体一定是长方体（）（2分）【答案】（×）【解析】如圆柱的主视图和左视图都是矩形，但圆柱不是长方体

5.若数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=an^2+bn+c，则{a_n}一定是等差数列（）（2分）【答案】（√）【解析】由S_n=an^2+bn+c得a_n=S_n-S_{n-1}=2an+b，即a_n-a_{n-1}=2a+b为常数，所以{a_n}是等差数列

五、简答题

1.已知函数fx=x^3-3x^2+2，求fx的单调区间（5分）【答案】解fx=3x^2-6x=3xx-2，令fx=0得x=0或x=2；当x0时，fx0，fx单调递增；当0x2时，fx0，fx单调递减；当x2时，fx0，fx单调递增；所以fx的单调递增区间为-∞,0和2,+∞，单调递减区间为0,

22.在△ABC中，若角A=60°，角B=45°，边a=√3，求边b和角C（5分）【答案】解由正弦定理a/sinA=b/sinB得b=asinB/sinA=√3√2/2/√3/2=√6；由三角形内角和定理得角C=180°-60°-45°=75°

3.已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=2^n-1，求a_n（5分）【答案】解当n=1时，a_1=S_1=2^1-1=1；当n≥2时，a_n=S_n-S_{n-1}=2^n-1-2^{n-1}-1=2^n-2^{n-1}=2^{n-1}；所以a_n=2^{n-1}（n≥1）

六、分析题

1.已知函数fx=x^3-ax^2+bx-1，若fx在x=1和x=-1时取得极值，求a和b的值，并判断fx的单调性（10分）【答案】解fx=3x^2-2ax+b，由题意得f1=0且f-1=0，即3-2a+b=0且3+2a+b=0；解得a=0，b=-3；所以fx=3x^2-3=3x^2-1=3x+1x-1；令fx=0得x=-1或x=1；当x-1时，fx0，fx单调递增；当-1x1时，fx0，fx单调递减；当x1时，fx0，fx单调递增；所以fx的单调递增区间为-∞,-1和1,+∞，单调递减区间为-1,

12.在△ABC中，若角A=60°，角B=45°，边a=√3，求边b、c和面积S（10分）【答案】解由正弦定理a/sinA=b/sinB得b=asinB/sinA=√3√2/2/√3/2=√6；由余弦定理a^2=b^2+c^2-2bccosA得3=6+c^2-2√6c1/2，即c^2-√6c+3=0；解得c=√3；由三角形面积公式S=1/2bcsinA得S=1/2√6√3√3=3√2/4

七、综合应用题

1.某工厂生产一种产品，固定成本为10000元，每生产一件产品的可变成本为50元，售价为80元若产品全部售出，求工厂的利润函数，并求当产量为多少时，工厂获得最大利润（25分）【答案】解设产量为x件，则收入为80x元，成本为10000+50x元，利润为Lx=80x-10000+50x=30x-10000；Lx=30，Lx=0，所以Lx在R上单调递增；当x=0时，Lx=-10000，当x足够大时，Lx→+∞；所以工厂的利润函数为Lx=30x-10000，当产量无限增大时，工厂获得无限接近于最大的利润注意由于题目数量较多，这里只给出了部分试题的答案和解析，其余试题请自行完成。