临平中学数学竞赛模拟试题及答案

临平中学数学竞赛模拟试题及答案

一、单选题（每题2分，共20分）

1.若集合A={x|x²-3x+2=0}，B={x|x²-ax+1=0}，且A∪B={1,2}，则实数a的值为（）（2分）A.1B.2C.3D.1或3【答案】D【解析】集合A={1,2}，因为A∪B={1,2}，所以B⊆A，分两种情况

①若B={1}，则方程x²-ax+1=0有两个相等的实数根1，解得a=2；

②若B={2}，则方程x²-ax+1=0有两个相等的实数根2，解得a=4；

③若B={1,2}，则方程x²-ax+1=0的根为1和2，解得a=3；综上，a的值为1或3或4，故选D

2.函数fx=sinx+π/4的图像关于直线x=π/4对称，则实数k的值为（）（2分）A.π/4B.π/2C.3π/4D.π【答案】C【解析】函数fx=sinx+π/4的图像关于直线x=π/4对称，即fπ/4-x=fπ/4+x，即sin[π/4-x+π/4]=sin[π/4+x+π/4]，即sinπ/2-x=sinπ/2+x，即cosx=cos-x，即cosx=cosx，所以k=3π/4，故选C

3.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a²=b²+c²-bc，则角A的度数为（）（2分）A.30°B.45°C.60°D.90°【答案】C【解析】根据余弦定理，cosA=b²+c²-a²/2bc，因为a²=b²+c²-bc，所以cosA=b²+c²-b²+c²-bc/2bc=1/2，所以角A的度数为60°，故选C

4.函数y=|x-1|+|x+2|的最小值为（）（2分）A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】函数y=|x-1|+|x+2|表示数轴上点x到点1和点-2的距离之和，当x在-2和1之间时，即-2≤x≤1时，函数取得最小值，最小值为1--2=3，故选C

5.过点P1,2的直线与圆C x-1²+y-1²=5相切，则切线的斜率为（）（2分）A.1B.-1C.2D.-2【答案】D【解析】设切线方程为y-2=kx-1，即kx-y-k+2=0，圆心1,1，半径√5，则圆心到直线的距离等于半径，即|k-1-k+2|/√k²+1=√5，解得k=-2，故选D

6.在等差数列{a_n}中，a_1=1，a_5=7，则a_10的值为（）（2分）A.13B.14C.15D.16【答案】C【解析】设等差数列{a_n}的公差为d，因为a_1=1，a_5=7，所以a_5=a_1+4d，即7=1+4d，解得d=3/2，所以a_10=a_1+9d=1+9×3/2=15，故选C

7.若复数z满足|z|=2，且z²是纯虚数，则z的值为（）（2分）A.2iB.-2iC.2或-2D.2i或-2i【答案】D【解析】设z=a+bia,b∈R，因为|z|=2，所以a²+b²=4，因为z²是纯虚数，所以a²-b²=0，且ab≠0，解得a=b=±1，所以z=±i，故选D

8.在直角坐标系中，点A1,2关于直线x-y+1=0的对称点A的坐标为（）（2分）A.2,-1B.-1,2C.2,1D.-1,-2【答案】A【解析】设点A1,2关于直线x-y+1=0的对称点A的坐标为x,y，则线段AA的中点M1+x/2,2+y/2在直线x-y+1=0上，即1+x/2-2+y/2+1=0，解得x=2，y=-1，所以A的坐标为2,-1，故选A

9.执行以下程序段后，变量s的值为（）（2分）i=1;s=0;whilei=5dos=s+i;i=i+2;endwhileA.3B.8C.15D.21【答案】B【解析】程序段执行过程如下i=1;s=0;第一次循环s=0+1=1;i=1+2=3;第二次循环s=1+3=4;i=3+2=5;第三次循环s=4+5=9;i=5+2=7;此时i=75，退出循环，所以s=9，故选B

10.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a=3，b=4，c=5，则cosC的值为（）（2分）A.1/2B.3/4C.4/5D.5/4【答案】C【解析】因为a=3，b=4，c=5，所以△ABC是直角三角形，且∠C=90°，所以cosC=4/5，故选C

二、多选题（每题4分，共20分）

1.以下命题中，正确的命题有（）（4分）A.空集是任何集合的子集B.若ab，则a²b²C.若x²=1，则x=1D.若a²+b²=0，则a=b=0E.若AB=AC，则△ABC是等腰三角形【答案】A、D、E【解析】空集是任何集合的子集，故A正确；若ab，则a²b²不一定成立，如-2-3，但-2²=-3²，故B错误；若x²=1，则x=±1，故C错误；若a²+b²=0，则a=b=0，故D正确；若AB=AC，则△ABC是等腰三角形，故E正确，故选A、D、E

2.以下函数中，在区间0,π上单调递增的有（）（4分）A.y=sinxB.y=cosxC.y=tanxD.y=lnxE.y=ex【答案】C、D、E【解析】函数y=sinx在区间0,π上先增后减，故A不正确；函数y=cosx在区间0,π上单调递减，故B不正确；函数y=tanx在区间0,π上单调递增，故C正确；函数y=lnx在区间0,π上单调递增，故D正确；函数y=ex在区间0,π上单调递增，故E正确，故选C、D、E

3.以下函数中，在其定义域内是奇函数的有（）（4分）A.y=x³B.y=1/xC.y=sinxD.y=cosxE.y=√x【答案】A、B、C【解析】函数y=x³是奇函数，故A正确；函数y=1/x是奇函数，故B正确；函数y=sinx是奇函数，故C正确；函数y=cosx是偶函数，故D错误；函数y=√x既不是奇函数也不是偶函数，故E错误，故选A、B、C

4.以下命题中，正确的命题有（）（4分）A.若ab，则√a√bB.若a²b²，则abC.若ab，则1/a1/bD.若ab0，则lnalnbE.若ab0，则√a√b【答案】D、E【解析】若ab，则√a√b不一定成立，如-2-3，但√-2²=√-3²=4，故A错误；若a²b²，则ab不一定成立，如-3-2，但-3²=-2²=9，故B错误；若ab，则1/a1/b不一定成立，如-2-3，但1/-21/-3，故C错误；若ab0，则lnalnb成立，故D正确；若ab0，则√a√b成立，故E正确，故选D、E

5.以下命题中，正确的命题有（）（4分）A.若△ABC∽△ABC，则对应边成比例B.若△ABC∽△ABC，则对应角相等C.若ab，则√a²√b²D.若ab0，则a²b²E.若ab0，则a³b³【答案】A、B、D、E【解析】若△ABC∽△ABC，则对应边成比例，故A正确；若△ABC∽△ABC，则对应角相等，故B正确；若ab，则√a²√b²不一定成立，如-3-4，但-3²=-4²=9，√9=√9，故C错误；若ab0，则a²b²成立，故D正确；若ab0，则a³b³成立，故E正确，故选A、B、D、E

三、填空题（每题4分，共24分）

1.在等比数列{a_n}中，a_1=2，a_4=16，则该数列的通项公式为______【答案】a_n=2^n-1【解析】设等比数列{a_n}的公比为q，因为a_1=2，a_4=16，所以a_4=a_1q^3，即16=2q^3，解得q=2，所以a_n=a_1q^n-1=2×2^n-1=2^n-

12.函数y=2cos2x+π/3的最小正周期为______【答案】π【解析】函数y=2cos2x+π/3的周期为T=2π/|ω|=2π/2=π

3.若复数z=1+i，则z²的虚部为______【答案】0【解析】z²=1+i²=1+2i+i²=1+2i-1=2i，所以z²的虚部为

04.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a=3，b=4，c=5，则cosB的值为______【答案】3/4【解析】因为a=3，b=4，c=5，所以△ABC是直角三角形，且∠C=90°，所以cosB=b/c=4/

55.过点P1,2的直线与圆C x-1²+y-1²=5相切，则切线的方程为______或______【答案】x=1或y=2【解析】过点P1,2的直线与圆C x-1²+y-1²=5相切，当切线的斜率不存在时，切线方程为x=1；当切线的斜率存在时，设切线方程为y-2=kx-1，即kx-y-k+2=0，圆心1,1，半径√5，则圆心到直线的距离等于半径，即|k-1-k+2|/√k²+1=√5，解得k=-2，所以切线方程为y-2=-2x-1，即2x+y=4，即2x+y-4=0，所以切线的方程为x=1或2x+y-4=

06.执行以下程序段后，变量s的值为______i=1;s=0;whilei=5dos=s+i;i=i+1;endwhile【答案】15【解析】程序段执行过程如下i=1;s=0;第一次循环s=0+1=1;i=1+1=2;第二次循环s=1+2=3;i=2+1=3;第三次循环s=3+3=6;i=3+1=4;第四次循环s=6+4=10;i=4+1=5;第五次循环s=10+5=15;i=5+1=6;此时i=65，退出循环，所以s=15

四、判断题（每题2分，共10分）

1.若ab，则a²b²（）【答案】（×）【解析】若ab，则a²b²不一定成立，如-2-3，但-2²=-3²=4，故错误

2.若函数y=fx在区间a,b上单调递增，则fafb（）【答案】（×）【解析】若函数y=fx在区间a,b上单调递增，则fafb，故错误

3.若复数z=a+bia,b∈R是纯虚数，则a=0且b≠0（）【答案】（√）【解析】若复数z=a+bia,b∈R是纯虚数，则实部a=0且虚部b≠0，故正确

4.若直线l过点A1,2且与直线x-y+1=0垂直，则直线l的方程为x+y=3（）【答案】（√）【解析】直线x-y+1=0的斜率为1，所以垂直于它的直线的斜率为-1，所以直线l的方程为y-2=-1x-1，即x+y=3，故正确

5.若函数y=fx是偶函数，则其图像关于y轴对称（）【答案】（√）【解析】若函数y=fx是偶函数，则f-x=fx，所以其图像关于y轴对称，故正确

五、简答题（每题4分，共20分）

1.求函数y=|x-1|+|x+2|的最小值【答案】3【解析】函数y=|x-1|+|x+2|表示数轴上点x到点1和点-2的距离之和，当x在-2和1之间时，即-2≤x≤1时，函数取得最小值，最小值为1--2=

32.求过点P1,2且与圆C x-1²+y-1²=5相切的直线方程【答案】x=1或2x+y-4=0【解析】过点P1,2的直线与圆C x-1²+y-1²=5相切，当切线的斜率不存在时，切线方程为x=1；当切线的斜率存在时，设切线方程为y-2=kx-1，即kx-y-k+2=0，圆心1,1，半径√5，则圆心到直线的距离等于半径，即|k-1-k+2|/√k²+1=√5，解得k=-2，所以切线方程为y-2=-2x-1，即2x+y=4，即2x+y-4=0，所以切线的方程为x=1或2x+y-4=

03.求等差数列{a_n}中，若a_1=1，a_5=7，则a_10的值【答案】15【解析】设等差数列{a_n}的公差为d，因为a_1=1，a_5=7，所以a_5=a_1+4d，即7=1+4d，解得d=3/2，所以a_10=a_1+9d=1+9×3/2=

154.求复数z=1+i的平方【答案】2i【解析】z²=1+i²=1+2i+i²=1+2i-1=2i

5.求过点A1,2的直线与圆C x-1²+y-1²=5相切，切点的坐标【答案】1,4或2,1【解析】过点P1,2的直线与圆C x-1²+y-1²=5相切，当切线的斜率不存在时，切线方程为x=1，切点为1,4；当切线的斜率存在时，设切线方程为y-2=kx-1，即kx-y-k+2=0，圆心1,1，半径√5，则圆心到直线的距离等于半径，即|k-1-k+2|/√k²+1=√5，解得k=-2，所以切线方程为y-2=-2x-1，即2x+y=4，即2x+y-4=0，切点为2,1，所以切点的坐标为1,4或2,1

六、分析题（每题10分，共20分）

1.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a=3，b=4，c=5，求cosA和cosB的值【答案】cosA=4/5，cosB=3/4【解析】因为a=3，b=4，c=5，所以△ABC是直角三角形，且∠C=90°，所以cosA=b/c=4/5，cosB=a/c=3/

42.在等比数列{a_n}中，a_1=2，a_4=16，求该数列的前10项和S₁₀【答案】1022【解析】设等比数列{a_n}的公比为q，因为a_1=2，a_4=16，所以a_4=a_1q^3，即16=2q^3，解得q=2，所以a_n=a_1q^n-1=2×2^n-1=2^n，所以S₁₀=21-2^10/1-2=2×2^11-1/-1=1022

七、综合应用题（每题25分，共25分）

1.在直角坐标系中，点A1,2关于直线x-y+1=0的对称点A的坐标为2,-1，求过点A和A的直线方程【答案】x-y+1=0【解析】过点A1,2和A2,-1的直线方程为y-2/x-1=-1-2/2-1，即y-2/x-1=-3，即y-2=-3x-1，即3x+y-5=0，即x-y+1=

02.在等差数列{a_n}中，a_1=1，a_5=7，求该数列的前10项和S₁₀【答案】105【解析】设等差数列{a_n}的公差为d，因为a_1=1，a_5=7，所以a_5=a_1+4d，即7=1+4d，解得d=3/2，所以a_n=a_1+n-1d=1+n-1×3/2=3n/2-1/2，所以S₁₀=10×a_1+a₁₀/2=10×1+3×10/2-1/2/2=10×1+

14.5/2=10×

7.75=

77.5，即S₁₀=105

八、标准答案及解析

一、单选题

1.D

2.C

3.C

4.C

5.D

6.C

7.D

8.A

9.B

10.C

二、多选题

1.A、D、E

2.C、D、E

3.A、B、C

4.D、E

5.A、B、D、E

三、填空题

1.a_n=2^n-

12.π

3.

04.3/

45.x=1或2x+y-4=

06.15

四、判断题

1.×

2.×

3.√

4.√

5.√

五、简答题

1.

32.x=1或2x+y-4=

03.

154.2i

5.1,4或2,1

六、分析题

1.cosA=4/5，cosB=3/

42.S₁₀=1022

七、综合应用题

1.x-y+1=

02.S₁₀=105。