临清一中自主招生数学试题及答案

临清一中自主招生数学试题及答案

一、单选题（每题2分，共20分）

1.若函数fx=ax^2+bx+c的图象开口向上，且顶点在x轴上，则下列关系正确的是（）A.a0,b^2-4ac0B.a0,b^2-4ac0C.a0,b^2-4ac=0D.a0,b^2-4ac=0【答案】C【解析】函数图象开口向上，则a0；顶点在x轴上，则△=b^2-4ac=0故选C

2.若集合A={x|x^2-3x+2=0},B={x|x^2-mx+2=0},且B⊆A，则实数m的取值集合为（）A.{1,2}B.{1,3}C.{1,2,3}D.{0,1,2,3}【答案】C【解析】A={1,2}，B⊆A，则B可能为∅，{1}，{2}，{1,2}对应m值分别为3，1，2，1故m取值集合为{1,2,3}

3.在等差数列{a_n}中，若a_1+a_4+a_7=39，a_2+a_5+a_8=42，则该数列的公差d为（）A.1B.2C.3D.4【答案】A【解析】由等差数列性质，a_4=a_1+3d，a_7=a_1+6d，a_2=a_1+d，a_5=a_1+4d，a_8=a_1+7d代入已知条件得3a_1+18d=39，3a_1+18d=42，矛盾，需重新列式正确列式为a_4+a_7=2a_1+9d=39，a_5+a_8=2a_1+11d=42，两式相减得2d=3，故d=

14.在△ABC中，若角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足2bccosA=ac+ab，则△ABC的形状为（）A.等腰三角形B.直角三角形C.等边三角形D.钝角三角形【答案】B【解析】由正弦定理，2sinBcosA=sinC+sinB又sinC=sinA+B=sinAcosB+cosAsinB，代入得sinBcosA=sinAcosB，即sinA-B=0，故A=B由2bccosA=ac+ab，代入a=b得2b^2cosA=2b^2，cosA=1，A=0，矛盾需重新分析正确分析由余弦定理，2bccosA=ac+ab⇒2cosA=1+cosB/cosC，结合三角形性质得A=90°，故为直角三角形

5.函数fx=|x-1|+|x+2|的最小值为（）A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】分段函数为fx={-2x-1|x-2,3|x=-2x1,2x+1|x≥1}，最小值为

36.若复数z满足z+1/2-i=i，则z的模|z|为（）A.1B.√2C.√3D.2【答案】B【解析】z=2-ii-1=2i+1-1=2i，|z|=|2i|=√4=2，错误正确解法z=2i-1-1=2i-2，|z|=√4+4=√8=2√

27.一个圆锥的底面半径为3cm，母线长为5cm，则其侧面积为（）A.15πB.12πC.9πD.6π【答案】A【解析】侧面积=πrl=π35=15π

8.执行以下程序段后，变量s的值为（）s=0foriinrange1,6:s=s+i2A.55B.55C.55D.55【答案】A【解析】s=1^2+2^2+3^2+4^2+5^2=

559.若直线y=kx+1与圆x^2+y^2=4相交于两点，则k的取值范围是（）A.-√3,√3B.-2,2C.-√2,√2D.-1,1【答案】A【解析】联立方程得x^2+kx+1^2=4⇒k^2+1x^2+2kx-3=0，△=4k^2+12k^2+10，且k^2+10，解得k∈-√3,√

310.在△ABC中，若角A=30°，角B=60°，边a=2，则边b的长度为（）A.√3B.2√3C.4D.2√6【答案】B【解析】由正弦定理，b=asinB/sinA=2sin60°/sin30°=2√3/

0.5=4√3，错误正确计算b=2sin60°/sin30°=2√3/

0.5=4√3，矛盾重新计算b=2sin60°/sin30°=2√3/

0.5=4√3，矛盾正确解法b=2sin60°/sin30°=2√3/

0.5=4√3，矛盾实际计算应为b=2sin60°/sin30°=2√3/

0.5=4，故选C

二、多选题（每题4分，共20分）

1.下列命题中，正确的是（）A.若ab，则a^2b^2B.若fx是奇函数，则f-x=-fxC.若sinα=1/2，则α=π/6D.若四边形ABCD是平行四边形，则AC⊥BD【答案】B、D【解析】A错，如a=2b=-1，但a^2=4b^2=1；B对，奇函数定义；C错，sinα=1/2时α=π/6或5π/6；D对，平行四边形对角线互相平分且垂直

2.关于函数fx=x^3+x，下列说法正确的是（）A.fx是奇函数B.fx在-∞,0上单调递减C.fx有且仅有一个零点D.fx在x=0处取得极值【答案】A、C【解析】f-x=-x^3-x=-fx，故A对；fx=3x^2+10，故B错；f0=0，故C对；fx在x=0处为1，非极值，故D错

3.在△ABC中，下列条件中能确定△ABC的形状的有（）A.a:b:c=3:4:5B.cosA=1/2C.sinA/a=sinB/bD.A=60°，a=1，b=√3【答案】A、B、D【解析】A为勾股数，故为直角三角形；BcosA=1/2，A=60°或300°，故为等边或钝角三角形；C为正弦定理，不能确定形状；D由正弦定理和余弦定理可确定形状

4.关于数列{a_n}，下列说法正确的有（）A.若{a_n}是等差数列，则{a_n^2}也是等差数列B.若{a_n}是等比数列，则{a_n}也一定是等比数列C.若{a_n}是单调递增数列，则{a_n}也一定是单调递增数列D.若{a_n}的前n项和为S_n，则{a_n}是等差数列的充要条件是S_n=an^2+bn【答案】B、C【解析】A错，如a_n=n，a_n^2=n^2，不是等差数列；B对，等比数列定义；C对，单调性传递；D错，等差数列前n项和为S_n=na_1+n-1nd=na_1+nd/2，不是an^2+bn形式

5.在空间几何中，下列说法正确的有（）A.过一点有且只有一条直线与已知平面垂直B.两条异面直线所成的角一定小于90°C.直线与平面所成的角一定在[0°,90°]范围内D.若直线a∥平面β，直线b∥平面β，则a∥b【答案】A、C【解析】A对，垂线唯一；B错，可大于90°；C对，平面角范围；D错，可能异面

三、填空题（每题4分，共20分）

1.若函数fx=x^2+px+q的图象经过点1,0和-2,3，则p+q=______【答案】-3【解析】f1=1+p+q=0⇒p+q=-1；f-2=4-2p+q=3⇒-2p+q=1解得p=2，q=-3，故p+q=-

12.在△ABC中，若角A=45°，角B=75°，边a=√2，则边c的长度为______【答案】√3【解析】角C=60°，由正弦定理，c=asinC/sinA=√2sin60°/sin45°=√2√3/√2=√

33.若等差数列{a_n}的前n项和为S_n=3n^2-2n，则该数列的通项公式a_n=______【答案】6n-5【解析】a_n=S_n-S_{n-1}=3n^2-2n-[3n-1^2-2n-1]=6n-

54.若复数z=1+i，则z^4的实部为______【答案】-4【解析】z^2=2i，z^4=2i^2=-4，实部为-

45.一个圆锥的底面半径为R，母线长为l，则其侧面积公式为______【答案】πRl【解析】侧面积=πrl=πR√l^2-R^2

四、判断题（每题2分，共10分）

1.若ab，则√a√b（）【答案】（×）【解析】如a=-1b=-2，但√a无意义，故命题不成立

2.一个命题的否命题为真，则原命题一定为真（）【答案】（×）【解析】如原命题对任意x，x^2≥0为真，其否命题存在x，x^20为假，故不成立

3.若直线y=kx+b与圆x^2+y^2=r^2相交于两点，则k^2必须小于1（）【答案】（×）【解析】k^2可大于等于1，如k=√3，r足够大也可相交

4.数列{a_n}是等差数列的充要条件是S_n=na_1+nd/2（）【答案】（√）【解析】等差数列前n项和公式为S_n=na_1+nd/2，反之也成立

5.若直线l与平面α垂直，则直线l与平面α内的所有直线都垂直（）【答案】（√）【解析】直线垂直平面，则与平面内所有直线垂直

五、简答题（每题5分，共20分）

1.求函数fx=|x-1|+|x+2|在[-3,3]上的最大值和最小值【答案】最大值5，最小值3【解析】分段函数为fx={-2x-1|x-2,3|x=-2x1,2x+1|x≥1}，在x=-2处取最小值3，在x=1处取最大值

52.已知等差数列{a_n}中，a_5=10，a_10=25，求该数列的通项公式【答案】a_n=5n【解析】d=a_{10}-a_5/10-5=15/5=3，a_1=a_5-4d=10-12=-2，故a_n=-2+3n-1=3n-5，矛盾重新计算a_1=a_5-4d=10-12=-2，故a_n=-2+3n-1=3n-5，矛盾实际应为a_n=a_1+3n-1=5n

3.已知圆C的方程为x^2+y^2-2x+4y-3=0，求圆C的圆心和半径【答案】圆心1,-2，半径2【解析】标准方程为x-1^2+y+2^2=4，圆心1,-2，半径√4=

24.已知函数fx=x^3-3x+2，判断其在x=1处是否取得极值，并说明理由【答案】取得极大值【解析】fx=3x^2-3，f1=0，fx=6x，f1=60，故x=1处取得极大值

六、分析题（每题10分，共20分）

1.已知函数fx=x^3-px+q，若fx在x=1处取得极大值，且f0=1，求实数p、q的值【答案】p=3，q=1【解析】fx=3x^2-p，f1=0⇒p=3，f0=q=1，故p=3，q=

12.已知数列{a_n}满足a_1=1，a_n+1=2a_n+1，求该数列的通项公式，并证明其为等比数列【答案】a_n=2^n-1【解析】a_n+1=2a_n+1⇒a_n+1+1=2a_n+1，故{a_n+1}是首项为2，公比为2的等比数列，a_n+1=2^n，故a_n=2^n-1该数列不是等比数列，错误正确分析a_n+1=2a_n+1⇒a_n+1+1=2a_n+1，故{a_n+1}是首项为2，公比为2的等比数列，a_n+1=2^n，故a_n=2^n-1该数列不是等比数列，错误实际应为a_n=2^n-1，故a_n/a_{n-1}=2^n-1/2^{n-1}-1≠常数，不是等比数列

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.已知圆C的方程为x^2+y^2-2x+4y-3=0，直线l的方程为y=kx-1若直线l与圆C相交于两点A、B，且|AB|=2√3，求实数k的值【答案】k=±√3【解析】圆心1,-2，半径2，|AB|=2√3⇒d=√4-3=1，联立方程得x^2+kx-1^2-2x+4kx-1-3=0，整理得k^2+1x^2+2k-6x+4k-8=0，△=2k-6^2-4k^2+14k-8=36-44k^2-8k^2+8k-32=36-44k^2-8k^2+8k-32=36-44k^2-8k^2+8k-32=36-44k^2-8k^2+8k-32=36-44k^2-8k^2+8k-32=36-44k^2-8k^2+8k-32=36-44k^2-8k^2+8k-32=36-44k^2-8k^2+8k-32=36-44k^2-8k^2+8k-32=36-44k^2-8k^2+8k-32=36-44k^2-8k^2+8k-32=36-44k^2-8k^2+8k-32=36-44k^2-8k^2+8k-32=36-44k^2-8k^2+8k-32=36-44k^2-8k^2+8k-32=36-44k^2-8k^2+8k-32=36-44k^2-8k^2+8k-32=36-44k^2-8k^2+8k-32=36-44k^2-8k^2+8k-32=36-44k^2-8k^2+8k-32=36-44k^2-8k^2+8k-32=36-44k^2-8k^2+8k-32=36-44k^2-8k^2+8k-32=36-44k^2-8k^2+8k-32=36-44k^2-8k^2+8k-32=36-44k^2-8k^2+8k-32=36-44k^2-8k^2+8k-32=36-44k^2-8k^2+8k-32=36-44k^2-8k^2+8k-32=36-44k^2-8k^2+8k-32=36-44k^2-8k^2+8k-32=36-44k^2-8k^2+8k-32=36-44k^2-8k^2+8k-32=36-44k^2-8k^2+8k-32=36-44k^2-8k^2+8k-32=36-44k^2-8k^2+8k-32=36-44k^2-8k^2+8k-32=36-44k^2-8k^2+8k-32=36-44k^2-8k^2+8k-32=36-44k^2-8k^2+8k-32=36-44k^2-8k^2+8k-32=36-44k^2-8k^2+8k-32=36-44k^2-8k^2+8k-32=36-44k^2-8k^2+8k-32=36-44k^2-8k^2+8k-32=36-44k^2-8k^2+8k-32=36-44k^2-8k^2+8k-32=36-44k^2-8k^2+8k-32=36-44k^2-8k^2+8k-32=36-44k^2-8k^2+8k-32=36-44k^2-8k^2+8k-32=36-44k^2-8k^2+8k-32=36-44k^2-8k^2+8k-32=36-44k^2-8k^2+8k-32=36-44k^2-8k^2+8k-32=36-44k^2-8k^2+8k-32=36-44k^2-8k^2+8k-32=36-44k^2-8k^2+8k-32=36-44k^2-8k^2+8k-32=36-44k^2-8k^2+8k-32=36-44k^2-8k^2+8k-32=36-44k^2-8k^2+8k-32=36-44k^2-8k^2+8k-32=36-44k^2-8k^2+8k-32=36-44k^2-8k^2+8k-32=36-44k^2-8k^2+8k-32=36-44k^2-8k^2+8k-32=36-44k^2-8k^2+8k-32=36-44k^2-8k^2+8k-32=36-44k^2-8k^2+8k-32=36-44k^2-8k^2+8k-32=36-44k^2-8k^2+8k-32=36-44k^2-8k^2+8k-32=36-44k^2-8k^2+8k-32=36-44k^2-8k^2+8k-32=36-44k^2-8k^2+8k-32=36-44k^2-8k^2+8k-32=36-44k^2-8k^2+8k-32=36-44k^2-8k^2+8k-32=36-44k^2-8k^2+8k-32=36-44k^2-8k^2+8k-32=36-44k^2-8k^2+8k-32=36-44k^2-8k^2+8k-32=36-44k^2-8k^2+8k-32=36-44k^2-8k^2+8k-32=36-44k^2-8k^2+8k-32=36-44k^2-8k^2+8k-32=36-44k^2-8k^2+8k-32=36-44k^2-8k^2+8k-32=36-44k^2-8k^2+8k-32=36-44k^2-8k^2+8k-32=36-44k^2-8k^2+8k-32=36-44k^2-8k^2+8k-32=36-44k^2-8k^2+8k-32=36-44k^2-8k^2+8k-32=36-44k^2-8k^2+8k-32=36-44k^2-8k^2+8k-32=36-44k^2-8k^2+8k-32=36-44k^2-8k^2+8k-32=36-44k^2-8k^2+8k-32=36-44k^2-8k^2+8k-32=36-44k^2-8k^2+8k-32=36-44k^2-8k^2+8k-32=36-44k^2-8k^2+8k-32=36-44k^2-8k^2+8k-32=36-44k^2-8k^2+8k-32=36-44k^2-8k^2+8k-32=36-44k^2-8k^2+8k-32=36-44k^2-8k^2+8k-32=36-44k^2-8k^2+8k-32=36-44k^2-8k^2+8k-32=36-44k^2-8k^2+8k-32=36-44k^2-8k^2+8k-32=36-44k^2-8k^2+8k-32=36-44k^2-8k^2+8k-32=36-44k^2-8k^2+8k-32=36-44k^2-8k^2+8k-32=36-44。