全国三卷数学真题及答案解析

全国三卷数学真题及答案解析

一、单选题（每题2分，共20分）

1.已知集合A={x|x^2-3x+2=0}，B={x|x-10}，则A∩B等于（）（2分）A.{1}B.{2}C.{1,2}D.{1,2,3}【答案】B【解析】集合A={1,2}，集合B={x|x1}，所以A∩B={2}

2.函数fx=log_2x+1的定义域是（）（2分）A.-1,+∞B.[-1,+∞C.-∞,-1D.-∞,+∞【答案】B【解析】x+10，解得x-1，所以定义域为[-1,+∞

3.等差数列{a_n}中，a_1=2，a_2=5，则a_5等于（）（2分）A.8B.10C.12D.15【答案】C【解析】公差d=a_2-a_1=3，a_5=a_1+4d=2+12=

144.三角形ABC中，角A=45°，角B=60°，则角C等于（）（2分）A.75°B.105°C.120°D.135°【答案】B【解析】角C=180°-角A-角B=180°-45°-60°=75°

5.直线y=2x+1与x轴的交点坐标是（）（2分）A.0,1B.1,0C.-1,0D.0,-1【答案】C【解析】令y=0，解得x=-1/2，所以交点坐标为-1/2,

06.函数y=sin2x的周期是（）（2分）A.πB.2πC.π/2D.π/4【答案】A【解析】周期T=2π/|ω|=2π/2=π

7.已知向量a=3,4，b=1,2，则向量a·b等于（）（2分）A.11B.14C.22D.28【答案】A【解析】a·b=3×1+4×2=

118.圆x^2+y^2-4x+6y-3=0的圆心坐标是（）（2分）A.2,-3B.-2,3C.2,3D.-2,-3【答案】C【解析】标准式为x-2^2+y+3^2=16，圆心2,-

39.某校高三年级有1000名学生，随机抽取200名学生进行体检，则样本容量是（）（2分）A.1000B.200C.50D.20【答案】B【解析】样本容量指抽样数量，为

20010.若fx是奇函数，且f1=3，则f-1等于（）（2分）A.1B.-1C.3D.-3【答案】D【解析】奇函数满足f-x=-fx，所以f-1=-f1=-3

二、多选题（每题4分，共20分）

1.下列函数中，在区间0,1上单调递增的有（）（4分）A.y=x^2B.y=2x+1C.y=1/xD.y=sinx【答案】A、B【解析】y=x^2在0,1上递增，y=2x+1在0,1上递增，y=1/x在0,1上递减，y=sinx在0,π/2上递增但题目区间不足

2.关于抛物线y^2=2pxp0，下列说法正确的有（）（4分）A.焦点在x轴正半轴B.准线方程为x=-pC.开口向右D.焦距为p【答案】A、C、D【解析】抛物线焦点为p/2,0，准线x=-p，开口向右，焦距为p

3.在△ABC中，下列条件能确定唯一三角形的有（）（4分）A.边a=3，边b=4，角C=60°B.边c=5，角A=45°，角B=75°C.边a=7，边b=8，边c=9D.角A=60°，角B=45°，边c=8【答案】A、B、C【解析】A满足SAS，B满足AAS，C满足SSS，D不满足边角边唯一性

4.下列命题中，真命题的有（）（4分）A.空集是任何集合的子集B.若ab，则a^2b^2C.若fx是偶函数，则f0是最大值或最小值D.三角形两边之和大于第三边【答案】A、D【解析】A显然为真，B反例a=1b=-2，C不一定，D为三角形不等式

5.在等比数列{a_n}中，下列结论正确的有（）（4分）A.a_1=a_3/a_2B.a_n=a_1q^n-1C.a_n=a_n-1qD.S_n=a_11-q^n/1-q【答案】B、C、D【解析】A应为a_1=a_2/a_3，B为通项公式，C为递推公式，D为前n项和公式

三、填空题（每题4分，共24分）

1.若fx=|x-1|+|x+2|，则fx的最小值是______（4分）【答案】3【解析】fx表示数轴上x到1和-2的距离之和，最小值为

32.若z=1+i^5，则z的虚部是______（4分）【答案】8i【解析】z=1+i^41+i=4i1+i=-4+4i，虚部为8i

3.某工厂生产某种产品，每天产量与成本的关系为C=100+2qq为产量，当产量为50时，平均成本为______元（4分）【答案】3【解析】平均成本=100+2q/q=2+100/q，q=50时为3元

4.若sinα=1/2，且α在第二象限，则cosα=______（4分）【答案】-√3/2【解析】cosα=-√1-sin^2α=-√3/

25.在△ABC中，若a:b:c=3:4:5，则cosA=______（4分）【答案】3/5【解析】设a=3k，b=4k，c=5k，cosA=b^2+c^2-a^2/2bc=3/

56.函数y=2sinπx+1的最小正周期是______（4分）【答案】2【解析】周期T=2π/|ω|=2π/π=2

四、判断题（每题2分，共10分）

1.若ab，则√a√b（）（2分）【答案】（×）【解析】反例a=4b=1，√a=2√b=

12.两个相似三角形的周长比等于它们的面积比（）（2分）【答案】（√）【解析】相似比为k，则周长比也为k，面积比为k^

23.若fx是偶函数，则fx=f-x对任意x成立（）（2分）【答案】（√）【解析】定义偶函数fx=f-x

4.抛物线y^2=8x的焦点到准线的距离是4（）（2分）【答案】（√）【解析】焦点2,0，准线x=-2，距离为

45.等差数列的前n项和S_n与n成正比（）（2分）【答案】（×）【解析】S_n是n的二次函数，不是正比

五、简答题（每题5分，共15分）

1.解方程x^2-3x-4=0（5分）【答案】x_1=-1，x_2=4【解析】因式分解x+1x-4=0，解得x=-1或x=

42.已知向量a=2,3，b=1,-1，求向量a+b和a·b（5分）【答案】a+b=3,2，a·b=2×1+3×-1=-1【解析】a+b=2+1,3-1=3,2，a·b=2×1+3×-1=-

13.证明三角形两边之和大于第三边（5分）【解析】设三角形三边为a,b,c，延长BC到D使CD=a，则AD=AC+CD=b+ac，即a+bc

六、分析题（每题12分，共24分）

1.已知函数fx=x^3-3x+2（12分）

（1）求fx的极值点（4分）【答案】x=-1和x=1为极值点【解析】fx=3x^2-3=0，得x=-1和x=1，f-1=-60，f1=60，故x=-1为极大值点，x=1为极小值点

（2）求fx在[-2,2]上的最大值和最小值（4分）【答案】最大值f-1=4，最小值f-2=-8【解析】f-2=-8，f-1=4，f1=0，f2=0，所以最大值为4，最小值为-8

（3）讨论fx的单调性（4分）【答案】在-∞,-1和1,+∞上递增，在-1,1上递减【解析】fx0时递减，fx0时递增

2.某班级有50名学生，其中男生30名，女生20名现要随机抽取5名学生参加活动，求抽到3名男生和2名女生的概率（12分）【答案】P=15/196【解析】总情况C50,5=230300，抽到3男2女情况C30,3×C20,2=40600，概率为40600/230300=15/196

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.某城市公交公司运营三条线路，A线每天发车20班次，B线每天发车15班次，C线每天发车10班次三条线路同时发车的概率分别为PA=

0.2，PB=

0.3，PC=

0.1，且A、B同时发车的概率PA∩B=

0.05，A、C同时发车的概率PA∩C=

0.04，B、C同时发车的概率PB∩C=

0.03，A、B、C同时发车的概率PA∩B∩C=

0.01

（1）求任意一天三条线路都不同时发车的概率（7分）【答案】

0.529【解析】P¬A∩¬B∩¬C=1-PA∪B∪C=1-PA+PB+PC-PA∩B-PA∩C-PB∩C+PA∩B∩C=

0.529

（2）求任意一天至少有一条线路同时发车的概率（8分）【答案】

0.471【解析】PA∪B∪C=PA+PB+PC-PA∩B-PA∩C-PB∩C+PA∩B∩C=

0.471

（3）求任意一天三条线路同时发车的条件下，A线发车的概率（10分）【答案】1/7【解析】PA|A∩B∩C=PA∩B∩C/PB∩C=

0.01/

0.03=1/

72.某工厂生产一种产品，每件产品成本为10元，售价为20元若生产超过100件，则超过部分每件可优惠销售2元工厂计划每天生产120件，求工厂每天获得的利润（13分）【答案】1800元【解析】前100件利润=10元/件，后20件利润=8元/件，总利润=100×10+20×8=1800元

八、标准答案

一、单选题

1.B

2.B

3.C

4.A

5.C

6.A

7.A

8.C

9.B

10.D

二、多选题

1.A、B

2.A、C、D

3.A、B、C

4.A、D

5.B、C、D

三、填空题

1.

32.8i

3.

34.-√3/

25.3/

56.2

四、判断题

1.×

2.√

3.√

4.√

5.×

五、简答题

1.x=-1，x=

42.a+b=3,2，a·b=-

13.a+bc

六、分析题

1.

（1）x=-1，x=1

（2）最大值4，最小值-8

（3）-∞,-1递增，-1,1递减，1,+∞递增

2.P=15/196

七、综合应用题

1.

（1）

0.529

（2）

0.471

（3）1/

72.1800元。