函授概率论考试题目及详细答案

函授概率论考试题目及详细答案

一、单选题（每题2分，共20分）

1.设事件A的概率PA=

0.6，事件B的概率PB=

0.7，且PA∪B=

0.8，则PA∩B等于（）A.

0.1B.

0.2C.

0.3D.

0.4【答案】B【解析】根据概率加法公式，PA∪B=PA+PB-PA∩B，代入已知值

0.8=

0.6+

0.7-PA∩B，解得PA∩B=

0.

22.从一副52张的扑克牌中随机抽取一张，抽到红桃的概率是（）A.1/4B.1/2C.1/13D.12/52【答案】A【解析】一副扑克牌中有13张红桃，总牌数为52张，故P红桃=13/52=1/

43.设随机变量X服从参数为λ的泊松分布，若EX=3，则λ等于（）A.3B.6C.9D.1/3【答案】A【解析】泊松分布的期望EX=λ，故λ=

34.设随机变量X的分布律为X:-101P:1/31/61/2则EX等于（）A.0B.1/3C.1/2D.1【答案】B【解析】EX=-1×1/3+0×1/6+1×1/2=-1/3+0+1/2=1/

65.设随机变量X和Y相互独立，且X~N0,1，Y~N1,2，则EXY等于（）A.0B.1C.2D.3【答案】A【解析】由于X和Y相互独立，EXY=EXEYEX=0，EY=1，故EXY=0×1=

06.设随机变量X的方差DX=4，则X的标准化变量Z=X-EX/DX的方差DZ等于（）A.1B.4C.0D.16【答案】A【解析】标准化变量的方差为1，即DZ=

17.设总体X~Nμ,σ^2，从中抽取样本X1,X2,...,Xn，样本均值为X，则X的分布是（）A.Nμ,σ^2B.Nμ,σ^2/nC.N0,1D.Nμ,nσ^2【答案】B【解析】样本均值的分布为Nμ,σ^2/n

8.设总体X~Nμ,σ^2，从中抽取样本X1,X2,...,Xn，样本方差S^2，则S^2的分布是（）A.χ^2n-1B.χ^2nC.tn-1D.Fn-1,n【答案】A【解析】样本方差S^2服从自由度为n-1的χ^2分布

9.设总体X~N0,1，从中抽取样本X1,X2,...,Xn，则样本均值X的分布是（）A.N0,1B.N0,1/nC.χ^2nD.tn【答案】B【解析】样本均值的分布为N0,1/n

10.设总体X~Nμ,σ^2，从中抽取样本X1,X2,...,Xn，样本方差S^2，则S^2的期望ES^2等于（）A.μB.σ^2C.μ^2D.σ^2/n【答案】B【解析】样本方差S^2的期望ES^2=σ^2

二、多选题（每题4分，共20分）

1.以下哪些是随机事件？（）A.抛硬币正面朝上B.从一副扑克牌中抽到红桃C.正方形有四个角D.正态分布的随机变量取值超过其均值两倍标准差E.钟楼明天会倒塌【答案】A、B、D【解析】随机事件是在一定条件下可能发生也可能不发生的事件C是必然事件，E是不可能事件

2.以下哪些分布是连续型分布？（）A.二项分布B.泊松分布C.正态分布D.均匀分布E.超几何分布【答案】C、D【解析】二项分布、泊松分布和超几何分布是离散型分布，正态分布和均匀分布是连续型分布

3.以下哪些统计量是无偏估计量？（）A.样本均值B.样本方差C.样本中位数D.样本最大值E.样本标准差【答案】A、B【解析】样本均值和样本方差是无偏估计量，样本中位数、样本最大值和样本标准差不是无偏估计量

4.以下哪些统计量是中心趋势的度量？（）A.样本均值B.样本方差C.样本中位数D.样本最大值E.样本标准差【答案】A、C【解析】样本均值和样本中位数是中心趋势的度量，样本方差、样本最大值和样本标准差不是

5.以下哪些统计量是离散程度的度量？（）A.样本均值B.样本方差C.样本中位数D.样本最大值E.样本标准差【答案】B、E【解析】样本方差和样本标准差是离散程度的度量，样本均值、样本中位数和样本最大值不是

三、填空题（每题4分，共24分）

1.设事件A的概率PA=

0.6，事件B的概率PB=

0.7，且PA∪B=

0.8，则PA|B等于______【答案】2/7【解析】PA|B=PA∩B/PB=

0.2/

0.7=2/

72.设随机变量X的分布律为X:-101P:1/31/61/2则PX≤0等于______【答案】1/2【解析】PX≤0=PX=-1+PX=0=1/3+1/6=1/

23.设总体X~Nμ,σ^2，从中抽取样本X1,X2,...,Xn，样本均值为X，则X的分布是______【答案】Nμ,σ^2/n【解析】样本均值的分布为Nμ,σ^2/n

4.设总体X~N0,1，从中抽取样本X1,X2,...,Xn，则样本均值X的分布是______【答案】N0,1/n【解析】样本均值的分布为N0,1/n

5.设总体X~Nμ,σ^2，从中抽取样本X1,X2,...,Xn，样本方差S^2，则S^2的分布是______【答案】χ^2n-1【解析】样本方差S^2服从自由度为n-1的χ^2分布

6.设总体X~Nμ,σ^2，从中抽取样本X1,X2,...,Xn，样本方差S^2，则S^2的期望ES^2等于______【答案】σ^2【解析】样本方差S^2的期望ES^2=σ^2

四、判断题（每题2分，共10分）

1.两个独立事件的概率积等于它们各自概率的和（）【答案】（×）【解析】两个独立事件的概率积等于它们各自概率的积，而不是和

2.随机变量的期望一定存在（）【答案】（×）【解析】随机变量的期望不一定存在，例如柯西分布的期望不存在

3.样本方差是总体方差的无偏估计量（）【答案】（×）【解析】样本方差是总体方差的无偏估计量，但需要除以n-1而不是n

4.样本均值是总体均值的无偏估计量（）【答案】（√）【解析】样本均值是总体均值的无偏估计量

5.样本标准差是总体标准差的无偏估计量（）【答案】（×）【解析】样本标准差不是总体标准差的无偏估计量

五、简答题（每题4分，共12分）

1.简述泊松分布的应用场景【答案】泊松分布常用于描述在固定时间或空间内发生的事件的次数，例如单位时间内到达的顾客数、单位面积内的缺陷数等

2.简述正态分布的性质【答案】正态分布是一种连续型分布，具有对称性、钟形曲线、均值、方差和标准差等性质正态分布广泛应用于自然和社会科学领域

3.简述样本均值和样本方差的计算公式【答案】样本均值的计算公式为X=X1+X2+...+Xn/n，样本方差的计算公式为S^2=[X1-X^2+X2-X^2+...+Xn-X^2]/n-1

六、分析题（每题10分，共20分）

1.设总体X~Nμ,σ^2，从中抽取样本X1,X2,...,Xn，样本均值为X，样本方差S^2请分析样本均值X和样本方差S^2的分布性质【答案】样本均值X服从Nμ,σ^2/n的分布，样本方差S^2服从自由度为n-1的χ^2分布样本均值X是总体均值μ的无偏估计量，样本方差S^2是总体方差σ^2的无偏估计量

2.设总体X~Nμ,σ^2，从中抽取样本X1,X2,...,Xn，样本均值为X，样本方差S^2请分析样本均值X和样本方差S^2在统计推断中的应用【答案】样本均值X和样本方差S^2在统计推断中具有重要意义样本均值X用于估计总体均值μ，样本方差S^2用于估计总体方差σ^2在假设检验和置信区间估计中，样本均值和样本方差是重要的统计量

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.设总体X~Nμ,σ^2，从中抽取样本X1,X2,...,Xn，样本均值为X，样本方差S^2请推导样本均值X和样本方差S^2的分布性质，并说明其在统计推断中的应用【答案】样本均值X服从Nμ,σ^2/n的分布，样本方差S^2服从自由度为n-1的χ^2分布样本均值X是总体均值μ的无偏估计量，样本方差S^2是总体方差σ^2的无偏估计量在统计推断中，样本均值X用于估计总体均值μ，样本方差S^2用于估计总体方差σ^2在假设检验和置信区间估计中，样本均值和样本方差是重要的统计量

2.设总体X~Nμ,σ^2，从中抽取样本X1,X2,...,Xn，样本均值为X，样本方差S^2请设计一个统计推断问题，并使用样本均值X和样本方差S^2进行推断【答案】假设某工厂生产的灯泡寿命X~Nμ,σ^2，从中抽取样本X1,X2,...,Xn，样本均值为X，样本方差S^2假设我们想要检验灯泡寿命的均值μ是否等于某个特定值μ0我们可以使用样本均值X和样本方差S^2进行t检验假设检验的步骤如下

（1）提出原假设H0μ=μ0，备择假设H1μ≠μ0

（2）计算样本均值X和样本方差S^2

（3）计算t统计量t=X-μ0/S/√n

（4）根据自由度为n-1的t分布，找到临界值tα/2

（5）比较t统计量与临界值，如果t统计量落在拒绝域内，则拒绝原假设，否则不拒绝原假设。