华师附中重点数学试题及答案解析

华师附中重点数学试题及答案解析

一、单选题（每题2分，共20分）

1.下列函数中，在其定义域内是增函数的是（）（2分）A.y=-2x+1B.y=x^2C.y=1/xD.y=|x|【答案】A【解析】一次函数y=-2x+1的斜率为负，在定义域内是减函数；y=x^2是二次函数，在x0时增，x0时减；y=1/x是反比例函数，在x0时减，x0时增；y=|x|是绝对值函数，在x0时增，x0时减只有y=-2x+1在其定义域内是增函数

2.若集合A={x|x^2-3x+2=0}，B={x|x^2-ax+1=0}，且A∪B={1,2}，则实数a的值为（）（2分）A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】解方程x^2-3x+2=0得A={1,2}，由A∪B={1,2}，则B中元素只能是1或2，代入方程x^2-ax+1=0验证，当x=1时，a=2；当x=2时，a=3，所以a=

33.若向量a=1,2，b=3,-1，则向量a+b的模长为（）（2分）A.√5B.2√5C.3√5D.4√5【答案】B【解析】向量a+b=1+3,2-1=4,1，其模长为|a+b|=√4^2+1^2=√17≈

4.12，最接近2√5≈

4.

474.某几何体的三视图如下图所示，该几何体是（）（2分）（此处应有三视图示意图）A.正方体B.长方体C.圆锥D.圆柱【答案】B【解析】根据三视图可知，该几何体前视图是矩形，侧视图是矩形，俯视图是正方形，所以该几何体是长方体

5.若复数z满足|z|=1，则z^2023的模长为（）（2分）A.1B.2023C.2024D.1/2023【答案】A【解析】由|z|=1，则z的模长为1，z^2023的模长为|z^2023|=|z|^2023=1^2023=

16.函数fx=x^3+ax^2+bx+c在x=-1和x=2时取极值，则a、b的值分别为（）（2分）A.a=-3，b=3B.a=3，b=-3C.a=-9，b=6D.a=9，b=-6【答案】D【解析】fx=3x^2+2ax+b，由在x=-1和x=2时取极值，得3-1^2+2a-1+b=0且32^2+2a2+b=0，解得a=9，b=-

67.若某几何体的体积为V，表面积为S，则其内切球的半径R满足（）（2分）A.R=V/SB.R=√V/SC.R=VSD.R=S/V【答案】B【解析】根据几何体体积公式和表面积公式，内切球半径R=V/S√π

8.函数fx=2sinωx+φ的图像如下图所示（此处应有图像），则φ的值为（）（2分）（此处应有图像）A.π/4B.π/2C.3π/4D.π【答案】C【解析】由图像可知，周期T=π，ω=2π/T=2，相位φ满足ωx+φ=π/2时，sin值为1，由图像可知此时x=π/4，代入得φ=π/4-2π/4=-π/4，所以φ=3π/

49.在△ABC中，若a:b:c=3:4:5，则cosB的值为（）（2分）A.1/2B.3/4C.4/5D.3/5【答案】C【解析】设a=3k，b=4k，c=5k，由余弦定理cosB=a^2+c^2-b^2/2ac=9k^2+25k^2-16k^2/30k^2=4/

510.执行以下程序段后，变量S的值为（）（2分）S=0i=1whilei=5:S=S+ii=i+1（此处应有程序段示意图）A.5B.10C.15D.1+2+3+4+5【答案】D【解析】程序执行过程为S=0+i=1，i=2；S=1+2=3，i=3；S=3+3=6，i=4；S=6+4=10，i=5；S=10+5=15，i=6，退出循环，S=15

二、多选题（每题4分，共20分）

1.以下命题中，真命题有（）（4分）A.空集是任何集合的子集B.两个奇数的和是偶数C.函数y=|x|在-∞,0上是减函数D.若ab，则a^2b^2E.三角形的三条高线交于一点【答案】A、B、E【解析】空集是任何集合的子集为真命题；两个奇数的和是偶数为真命题；函数y=|x|在-∞,0上是减函数为真命题；若ab，则a^2b^2不一定为真，如a=1b=-2时a^2=1b^2=4；三角形的三条高线交于一点为真命题

2.以下函数中，在其定义域内是奇函数的有（）（4分）A.y=x^3B.y=1/xC.y=sinxD.y=|x|E.y=lnx【答案】A、B、C【解析】y=x^3是奇函数；y=1/x是奇函数；y=sinx是奇函数；y=|x|是偶函数；y=lnx非奇非偶

3.以下命题中，正确的是（）（4分）A.若a0，则√a0B.等腰三角形的两底角相等C.若|a|=|b|，则a=bD.函数y=x^2在-∞,0上是减函数E.三角形的外心到三个顶点的距离相等【答案】A、B、E【解析】若a0，则√a0为真命题；等腰三角形的两底角相等为真命题；若|a|=|b|，则a=b或a=-b，不一定相等；函数y=x^2在-∞,0上是减函数为假命题；三角形的外心到三个顶点的距离相等为真命题

4.以下命题中，正确的是（）（4分）A.若函数fx在x=c处取得极值，则fc=0B.两个相似三角形的周长比等于相似比C.若向量a=1,0，b=0,1，则a+b=1,1D.函数y=cosx在0,π/2上是减函数E.三角形的三条中线交于一点【答案】A、B、C、E【解析】若函数fx在x=c处取得极值，则fc=0为真命题；两个相似三角形的周长比等于相似比为真命题；若向量a=1,0，b=0,1，则a+b=1,1为真命题；函数y=cosx在0,π/2上是减函数为真命题；三角形的三条中线交于一点为真命题

5.以下命题中，正确的是（）（4分）A.若ab，则a^2b^2B.两个互斥事件的概率之和等于它们各自概率之和C.样本容量越大，样本估计的误差越小D.若直线l1∥l2，l2∥l3，则l1∥l3E.函数y=x^2在0,∞上是增函数【答案】B、C、D、E【解析】若ab，则a^2b^2不一定为真；两个互斥事件的概率之和等于它们各自概率之和为真命题；样本容量越大，样本估计的误差越小为真命题；若直线l1∥l2，l2∥l3，则l1∥l3为真命题；函数y=x^2在0,∞上是增函数为真命题

三、填空题（每题4分，共16分）

1.若函数fx=ax^2+bx+c在x=1时取得最大值-2，且f0=1，则a+b+c的值为______（4分）【答案】-2【解析】由f1=-2得a+b+c=-2，由f0=1得c=1，所以a+b=-3，a+b+c=-

22.若向量a=3,4，b=1,-2，则向量a·b的值为______（4分）【答案】-5【解析】向量a·b=3×1+4×-2=3-8=-

53.若函数fx=2cos2x+φ的图像关于y轴对称，则φ的值为______（4分）【答案】kπ【解析】由2x+φ=kπ+π/2，得φ=kπ+π/2-2x，所以φ=kπ

4.若某几何体的体积为V，表面积为S，则其内切球的半径R满足______（4分）【答案】R=√V/S【解析】根据几何体体积公式和表面积公式，内切球半径R=V/S√π

四、判断题（每题2分，共10分）

1.若函数fx在x=c处取得极值，则fc=0（）（2分）【答案】（√）【解析】根据极值存在的必要条件，若函数fx在x=c处取得极值，则fc=

02.两个相似三角形的面积比等于相似比的平方（）（2分）【答案】（√）【解析】两个相似三角形的面积比等于相似比的平方

3.若向量a=1,2，b=3,-1，则向量a+b=4,1（）（2分）【答案】（√）【解析】向量a+b=1+3,2-1=4,

14.函数y=x^2在-∞,0上是减函数（）（2分）【答案】（×）【解析】函数y=x^2在-∞,0上是增函数

5.三角形的外心到三个顶点的距离相等（）（2分）【答案】（√）【解析】三角形的外心到三个顶点的距离相等

五、简答题（每题4分，共12分）

1.求函数fx=x^3-3x^2+2在[0,3]上的最大值和最小值（4分）【答案】最大值为1，最小值为0【解析】fx=3x^2-6x，令fx=0得x=0或x=2，f0=2，f2=-2，f3=0，所以最大值为1，最小值为

02.求过点A1,2且与直线l:3x-4y+5=0平行的直线方程（4分）【答案】3x-4y-5=0【解析】过点A1,2且与直线l:3x-4y+5=0平行的直线方程为3x-4y+k=0，代入点A得k=-5，所以直线方程为3x-4y-5=

03.求函数fx=x^3-3x^2+2的极值点（4分）【答案】极值点为x=0和x=2【解析】fx=3x^2-6x，令fx=0得x=0或x=2，所以极值点为x=0和x=2

六、分析题（每题10分，共20分）

1.设函数fx=x^3-px+q，若fx在x=1和x=-1时取得极值，求p、q的值，并判断极值的性质（10分）【答案】p=3，q=0，x=1处取得极大值，x=-1处取得极小值【解析】fx=3x^2-p，由在x=1和x=-1时取得极值，得31^2-p=0且3-1^2-p=0，解得p=3，fx=6x，f1=60，x=1处取得极大值；f-1=-60，x=-1处取得极小值，所以p=3，q=

02.设函数fx=x^3-3x^2+2，求其单调区间，并画出其图像的示意图（10分）【答案】单调增区间为-∞,0和2,∞，单调减区间为0,2【解析】fx=3x^2-6x，令fx=0得x=0或x=2，fx在-∞,0和2,∞上单调增，在0,2上单调减

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.设函数fx=x^3-3x^2+2，求其单调区间，并画出其图像的示意图（25分）【答案】单调增区间为-∞,0和2,∞，单调减区间为0,2【解析】fx=3x^2-6x，令fx=0得x=0或x=2，fx在-∞,0和2,∞上单调增，在0,2上单调减

2.设函数fx=x^3-3x^2+2，求其极值点，并判断极值的性质（25分）【答案】极值点为x=0和x=2，x=0处取得极大值，x=2处取得极小值【解析】fx=3x^2-6x，令fx=0得x=0或x=2，fx=6x，f0=0，f2=120，x=0处取得极大值；f-1=-60，x=2处取得极小值。