华科离散数学真题及答案深度剖析

华科离散数学真题及答案深度剖析

一、单选题（每题1分，共10分）

1.下列哪个命题是真的？（）A.空集是任何集合的子集B.空集不是任何集合的子集C.空集是它自己的子集D.空集的补集是空集【答案】A【解析】空集是任何集合的子集，这是集合论中的基本性质

2.下列哪个不是命题？（）A.今天天气很好B.2+2=4C.请开门D.这个数是素数【答案】C【解析】命题是可以判断真假的陈述句，“请开门”是祈使句，不是命题

3.命题公式P∧Q→R的对偶式是？（）A.P∨Q↔RB.P∧Q↔RC.P∨Q→RD.P→Q∧R【答案】C【解析】对偶式是将公式中的∧和∨互换，→和↔互换

4.下列哪个是可满足的命题公式？（）A.P∧¬PB.P∨¬PC.P∧Q→P∨QD.P∧¬P∨Q【答案】B【解析】P∨¬P总是为真，因为P和¬P必有一个为真

5.下列哪个是永真的命题公式？（）A.P∧Q→PB.P→Q∧Q→PC.P∨Q→P∧QD.P∧¬P【答案】A【解析】P∧Q→P总是为真，因为P∧Q为真时P也为真

6.下列哪个是正确的谓词逻辑公式？（）A.∀x∃yPx,yB.∃x∀yPx,yC.∀x∀yPx,yD.∃x∃y¬Px,y【答案】A【解析】∀x∃yPx,y表示对于每个x，存在一个y使得Px,y为真

7.下列哪个是图论中的基本概念？（）A.群B.环C.树D.模糊集合【答案】C【解析】树是图论中的基本概念，是连通且无环的图

8.下列哪个是欧拉图？（）A.有奇数个奇度顶点的图B.有偶数个奇度顶点的图C.每个顶点的度数都为偶数D.没有奇度顶点的图【答案】C【解析】欧拉图是每个顶点的度数都为偶数的连通图

9.下列哪个是哈密顿图？（）A.包含一条经过所有顶点的简单路径B.包含一条经过所有顶点的简单回路C.每个顶点的度数都大于等于顶点数的一半D.没有奇度顶点的图【答案】B【解析】哈密顿图是包含一条经过所有顶点的简单回路的图

10.下列哪个是图着色问题？（）A.将图中的边用不同颜色着色，使得相邻边的颜色不同B.将图中的顶点用不同颜色着色，使得相邻顶点的颜色不同C.将图中的边用不同颜色着色，使得所有边的颜色相同D.将图中的顶点用不同颜色着色，使得所有顶点的颜色相同【答案】B【解析】图着色问题是将图中的顶点用不同颜色着色，使得相邻顶点的颜色不同

二、多选题（每题4分，共20分）

1.以下哪些是命题逻辑的基本联结词？（）A.∧（与）B.∨（或）C.→（蕴涵）D.↔（双条件）E.¬（非）【答案】A、B、C、D、E【解析】命题逻辑的基本联结词包括∧、∨、→、↔、¬

2.以下哪些是图论中的基本概念？（）A.顶点B.边C.环D.树E.多边形【答案】A、B、D、E【解析】图论中的基本概念包括顶点、边、树和多边形，环不是图论的基本概念

3.以下哪些是可满足的命题公式？（）A.P∧¬PB.P∨¬PC.P∧Q→P∨QD.P∧¬P∨QE.P→Q∧Q→P【答案】B、C、D、E【解析】P∨¬P、P∧Q→P∨Q、P∧¬P∨Q和P→Q∧Q→P都是可满足的命题公式

4.以下哪些是图论中的基本性质？（）A.连通性B.顶点度数C.环D.树E.多边形【答案】A、B、D、E【解析】图论中的基本性质包括连通性、顶点度数、树和多边形，环不是基本性质

5.以下哪些是谓词逻辑的基本概念？（）A.全称量词B.存在量词C.个体变量D.命题变量E.谓词【答案】A、B、C、E【解析】谓词逻辑的基本概念包括全称量词、存在量词、个体变量和谓词，命题变量不是谓词逻辑的基本概念

三、填空题（每题2分，共16分）

1.命题公式P∧Q→R的对偶式是______【答案】P∨Q→R（4分）

2.谓词逻辑公式∀x∃yPx,y的意思是______【答案】对于每个x，存在一个y使得Px,y为真（4分）

3.图论中的基本概念包括______、______和______【答案】顶点、边、树（4分）

4.欧拉图是每个顶点的度数都为______的连通图【答案】偶数（4分）

5.哈密顿图是包含一条经过所有顶点的______的图【答案】简单回路（4分）

6.图着色问题是将图中的顶点用不同颜色着色，使得______的颜色不同【答案】相邻顶点（4分）

7.谓词逻辑公式∃x∀yPx,y的意思是______【答案】存在一个x，对于每个y使得Px,y为真（4分）

8.命题公式P→Q∧Q→P是______【答案】双条件（4分）

四、判断题（每题2分，共10分）

1.空集是任何集合的子集（）【答案】（√）【解析】空集是任何集合的子集，这是集合论中的基本性质

2.命题公式P∧¬P总是为真（）【答案】（×）【解析】P∧¬P总是为假，因为P和¬P不能同时为真

3.欧拉图是每个顶点的度数都为偶数的连通图（）【答案】（√）【解析】欧拉图是每个顶点的度数都为偶数的连通图

4.哈密顿图是包含一条经过所有顶点的简单回路的图（）【答案】（√）【解析】哈密顿图是包含一条经过所有顶点的简单回路的图

5.图着色问题是将图中的边用不同颜色着色，使得相邻边的颜色不同（）【答案】（×）【解析】图着色问题是将图中的顶点用不同颜色着色，使得相邻顶点的颜色不同

五、简答题（每题2分，共10分）

1.简述命题逻辑的基本联结词及其含义【答案】命题逻辑的基本联结词包括-∧（与）表示P和Q同时为真时结果为真-∨（或）表示P和Q至少有一个为真时结果为真-→（蕴涵）表示P为真且Q为假时结果为假，其他情况为真-↔（双条件）表示P和Q同时为真或同时为假时结果为真-¬（非）表示P为假时结果为真，P为真时结果为假

2.简述图论中的基本概念及其含义【答案】图论中的基本概念包括-顶点图的基本单元，表示实体或对象-边连接顶点的线，表示顶点之间的关系-树连通且无环的图，表示层次结构-多边形由多个顶点和边组成的封闭图形

3.简述谓词逻辑的基本概念及其含义【答案】谓词逻辑的基本概念包括-全称量词表示对于所有个体x，Px为真-存在量词表示存在一个个体x，使得Px为真-个体变量表示个体或对象-谓词表示个体或对象具有的性质或关系

六、分析题（每题10分，共20分）

1.分析命题公式P∧Q→R的真值表【答案】|P|Q|R|P∧Q|P∧Q→R||---|---|---|-------|-------------||T|T|T|T|T||T|T|F|T|F||T|F|T|F|T||T|F|F|F|T||F|T|T|F|T||F|T|F|F|T||F|F|T|F|T||F|F|F|F|T|

2.分析谓词逻辑公式∀x∃yPx,y的含义【答案】谓词逻辑公式∀x∃yPx,y的意思是对于每个个体x，存在一个个体y使得Px,y为真即对于任意x，总能找到一个y使得Px,y成立

七、综合应用题（每题20分，共40分）

1.证明图论中的基本性质连通图中的顶点数大于等于边数加一【答案】设G是一个连通图，顶点数为n，边数为m根据图论中的基本性质，连通图中的任意两个顶点之间存在路径假设G中存在一个顶点v，v与其他所有顶点都有边相连那么v的度数为n-1（因为v与其他n-1个顶点相连）根据度数和公式，所有顶点的度数之和等于边数的两倍，即2m=∑degv_i，其中i从1到n因为v的度数为n-1，所以2m≥n-1+∑degv_i，其中i从1到n，但不包括v因此，2m≥n，即m≥n/2由于nm，所以n≥m+1即连通图中的顶点数大于等于边数加一

2.设计一个算法，判断一个图是否是哈密顿图【答案】判断一个图是否是哈密顿图是一个NP问题，目前没有已知的多项式时间算法但可以设计一个回溯算法来尝试找到一条经过所有顶点的简单回路算法步骤如下

1.选择一个起始顶点

2.从当前顶点出发，尝试找到一条经过所有顶点的简单回路

3.使用回溯法，每次选择一个未访问过的相邻顶点，并递归地继续寻找

4.如果找到一条经过所有顶点的简单回路，则该图是哈密顿图

5.如果所有可能的路径都尝试完毕仍未找到，则该图不是哈密顿图伪代码如下```functionisHamiltoniangraph,start_vertex:visited=setpath=[start_vertex]ifisHamiltonianUtilgraph,start_vertex,visited,path:returnTruereturnFalsefunctionisHamiltonianUtilgraph,current_vertex,visited,path:visited.addcurrent_vertexiflenpath==num_verticesgraph:ifhasEdgegraph,current_vertex,path

[0]:returnTrueelse:returnFalseforneighboringetNeighborsgraph,current_vertex:ifneighbornotinvisited:path.appendneighborifisHamiltonianUtilgraph,neighbor,visited,path:returnTruepath.popvisited.removecurrent_vertexreturnFalse```其中，`getNeighborsgraph,vertex`函数返回与顶点`vertex`相邻的顶点集合，`hasEdgegraph,u,v`函数判断图中是否存在边`u,v`完整标准答案

一、单选题

1.A

2.C

3.C

4.B

5.A

6.A

7.C

8.C

9.B

10.B

二、多选题

1.A、B、C、D、E

2.A、B、D、E

3.B、C、D、E

4.A、B、D、E

5.A、B、C、E

三、填空题

1.P∨Q→R

2.对于每个x，存在一个y使得Px,y为真

3.顶点、边、树

4.偶数

5.简单回路

6.相邻顶点

7.存在一个x，对于每个y使得Px,y为真

8.双条件

四、判断题

1.√

2.×

3.√

4.√

5.×

五、简答题

1.命题逻辑的基本联结词包括∧（与）、∨（或）、→（蕴涵）、↔（双条件）、¬（非）

2.图论中的基本概念包括顶点、边、树、多边形

3.谓词逻辑的基本概念包括全称量词、存在量词、个体变量、谓词

六、分析题

1.真值表如上所示

2.∀x∃yPx,y的意思是对于每个个体x，存在一个个体y使得Px,y为真

七、综合应用题

1.证明连通图中的顶点数大于等于边数加一

2.设计哈密顿图判断算法如上所示。