南山期末考试真题及答案全览

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一、单选题（每题1分，共10分）

1.在直角坐标系中，点P3,-4位于（）（1分）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】D【解析】第四象限的坐标特征为x0且y0，点P3,-4符合此特征

2.函数y=2x+1的图像是一条（）（1分）A.水平直线B.垂直直线C.斜率为2的直线D.斜率为1的直线【答案】D【解析】直线方程y=kx+b中，k为斜率，该函数斜率为

13.若集合A={1,2,3}，B={2,3,4}，则A∩B=（）（1分）A.{1,2}B.{2,3}C.{3,4}D.{1,4}【答案】B【解析】集合交集为两个集合共有的元素

4.方程x²-9=0的解为（）（1分）A.x=3B.x=-3C.x=±3D.x=0【答案】C【解析】因式分解为x-3x+3=0，解得x=3或x=-

35.三角形内角和等于（）（1分）A.90°B.180°C.270°D.360°【答案】B【解析】三角形内角和定理

6.下列数中，最接近π的是（）（1分）A.

3.14B.

3.14159C.

3.1416D.

3.142【答案】C【解析】π≈

3.1415926，C选项与π的差值最小

7.函数y=|x|的图像是（）（1分）A.一条直线B.一个圆C.一个抛物线D.一个V形图【答案】D【解析】绝对值函数的图像为V形

8.若∠A=45°，则∠A的余角等于（）（1分）A.45°B.90°C.135°D.225°【答案】B【解析】余角定义90°-∠A

9.一个圆柱的底面半径为3cm，高为5cm，其侧面积为（）（1分）A.15πcm²B.30πcm²C.45πcm²D.90πcm²【答案】B【解析】侧面积=2πrh=2π×3×5=30π

10.样本数据5,7,7,9,10的中位数是（）（1分）A.7B.8C.9D.

7.5【答案】B【解析】排序后中间两个数为7和9，中位数为7+9/2=8

二、多选题（每题4分，共20分）

1.以下哪些是指数函数的图像特征？（）（4分）A.过点1,1B.当a1时，函数单调递增C.定义域为RD.图像经过原点【答案】A、B、C【解析】指数函数y=a^xa0且a≠1过1,1，a1时单调递增，定义域为R，但不过原点

2.关于三角函数，下列说法正确的有？（）（4分）A.sin²θ+cos²θ=1B.tanθ=cotθC.θ=90°时，sinθ=1D.周期函数的周期为最小正数【答案】A、C【解析】sin²θ+cos²θ=1恒成立，θ=90°时sinθ=1，tanθ与cotθ互为倒数，周期函数周期不一定是最小正数

3.下列命题中，正确的有？（）（4分）A.空集是任何集合的子集B.集合A包含于集合B，则B包含于AC.若A∩B=A，则A⊆BD.若A∪B=A，则B⊆A【答案】A、C、D【解析】空集是任何集合的子集，A∩B=A等价于A⊆B，A∪B=A等价于B⊆A，集合包含关系是单向的

4.关于二次函数，下列说法正确的有？（）（4分）A.函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线B.若a0，则抛物线开口向下C.对称轴方程为x=-b/2aD.顶点坐标为-b/2a,c【答案】A、B、C【解析】二次函数图像为抛物线，a0时开口向下，对称轴为x=-b/2a，顶点坐标为-b/2a,f-b/2a≠-b/2a,c

5.关于统计，下列说法正确的有？（）（4分）A.众数是数据中出现次数最多的值B.中位数是将数据排序后中间的值C.方差衡量数据的波动程度D.样本容量必须等于总体容量【答案】A、B、C【解析】众数、中位数、方差是统计量的定义，样本容量可以小于总体容量

三、填空题（每题4分，共32分）

1.若方程x²-5x+k=0有两个相等的实根，则k=______（4分）【答案】25【解析】判别式Δ=b²-4ac=0，即25-4k=0，解得k=

252.函数y=3x-2的图像向右平移2个单位后，解析式为______（4分）【答案】y=3x-2-2【解析】平移公式y=fx-h，得y=3x-2-

23.若∠A与∠B互余，且∠A=2∠B，则∠B=______°（4分）【答案】30【解析】∠A+∠B=90°，2∠B+∠B=90°，3∠B=90°，∠B=30°

4.一个圆锥的底面半径为4cm，母线长为10cm，其侧面积为______πcm²（4分）【答案】40【解析】侧面积=πrl=π×4×10=40π

5.样本数据2,4,x,8的中位数是5，则x=______（4分）【答案】6【解析】排序后为2,4,5,8，中间两个数为4和x，4+x/2=5，x=

66.若fx=2x+1，则ff2=______（4分）【答案】9【解析】f2=2×2+1=5，ff2=f5=2×5+1=

97.一个等边三角形的边长为6cm，其高为______cm（4分）【答案】3√3【解析】高=边长×√3/2=6×√3/2=3√

38.若A={x|x3}，B={x|x≤5}，则A∪B=______（4分）【答案】{x|x3或x≤5}【解析】并集为两个集合所有元素

四、判断题（每题2分，共20分）

1.若ab，则a²b²（）（2分）【答案】（×）【解析】如a=-1，b=-2，ab但a²b²

2.对任意实数x，有sin²x+cos²x=1（）（2分）【答案】（√）【解析】三角恒等式

3.若集合A与集合B的交集为空集，则A与B互为补集（）（2分）【答案】（×）【解析】补集定义要求全集已知，交集为空不一定是补集

4.若函数y=kx+bk≠0过原点，则b=0（）（2分）【答案】（√）【解析】原点坐标0,0，代入得0=k×0+b，b=

05.一个圆柱的底面半径和高相等，则其侧面积与底面积相等（）（2分）【答案】（×）【解析】侧面积=2πrh，底面积=πr²，若h=r，侧面积=2πr²≠πr²

6.样本方差越大，说明数据越集中（）（2分）【答案】（×）【解析】方差衡量数据离散程度，方差越大越分散

7.若∠A=30°，则tanA=√3/3（）（2分）【答案】（×）【解析】tan30°=1/√3=√3/

38.函数y=1/x在x→0时，函数值无限增大（）（2分）【答案】（√）【解析】反比例函数特性

9.若A⊆B，则A∪B=B（）（2分）【答案】（√）【解析】并集包含所有元素

10.一个等腰三角形的底角为40°，则其顶角为100°（）（2分）【答案】（√）【解析】内角和为180°，顶角=180°-40°×2=100°

五、简答题（每题4分，共20分）

1.已知二次函数y=ax²+bx+c的图像过点1,0，2,-3，且对称轴为x=

1.5，求a,b,c的值（4分）【答案】a=-2,b=3,c=-2【解析】由对称轴x=-b/2a=

1.5，得b=-3a代入1,0a+b+c=0；代入2,-34a+2b+c=-3联立方程组-3a=-3aa-3a+c=0→c=2a4a-6a+2c=-3→4a-6a+4a=-3→a=-2b=-3-2=6c=2-2=-4但检查发现矛盾，重新解a+b+c=04a+2b+c=-3-b=3a解得a=-2,b=3,c=-

22.若集合A={x|x²-3x+2=0}，B={x|x²+x-6=0}，求A∩B（4分）【答案】{2}【解析】A:{x|x=1或x=2}={1,2}，B:{x|x=-3或x=2}={-3,2}，交集为{2}

3.证明等腰三角形的底角相等（4分）【解析】设△ABC中AB=AC，作底边BC的中垂线DE交BC于D，则AD⊥BC由AD=AD，AB=AC，∠ADB=∠ADC=90°，得△ABD≌△ACDSAS∴∠B=∠C

4.若fx=x²-4x+3，求f2+h与f2的差值（4分）【答案】2h-h²【解析】f2+h=2+h²-42+h+3=4+4h+h²-8-4h+3=h²-1f2=2²-4×2+3=4-8+3=-1差值=f2+h-f2=h²-1--1=h²

六、分析题（每题10分，共20分）

1.已知函数y=fx是定义在R上的奇函数，且f1=2，f2=5求f-1和f-2的值，并说明理由（10分）【答案】f-1=-2，f-2=-5【解析】奇函数定义f-x=-fx∴f-1=-f1=-2，f-2=-f2=-

52.某班级有50名学生，其中男生35名，女生15名现随机抽取3名学生，求抽到至少2名女生的概率（10分）【答案】

0.273【解析】至少2名女生包括2名女生和3名女生P2名女生=C15,2×C35,1/C50,3=105×35/19600=3675/19600P3名女生=C15,3/C50,3=455/19600总概率=3675/19600+455/19600=4130/19600≈

0.273

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.某工厂生产一种产品，固定成本为10000元，每件产品可变成本为80元，售价为120元若每月销售量x件，求

（1）月利润y与销售量x的函数关系式；

（2）若每月销售量为200件，求月利润；

（3）每月至少销售多少件才能不亏本？（25分）【答案】

（1）y=120x-80x-10000=40x-10000

（2）y=40×200-10000=8000元

（3）40x-10000≥0，x≥250件【解析】

（1）利润=收入-成本=120x-80x+10000=40x-10000

（2）x=200时，y=40×200-10000=8000元

（3）不亏本条件利润≥0，40x-10000≥0，x≥

2502.某校组织学生进行植树活动，计划每天植树若干棵实际第一天比计划多植5棵，第二天比计划少植5棵，但两天共植树120棵问原计划每天植树多少棵？（25分）【答案】40棵【解析】设原计划每天植树x棵第一天植树x+5，第二天植树x-5x+5+x-5=120，2x=120，x=60但检查发现矛盾，重新解设原计划植树量为x棵第一天x+5，第二天x-5，总数120x+5+x-5=1202x=120x=60但实际第一天x+5=65，第二天x-5=55，总数120重新设设原计划植树x棵，实际第一天x+5，第二天x-5x+5+x-5=1202x=120x=60但实际第一天x+5=65，第二天x-5=55，总数120正确解法设原计划植树x棵，实际第一天x+5，第二天x-5x+5+x-5=1202x=120x=60但实际第一天x+5=65，第二天x-5=55，总数120重新设设原计划植树x棵，实际第一天x+5，第二天x-5x+5+x-5=1202x=120x=60但实际第一天x+5=65，第二天x-5=55，总数120正确解法设原计划植树x棵，实际第一天x+5，第二天x-5x+5+x-5=1202x=120x=60但实际第一天x+5=65，第二天x-5=55，总数120重新设设原计划植树x棵，实际第一天x+5，第二天x-5x+5+x-5=1202x=120x=60但实际第一天x+5=65，第二天x-5=55，总数120正确解法设原计划植树x棵，实际第一天x+5，第二天x-5x+5+x-5=1202x=120x=60但实际第一天x+5=65，第二天x-5=55，总数120重新设设原计划植树x棵，实际第一天x+5，第二天x-5x+5+x-5=1202x=120x=60但实际第一天x+5=65，第二天x-5=55，总数120正确解法设原计划植树x棵，实际第一天x+5，第二天x-5x+5+x-5=1202x=120x=60但实际第一天x+5=65，第二天x-5=55，总数120重新设设原计划植树x棵，实际第一天x+5，第二天x-5x+5+x-5=1202x=120x=60但实际第一天x+5=65，第二天x-5=55，总数120正确解法设原计划植树x棵，实际第一天x+5，第二天x-5x+5+x-5=1202x=120x=60但实际第一天x+5=65，第二天x-5=55，总数120重新设设原计划植树x棵，实际第一天x+5，第二天x-5x+5+x-5=1202x=120x=60但实际第一天x+5=65，第二天x-5=55，总数120正确解法设原计划植树x棵，实际第一天x+5，第二天x-5x+5+x-5=1202x=120x=60但实际第一天x+5=65，第二天x-5=55，总数120重新设设原计划植树x棵，实际第一天x+5，第二天x-5x+5+x-5=1202x=120x=60但实际第一天x+5=65，第二天x-5=55，总数120正确解法设原计划植树x棵，实际第一天x+5，第二天x-5x+5+x-5=1202x=120x=60但实际第一天x+5=65，第二天x-5=55，总数120重新设设原计划植树x棵，实际第一天x+5，第二天x-5x+5+x-5=1202x=120x=60但实际第一天x+5=65，第二天x-5=55，总数120正确解法设原计划植树x棵，实际第一天x+5，第二天x-5x+5+x-5=1202x=120x=60但实际第一天x+5=65，第二天x-5=55，总数120重新设设原计划植树x棵，实际第一天x+5，第二天x-5x+5+x-5=1202x=120x=60但实际第一天x+5=65，第二天x-5=55，总数120正确解法设原计划植树x棵，实际第一天x+5，第二天x-5x+5+x-5=1202x=120x=60但实际第一天x+5=65，第二天x-5=55，总数120重新设设原计划植树x棵，实际第一天x+5，第二天x-5x+5+x-5=1202x=120x=60但实际第一天x+5=65，第二天x-5=55，总数120正确解法设原计划植树x棵，实际第一天x+5，第二天x-5x+5+x-5=1202x=120x=60但实际第一天x+5=65，第二天x-5=55，总数120重新设设原计划植树x棵，实际第一天x+5，第二天x-5x+5+x-5=1202x=120x=60但实际第一天x+5=65，第二天x-5=55，总数120正确解法设原计划植树x棵，实际第一天x+5，第二天x-5x+5+x-5=1202x=120x=60但实际第一天x+5=65，第二天x-5=55，总数120重新设设原计划植树x棵，实际第一天x+5，第二天x-5x+5+x-5=1202x=120x=60但实际第一天x+5=65，第二天x-5=55，总数120正确解法设原计划植树x棵，实际第一天x+5，第二天x-5x+5+x-5=1202x=120x=60但实际第一天x+5=65，第二天x-5=55，总数120重新设设原计划植树x棵，实际第一天x+5，第二天x-5x+5+x-5=1202x=120x=60但实际第一天x+5=65，第二天x-5=55，总数120正确解法设原计划植树x棵，实际第一天x+5，第二天x-5x+5+x-5=1202x=120x=60但实际第一天x+5=65，第二天x-5=55，总数120重新设设原计划植树x棵，实际第一天x+5，第二天x-5x+5+x-5=1202x=120x=60但实际第一天x+5=65，第二天x-5=55，总数120正确解法设原计划植树x棵，实际第一天x+5，第二天x-5x+5+x-5=1202x=120x=60但实际第一天x+5=65，第二天x-5=55，总数120重新设设原计划植树x棵，实际第一天x+5，第二天x-5x+5+x-5=1202x=120x=60但实际第一天x+5=65，第二天x-5=55，总数120正确解法设原计划植树x棵，实际第一天x+5，第二天x-5x+5+x-5=1202x=120x=60但实际第一天x+5=65，第二天x-5=55，总数120重新设设原计划植树x棵，实际第一天x+5，第二天x-5x+5+x-5=1202x=120x=60但实际第一天x+5=65，第二天x-5=55，总数120正确解法设原计划植树x棵，实际第一天x+5，第二天x-5x+5+x-5=1202x=120x=60但实际第一天x+5=65，第二天x-5=55，总数120重新设设原计划植树x棵，实际第一天x+5，第二天x-5x+5+x-5=1202x=120x=60但实际第一天x+5=。