吉大高等数学阶段考试题及答案

吉大高等数学阶段考试题及答案

一、单选题（每题2分，共20分）

1.下列函数中，在x=0处不可导的是（）A.fx=|x|B.fx=x^2C.fx=e^xD.fx=lnx+1【答案】A【解析】fx=|x|在x=0处不可导，因为其左右导数不相等

2.极限limx→2x^2-4/x-2的值是（）A.0B.2C.4D.不存在【答案】C【解析】分子分母同时除以x-2，得到极限limx→2x+2=

43.函数fx=sinx在区间[0,π]上的最大值是（）A.0B.1C.πD.-1【答案】B【解析】sinx在[0,π]上的最大值为

14.下列级数中，收敛的是（）A.∑n=1to∞1/nB.∑n=1to∞-1^n/nC.∑n=1to∞1/n^2D.∑n=1to∞n【答案】C【解析】级数∑n=1to∞1/n^2是p-级数，p=21，因此收敛

5.设函数fx在闭区间[a,b]上连续，则根据微积分基本定理，定积分∫[a,b]fxdx的值等于（）A.fa+fbB.fx|[a,b]C.fb-faD.fa-fb【答案】C【解析】根据微积分基本定理，定积分∫[a,b]fxdx=fb-fa

6.下列向量中，与向量1,2,3平行的向量是（）A.2,4,6B.3,6,9C.1,1,1D.1,3,5【答案】A【解析】向量2,4,6是向量1,2,3的2倍，因此平行

7.矩阵A=⎡⎢⎣123⎤⎢⎦的转置矩阵是（）A.⎡⎢⎣123⎤⎢⎦B.⎡⎢⎣13⎤⎢⎦C.⎡⎢⎣246⎤⎢⎦D.⎡⎢⎣123⎤⎢⎦^T【答案】D【解析】矩阵转置就是行变列，列变行

8.下列方程中，是线性微分方程的是（）A.y+y^2=0B.y+yy=1C.y+y=xD.y+siny=0【答案】C【解析】线性微分方程中未知函数及其各阶导数都是一次的

9.设事件A和事件B互斥，且PA=

0.3，PB=

0.4，则PAUB的值是（）A.

0.3B.

0.4C.

0.7D.

0.1【答案】C【解析】互斥事件概率加法公式，PAUB=PA+PB=

0.

710.设随机变量X服从正态分布Nμ,σ^2，则X的分布函数是（）A.fx=1/σ√2πe^-x^2/2σ^2B.Fx=∫[-∞,x]1/σ√2πe^-t^2/2σ^2dtC.fx=e^-μx/σD.Fx=x/μ【答案】B【解析】正态分布的分布函数是累积分布函数

二、多选题（每题4分，共20分）

1.以下哪些是极限存在的充分条件？（）A.左右极限存在且相等B.函数值无限接近某个常数C.函数值无限增大D.函数值在某个范围内振荡E.函数在某点连续【答案】A、B【解析】极限存在的充分条件是左右极限存在且相等，或函数值无限接近某个常数

2.以下哪些是向量空间的基本性质？（）A.包含零向量B.对向量加法封闭C.对数乘运算封闭D.存在唯一的加法逆元E.对向量减法封闭【答案】A、B、C、D【解析】向量空间的基本性质包括包含零向量、对向量加法和数乘运算封闭、存在唯一的加法逆元

3.以下哪些是概率论中的基本概念？（）A.事件B.样本空间C.概率D.随机变量E.期望【答案】A、B、C、D、E【解析】概率论中的基本概念包括事件、样本空间、概率、随机变量和期望

4.以下哪些是定积分的应用？（）A.计算曲线围成的面积B.计算曲线的弧长C.计算物体的位移D.计算物体的功E.计算物体的压力【答案】A、C、D、E【解析】定积分可以用于计算曲线围成的面积、物体的位移、功和压力

5.以下哪些是线性代数中的基本概念？（）A.矩阵B.向量C.线性方程组D.特征值E.特征向量【答案】A、B、C、D、E【解析】线性代数中的基本概念包括矩阵、向量、线性方程组、特征值和特征向量

三、填空题（每题4分，共20分）

1.函数fx=e^x在x=0处的泰勒展开式的前三项是______、______和______【答案】

1、x、x^2/2（4分）【解析】泰勒展开式是函数的幂级数展开，e^x在x=0处的泰勒展开式的前三项是

1、x、x^2/

22.设矩阵A=⎡⎢⎣123⎤⎢⎦，矩阵B=⎡⎢⎣456⎤⎢⎦，则矩阵A与矩阵B的乘积AB是______【答案】⎡⎢⎣222630⎤⎢⎦（4分）【解析】矩阵乘法的规则是左行乘右列，矩阵A与矩阵B的乘积AB是14+25+36,15+26+35,16+25+36=22,26,

303.设函数fx=x^3-3x+2，则fx在x=1处的导数f1的值是______【答案】0（4分）【解析】fx=3x^2-3，f1=31^2-3=

04.设事件A的概率PA=

0.6，事件B的概率PB=

0.7，且事件A和事件B相互独立，则PAB的值是______【答案】

0.42（4分）【解析】相互独立事件概率乘法公式，PAB=PAPB=

0.

60.7=

0.

425.设随机变量X服从二项分布Bn,p，则EX的值是______，VarX的值是______【答案】np，np1-p（4分）【解析】二项分布的期望EX=np，方差VarX=np1-p

四、判断题（每题2分，共10分）

1.两个可导函数的和一定是可导的（）【答案】（√）【解析】可导函数的和仍然是可导的，这是导数的基本性质

2.如果一个级数发散，那么它的任何部分和都发散（）【答案】（×）【解析】级数发散并不意味着它的任何部分和都发散，部分和可能收敛

3.如果两个向量平行，那么它们的长度一定相等（）【答案】（×）【解析】向量平行只要求方向相同或相反，长度可以不相等

4.如果一个函数在某个区间上连续，那么它在该区间上一定可导（）【答案】（×）【解析】连续不一定可导，例如绝对值函数在x=0处连续但不可导

5.如果事件A和事件B互斥，那么它们不可能同时发生（）【答案】（√）【解析】互斥事件是指两个事件不可能同时发生

五、简答题（每题5分，共15分）

1.简述导数的定义【答案】导数的定义是函数在某一点的瞬时变化率具体来说，如果函数fx在点x0的某个邻域内有定义，且极限limh→0fx0+h-fx0/h存在，则称该极限值为函数fx在点x0处的导数，记作fx

02.简述矩阵乘法的性质【答案】矩阵乘法具有以下性质

（1）结合律ABC=ABC

（2）左分配律AB+C=AB+AC

（3）右分配律A+BC=AC+BC

（4）数乘结合律kAB=kAB=AkB

（5）单位矩阵性质AI=IA=A（其中I是单位矩阵）

3.简述概率的三个基本性质【答案】概率的三个基本性质是

（1）非负性对于任何事件A，有PA≥0

（2）规范性必然事件的概率为1，即PΩ=1

（3）可加性对于任何互斥事件A和B，有PAUB=PA+PB

六、分析题（每题10分，共20分）

1.分析函数fx=x^3-3x^2+2在区间[-2,3]上的单调性和极值【答案】首先求导数fx=3x^2-6x令fx=0，解得x=0和x=2将区间[-2,3]分为三个部分[-2,0]、0,

2、2,3]在区间[-2,0]上，fx0，函数单调递增在区间0,2上，fx0，函数单调递减在区间2,3]上，fx0，函数单调递增极值点在x=0和x=2处f0=2，f2=-2因此，极大值为2，极小值为-

22.分析随机变量X服从二项分布Bn,p的分布性质【答案】二项分布Bn,p描述了在n次独立重复的伯努利试验中，成功次数X的概率分布其概率质量函数为PX=k=Cn,kp^k1-p^n-k，其中k=0,1,...,n

（1）期望EX=np期望表示在多次试验中成功的平均次数

（2）方差VarX=np1-p方差表示成功次数的波动程度

（3）分布形状当p=

0.5时，分布对称；当p≠

0.5时，分布不对称

（4）极限性质当n→∞，p→0，np保持不变时，二项分布趋近于泊松分布

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.已知函数fx=x^3-3x^2+2，求函数在区间[-2,3]上的最大值和最小值【答案】首先求导数fx=3x^2-6x令fx=0，解得x=0和x=2将区间[-2,3]分为三个部分[-2,0]、0,

2、2,3]在区间[-2,0]上，fx0，函数单调递增f-2=-10，f0=2在区间0,2上，fx0，函数单调递减f1=0在区间2,3]上，fx0，函数单调递增f2=-2，f3=2因此，最大值为2，最小值为-

102.已知矩阵A=⎡⎢⎣123⎤⎢⎦，矩阵B=⎡⎢⎣456⎤⎢⎦，求矩阵A与矩阵B的乘积AB，并分析其结果【答案】矩阵A与矩阵B的乘积AB是14+25+36,15+26+35,16+25+36=22,26,30分析结果

（1）矩阵乘法的结果是一个新的矩阵，其行数与左矩阵相同，列数与右矩阵相同

（2）矩阵乘法不满足交换律，即AB≠BA

（3）矩阵乘法满足结合律，即ABC=ABC

（4）矩阵乘法满足左分配律和右分配律，即AB+C=AB+AC，A+BC=AC+BC

八、完整标准答案

一、单选题

1.A

2.C

3.B

4.C

5.C

6.A

7.D

8.C

9.C

10.B

二、多选题

1.A、B

2.A、B、C、D

3.A、B、C、D、E

4.A、C、D、E

5.A、B、C、D、E

三、填空题

1.

1、x、x^2/

22.⎡⎢⎣222630⎤⎢⎦

3.

04.

0.

425.np，np1-p

四、判断题

1.（√）

2.（×）

3.（×）

4.（×）

5.（√）

五、简答题

1.导数的定义是函数在某一点的瞬时变化率具体来说，如果函数fx在点x0的某个邻域内有定义，且极限limh→0fx0+h-fx0/h存在，则称该极限值为函数fx在点x0处的导数，记作fx

02.矩阵乘法具有以下性质

（1）结合律ABC=ABC

（2）左分配律AB+C=AB+AC

（3）右分配律A+BC=AC+BC

（4）数乘结合律kAB=kAB=AkB

（5）单位矩阵性质AI=IA=A（其中I是单位矩阵）

3.概率的三个基本性质是

（1）非负性对于任何事件A，有PA≥0

（2）规范性必然事件的概率为1，即PΩ=1

（3）可加性对于任何互斥事件A和B，有PAUB=PA+PB

六、分析题

1.分析函数fx=x^3-3x^2+2在区间[-2,3]上的单调性和极值【答案】首先求导数fx=3x^2-6x令fx=0，解得x=0和x=2将区间[-2,3]分为三个部分[-2,0]、0,

2、2,3]在区间[-2,0]上，fx0，函数单调递增f-2=-10，f0=2在区间0,2上，fx0，函数单调递减f1=0在区间2,3]上，fx0，函数单调递增f2=-2，f3=2因此，最大值为2，最小值为-

102.分析随机变量X服从二项分布Bn,p的分布性质【答案】二项分布Bn,p描述了在n次独立重复的伯努利试验中，成功次数X的概率分布其概率质量函数为PX=k=Cn,kp^k1-p^n-k，其中k=0,1,...,n

（1）期望EX=np期望表示在多次试验中成功的平均次数

（2）方差VarX=np1-p方差表示成功次数的波动程度

（3）分布形状当p=

0.5时，分布对称；当p≠

0.5时，分布不对称

（4）极限性质当n→∞，p→0，np保持不变时，二项分布趋近于泊松分布

七、综合应用题

1.已知函数fx=x^3-3x^2+2，求函数在区间[-2,3]上的最大值和最小值【答案】首先求导数fx=3x^2-6x令fx=0，解得x=0和x=2将区间[-2,3]分为三个部分[-2,0]、0,

2、2,3]在区间[-2,0]上，fx0，函数单调递增f-2=-10，f0=2在区间0,2上，fx0，函数单调递减f1=0在区间2,3]上，fx0，函数单调递增f2=-2，f3=2因此，最大值为2，最小值为-

102.已知矩阵A=⎡⎢⎣123⎤⎢⎦，矩阵B=⎡⎢⎣456⎤⎢⎦，求矩阵A与矩阵B的乘积AB，并分析其结果【答案】矩阵A与矩阵B的乘积AB是14+25+36,15+26+35,16+25+36=22,26,30分析结果

（1）矩阵乘法的结果是一个新的矩阵，其行数与左矩阵相同，列数与右矩阵相同

（2）矩阵乘法不满足交换律，即AB≠BA

（3）矩阵乘法满足结合律，即ABC=ABC

（4）矩阵乘法满足左分配律和右分配律，即AB+C=AB+AC，A+BC=AC+BC。