吉林大学高等数学历年考研试题及答案

吉林大学高等数学历年考研试题及答案

一、单选题

1.下列函数中，在x=0处不可导的是（）（1分）A.fx=|x|B.fx=x^2C.fx=e^xD.fx=ln|x|【答案】A【解析】fx=|x|在x=0处不可导，因为其左右导数不相等

2.极限limx→∞3x^2+5x+2/5x^2-3x+1的值为（）（2分）A.0B.1C.3/5D.5/3【答案】C【解析】分子分母同时除以x^2得limx→∞3+5/x+2/x^2/5-3/x+1/x^2=3/

53.函数fx=sinx在[0,2π]上的积分值为（）（1分）A.0B.1C.2D.π【答案】A【解析】fx=sinx在[0,2π]上的积分为0，因为正弦函数在一个周期内的积分为

04.下列级数中，收敛的是（）（2分）A.∑n=1→∞1/nB.∑n=1→∞1/n^2C.∑n=1→∞1/n^3D.∑n=1→∞1/n^4【答案】B【解析】p-级数∑n=1→∞1/n^p当p1时收敛，当p≤1时发散故B选项收敛

5.下列向量组中，线性无关的是（）（2分）A.1,2,3B.2,4,6C.1,0,0D.0,1,2【答案】C【解析】向量组线性无关的充要条件是这些向量构成的矩阵的行列式不为0C选项的向量为1,0,0和0,1,2，行列式为12-01=2≠0，故线性无关

6.矩阵A=1,2;3,4的特征值为（）（1分）A.1,2B.3,4C.-1,-2D.-3,-4【答案】C【解析】特征方程为detA-λI=0，即1-λ4-λ-6=λ^2-5λ-6=0，解得λ=-1,

67.设z=fx,y满足∂z/∂x=2x+3y，∂z/∂y=3x+2y，且f0,0=1，则fx,y为（）（2分）A.x^2+3xy+2y^2+1B.x^2+3xy+2y^2C.x^2+3xy+2y^2-1D.x^2+3xy+2y^2+2【答案】A【解析】将偏导数积分得z=x^2+3xy+2y^2+C，由f0,0=1得C=1，故fx,y=x^2+3xy+2y^2+

18.设事件A的概率为1/3，事件B的概率为1/4，且PA∪B=1/2，则PA|B为（）（2分）A.1/6B.1/4C.1/3D.1/2【答案】B【解析】PA|B=PA∩B/PB，由PA∪B=PA+PB-PA∩B=1/2得PA∩B=1/12，故PA|B=1/12÷1/4=1/

39.设函数fx在[a,b]上连续，则在[a,b]上至少存在一点ξ，使得（）（1分）A.fξ=0B.fξ=b-afb/faC.fξ=b+a/2D.fξ=fb-fa【答案】B【解析】根据拉格朗日中值定理，存在ξ∈a,b使得fξ=fb-fa/b-a=b-afb/fa

10.下列方程中，不是线性微分方程的是（）（2分）A.y+2y+y=0B.y-3y+2y=e^xC.y+yy=0D.y+4y=cosx【答案】C【解析】线性微分方程中未知函数及其各阶导数都是一次幂，故C选项yy为非线性

二、多选题（每题4分，共20分）

1.以下哪些函数在-∞,∞上连续？（）A.fx=x^2B.fx=1/xC.fx=sinxD.fx=cosxE.fx=tanx【答案】A、C、D【解析】fx=1/x在x=0处不连续，fx=tanx在x=kπ+π/2处不连续，其余函数在-∞,∞上连续

2.以下哪些向量组线性相关？（）A.1,0,0B.0,1,0C.0,0,1D.1,1,1E.1,2,3【答案】D、E【解析】向量组线性相关的充要条件是存在不全为0的系数使线性组合为0D选项3个1线性相关，E选项2倍B+C=A，故线性相关

3.以下哪些是概率的性质？（）A.PA=1-PAB.PA∪B=PA+PB-PA∩BC.P∅=0D.PA|B=PAPB/PBE.PA+PB≤1【答案】B、C【解析】概率的性质包括PA+PA=1，PA∪B=PA+PB-PA∩B，P∅=0，条件概率PA|B=PA∩B/PB，PA+PB不一定小于等于

14.以下哪些函数在0,1上可积？（）A.fx=1/xB.fx=sin1/xC.fx=x^2D.fx=1/x^2E.fx=cosx【答案】C、E【解析】fx=1/x在0,1上不可积，fx=1/x^2在x=0处发散，其余函数在0,1上可积

5.以下哪些是二阶线性微分方程的解？（）A.y=1B.y=2xC.y=x^2D.y=3e^xE.y=xe^x【答案】A、D【解析】二阶线性微分方程的通解形式为y=C1y1x+C2y2x，A选项为特解，D选项为特解，B、C、E选项不是二阶线性微分方程的解

三、填空题

1.函数fx=x^3-3x在[-2,2]上的最大值为______，最小值为______（4分）【答案】2，-2【解析】fx=3x^2-3=0得x=±1，f-2=-2，f-1=2，f1=-2，f2=2，故最大值为2，最小值为-

22.级数∑n=1→∞1/2^n的前n项和为______（4分）【答案】1-1/2^n【解析】该级数为等比级数，公比q=1/2，前n项和S_n=1-1/2^n

3.矩阵A=1,2;3,4的逆矩阵为______（4分）【答案】-1/2,1;3/2,-1【解析】detA=14-6=-2，A^-1=-1/2-1,2;3,4=-1/2,-1;3/2,-

14.若事件A的概率为

0.6，事件B的概率为

0.7，且PA∪B=

0.8，则PA∩B为______（4分）【答案】

0.5【解析】PA∪B=PA+PB-PA∩B=

0.6+

0.7-PA∩B=

0.8，故PA∩B=

0.

55.函数fx=e^x在[0,1]上的积分近似值为______（4分）【答案】e-1≈

1.71828【解析】fx=e^x在[0,1]上的积分为e-1，近似值为

1.71828

四、判断题

1.若函数fx在[a,b]上连续，则fx在[a,b]上必有界（）（2分）【答案】（√）【解析】根据连续函数的性质，若fx在[a,b]上连续，则fx在[a,b]上有界

2.若向量组1,0,

0、0,1,

0、0,0,1线性相关，则任意三个三维向量都线性相关（）（2分）【答案】（×）【解析】向量组线性相关的充要条件是存在不全为0的系数使线性组合为0，三个标准基向量线性无关，不能推出任意三个三维向量都线性相关

3.若函数fx在x=0处可导，则fx在x=0处必连续（）（2分）【答案】（√）【解析】函数在某点可导的充要条件是该点处函数必连续

4.若事件A的概率为

0.5，事件B的概率为

0.5，则PA∩B=

0.25（）（2分）【答案】（×）【解析】PA∩B=PA+PB-PA∪B，当A∪B=A时PA∩B=

0.5，当A∪B=B时PA∩B=

0.5，不一定为

0.

255.若函数fx在[a,b]上可积，则fx在[a,b]上必有界（）（2分）【答案】（√）【解析】根据可积函数的性质，若fx在[a,b]上可积，则fx在[a,b]上有界

五、简答题

1.简述拉格朗日中值定理的内容及其几何意义（4分）【答案】拉格朗日中值定理内容若函数fx在闭区间[a,b]上连续，在开区间a,b上可导，则存在ξ∈a,b，使得fξ=fb-fa/b-a几何意义在[a,b]上连续的曲线y=fx上，至少存在一点ξ,fξ，其切线斜率fξ等于弦AB的斜率fb-fa/b-a

2.简述线性相关与线性无关的定义（5分）【答案】线性相关定义向量组α1,α2,...,αn线性相关，是指存在不全为0的常数k1,k2,...,kn，使得k1α1+k2α2+...+knαn=0线性无关定义向量组α1,α2,...,αn线性无关，是指只有当k1=k2=...=kn=0时，才有k1α1+k2α2+...+knαn=

03.简述矩阵可逆的充要条件（2分）【答案】矩阵A可逆的充要条件是A为非奇异矩阵，即detA≠0

六、分析题

1.设函数fx在[0,1]上连续，且满足fx=3x^2+2∫_0^xftdt，求fx（10分）【答案】fx=6x+2fx，解得fx=Ce^2x-6x-3，由f0=0得C=3，故fx=3e^2x-6x-

32.设向量组α1=1,1,1,α2=1,2,3,α3=1,3,6，证明α1,α2,α3线性无关（10分）【答案】设k1α1+k2α2+k3α3=0，即k1+k2+k3=k1+2k2+3k3=k1+3k2+6k3=0，解得k1=k2=k3=0，故α1,α2,α3线性无关

七、综合应用题设函数fx=x^3-3x^2+2在[0,3]上的积分，用辛普森公式计算其近似值（15分）【答案】辛普森公式为S=b-a/3h[fa+4fa+h+fb]，h=b-a/n=3-0/2=

1.5，n=2，S=3/

31.5[f0+4f

1.5+f3]=f0+2f

1.5+f3=0+

21.5^3-

31.5^2+2+27=0+

23.375-

6.75+2+27=0+2-

1.375+27=

24.25

八、填空题答案

1.2，-

22.1-1/2^n

3.-1/2,1;3/2,-

14.

0.

55.e-1≈

1.71828

九、判断题答案

1.（√）

2.（×）

3.（√）

4.（×）

5.（√）

十、简答题答案

1.拉格朗日中值定理内容若函数fx在闭区间[a,b]上连续，在开区间a,b上可导，则存在ξ∈a,b，使得fξ=fb-fa/b-a几何意义在[a,b]上连续的曲线y=fx上，至少存在一点ξ,fξ，其切线斜率fξ等于弦AB的斜率fb-fa/b-a

2.线性相关定义向量组α1,α2,...,αn线性相关，是指存在不全为0的常数k1,k2,...,kn，使得k1α1+k2α2+...+knαn=0线性无关定义向量组α1,α2,...,αn线性无关，是指只有当k1=k2=...=kn=0时，才有k1α1+k2α2+...+knαn=

03.矩阵A可逆的充要条件是A为非奇异矩阵，即detA≠0

十一、分析题答案

1.fx=6x+2fx，解得fx=Ce^2x-6x-3，由f0=0得C=3，故fx=3e^2x-6x-

32.设k1α1+k2α2+k3α3=0，即k1+k2+k3=k1+2k2+3k3=k1+3k2+6k3=0，解得k1=k2=k3=0，故α1,α2,α3线性无关

十二、综合应用题答案辛普森公式为S=b-a/3h[fa+4fa+h+fb]，h=b-a/n=3-0/2=

1.5，n=2，S=3/

31.5[f0+4f

1.5+f3]=f0+2f

1.5+f3=0+

21.5^3-

31.5^2+2+27=0+

23.375-

6.75+2+27=0+2-

1.375+27=

24.25。