向量专项测试题及答案

向量专项测试题及答案

一、单选题（每题2分，共20分）

1.向量a=3,4，向量b=1,2，则向量a与向量b的夹角余弦值为（）（2分）A.1/5B.3/5C.4/5D.1【答案】B【解析】向量a与向量b的夹角余弦值cosθ=a·b/|a||b|=3×1+4×2/√3²+4²×√1²+2²=11/5√5=3/

52.平面内两个非零向量a和b，下列说法正确的是（）（2分）A.若|a||b|，则a+b|a|-|b|B.若a//b，则必有a=bC.若a⊥b，则|a+b|=|a|+|b|D.若|a+b|=|a-b|，则a⊥b【答案】D【解析】由|a+b|=|a-b|两边平方得a²+b²+2ab=a²+b²-2ab，整理得4ab=0，即ab=0，所以a⊥b

3.已知向量a=1,2，向量b=x,y，若a∥b，则（）（2分）A.x=2，y=4B.x=-2，y=-4C.x=1/2，y=1D.x=-1/2，y=-1【答案】C【解析】向量a∥b，则存在实数k，使得a=kb，即1,2=kx,y，解得x=1/2，y=

14.向量a=1,2，向量b=3,0，则向量a在向量b方向上的投影长度为（）（2分）A.3B.1C.√5D.√13【答案】A【解析】向量a在向量b方向上的投影长度|a|cosθ=|a||b|cosθ=|a|·b/|b|·|b|=|a|·b=√5·3=

35.已知向量a=1,2，向量b=3,4，则向量a×b的值为（）（2分）A.-5B.5C.-2D.2【答案】A【解析】向量a×b实际上是向量a和向量b的行列式值，即1×4-2×3=-

56.若向量OP=1,2，向量OQ=3,4，则向量PQ的坐标为（）（2分）A.2,2B.4,4C.2,6D.4,6【答案】A【解析】向量PQ=向量OQ-向量OP=3,4-1,2=2,

27.已知向量a=2,3，向量b=x,1，若|a+b|=√26，则x的值为（）（2分）A.1B.-1C.2D.-2【答案】D【解析】|a+b|=√2+x²+4=√26，解得2+x=±√22，x=√22-2或x=-√22-2，由于选项只有±2，故x=-

28.已知点A1,2，点B3,4，点C5,6，则向量AB与向量BC的关系是（）（2分）A.AB=BCB.AB⊥BCC.AB//BCD.AB=2BC【答案】C【解析】向量AB=3-1,4-2=2,2，向量BC=5-3,6-4=2,2，所以AB//BC

9.若向量a=1,k，向量b=2,3，且a⊥b，则k的值为（）（2分）A.2B.-2C.3D.-3【答案】B【解析】向量a⊥b，则a·b=0，即1×2+k×3=0，解得k=-

210.已知向量a=3,4，向量b=2,1，则向量a与向量b的夹角为（）（2分）A.30°B.45°C.60°D.90°【答案】B【解析】向量a与向量b的夹角θ满足cosθ=a·b/|a||b|=6/5×√5=√5/5，θ=45°

二、多选题（每题4分，共20分）

1.下列说法正确的有（）（4分）A.0与任何向量的数量积为0B.若a⊥b，则a·b=0C.若|a|=|b|，则a=bD.若a//b，则存在实数k，使得a=kb【答案】A、B、D【解析】0与任何向量的数量积为0；若a⊥b，则a·b=|a||b|cos90°=0；若a//b，则存在实数k，使得a=kb|a|=|b|不一定a=b，可能方向相反

2.已知向量a=1,2，向量b=3,4，下列向量中与向量c=x,y共线的有（）（4分）A.2,4B.3,6C.4,8D.6,12【答案】B、C、D【解析】向量c与向量a共线，则c=ka，即x,y=k1,2，所以x=2k，y=4k，B、C、D均满足条件

3.已知向量a=1,2，向量b=3,4，下列说法正确的有（）（4分）A.|a+b|=|a|+|b|B.|a-b|=|a|+|b|C.a·b=b·aD.a×b=b×a【答案】C【解析】向量数量积满足交换律，即a·b=b·a向量模长不一定满足|a±b|=|a|±|b|，向量外积不满足交换律

4.已知点A1,2，点B3,4，点C5,6，则下列说法正确的有（）（4分）A.AB//BCB.AB⊥ACC.AC=2ABD.BC=2AB【答案】A、C【解析】向量AB=2,2，向量BC=2,2，所以AB//BC，AC=2AB

5.已知向量a=1,2，向量b=3,4，则下列向量中与向量a垂直的有（）（4分）A.2,1B.-4,2C.-3,4D.4,-2【答案】B、D【解析】向量a与向量c垂直，则a·c=0，B、D满足条件

三、填空题（每空2分，共16分）

1.已知向量a=3,4，向量b=1,2，则向量a·b=______，|a|+|b|=______（4分）【答案】11；√13+√

52.若向量OP=2,3，向量OQ=4,5，则向量PQ=______，|PQ|=______（4分）【答案】2,2；2√

23.已知向量a=1,2，向量b=3,4，则向量a×b=______，向量a-b=______（4分）【答案】-5；2,-

24.若向量a=1,k，向量b=2,3，且a⊥b，则k=______，若a//b，则k=______（4分）【答案】-6；2

四、判断题（每题2分，共10分）

1.两个向量的数量积等于它们的模长的乘积（）（2分）【答案】（×）【解析】两个向量的数量积等于它们的模长和它们夹角余弦值的乘积

2.若向量a=1,2，向量b=3,4，则向量a+b=4,6（）（2分）【答案】（√）【解析】向量a+b=1+3,2+4=4,

63.若向量a=1,2，向量b=3,4，则向量a×b=-2（）（2分）【答案】（×）【解析】向量a×b实际上是向量a和向量b的行列式值，即1×4-2×3=-

54.若向量a=1,2，向量b=3,4，则|a|·|b|=√5×√13（）（2分）【答案】（√）【解析】|a|=√5，|b|=√13，所以|a|·|b|=√5×√

135.若向量a=1,2，向量b=3,4，则向量a-b=2,-2（）（2分）【答案】（√）【解析】向量a-b=1-3,2-4=2,-2

五、简答题（每题4分，共12分）

1.已知向量a=3,4，向量b=1,2，求向量a在向量b方向上的投影长度（4分）【答案】向量a在向量b方向上的投影长度|a|cosθ=|a||b|cosθ=|a|·b/|b|·|b|=|a|·b=√3²+4²×1×3+2×4=5×11=5√

52.已知点A1,2，点B3,4，点C5,6，求向量AB与向量BC的夹角余弦值（4分）【答案】向量AB=3-1,4-2=2,2，向量BC=5-3,6-4=2,2，|AB|=|BC|=√2²+2²=2√2，AB·BC=2×2+2×2=8，cosθ=AB·BC/|AB|·|BC|=8/2√2×2√2=1/2，θ=60°

3.已知向量a=1,2，向量b=3,4，求一个与向量a垂直的向量c的坐标（4分）【答案】设向量c=x,y，由a⊥c，则a·c=0，即1×x+2×y=0，解得x=-2y，可取x=2，y=-1，则向量c=2,-1

六、分析题（每题10分，共20分）

1.已知向量a=1,2，向量b=3,4，求向量a与向量b的夹角θ，并判断它们是否垂直或平行（10分）【答案】向量a与向量b的夹角θ满足cosθ=a·b/|a||b|=6/√5×√13=6√65/65，θ=arccos6√65/65，由于a·b≠0，所以它们不垂直；又因为a与b的坐标不成比例，所以它们不平行

2.已知向量OP=2,3，向量OQ=4,5，点P在直线l上，点Q在直线m上，且直线l与直线m相交于点O，求直线l与直线m的夹角余弦值（10分）【答案】向量OP=2,3，向量OQ=4,5，|OP|=√2²+3²=√13，|OQ|=√4²+5²=√41，OP·OQ=2×4+3×5=8+15=23，cosθ=OP·OQ/|OP|·|OQ|=23/√13×√41=23√533/533，θ=arccos23√533/533，直线l与直线m的夹角余弦值为23√533/533

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.已知向量a=1,2，向量b=3,4，向量c=x,y，且向量a、b、c共面，且a+b+c=0，求向量c的坐标，并判断向量c与向量a、向量b的关系（25分）【答案】由a+b+c=0，得c=-a+b=-1+3,2+4=-4,-6，所以向量c=-4,-6向量c与向量a、向量b共面，且c=-2a-2b，所以向量c与向量a、向量b线性相关

2.已知向量a=1,2，向量b=3,4，向量c=5,6，求向量a、b、c的模长，并判断它们是否两两垂直或平行（25分）【答案】|a|=√1²+2²=√5，|b|=√3²+4²=√5，|c|=√5²+6²=√61向量a与向量b不垂直（a·b=11≠0），也不平行（a与b的坐标不成比例）；向量a与向量c不垂直（a·c=11≠0），也不平行；向量b与向量c不垂直（b·c=29≠0），也不平行---完整标准答案

一、单选题

1.B

2.D

3.C

4.A

5.A

6.A

7.D

8.C

9.B

10.B

二、多选题

1.A、B、D

2.B、C、D

3.C

4.A、C

5.B、D

三、填空题

1.11；√13+√

52.2,2；2√

23.-5；2,-

24.-6；2

四、判断题

1.（×）

2.（√）

3.（×）

4.（√）

5.（√）

五、简答题

1.5√

52.1/2，60°

3.2,-1

六、分析题

1.arccos6√65/65，不垂直也不平行

2.23√533/533

七、综合应用题

1.-4,-6，线性相关

2.|a|=√5，|b|=√5，|c|=√61，都不垂直也不平行。