复变函数测试题2及答案

复变函数测试题2及答案

一、单选题（每题2分，共20分）

1.函数fz=z^2/z-1在z=1处的留数是（）（2分）A.0B.1C.-1D.2【答案】C【解析】fz在z=1处有极点，用洛朗级数展开可得留数为-

12.函数fz=e^z在z=0处的泰勒级数展开式中，系数a_n（n为正整数）等于（）（2分）A.1/n!B.n!C.eD.0【答案】A【解析】泰勒级数展开式为∑a_nz^n，其中a_n=f^n0/n!，fz=e^z时f^n0=

13.设函数fz在区域D内解析，且|fz|≤1，则根据莫尔氏定理，|f0|等于（）（2分）A.1B.0C.-1D.1/2【答案】A【解析】莫尔氏定理表明在圆内解析函数的模的最大值在圆周上取得，故|f0|≤

14.函数fz=1/z^2+1的极点个数为（）（2分）A.0B.1C.2D.3【答案】C【解析】fz的极点为z^2+1=0的解，即z=±i，共两个极点

5.函数fz=sinz在z=π处的值等于（）（2分）A.0B.1C.-1D.π【答案】C【解析】sinπ=-sin0=0，sinπ=-

16.函数fz=z/z^2-1在z=1处的留数是（）（2分）A.1/2B.-1/2C.1D.-1【答案】A【解析】用部分分式展开fz=1/z-1-1/z+1，留数为1/

27.函数fz=z^2在z=0处的导数f0等于（）（2分）A.0B.1C.2D.0【答案】C【解析】fz=2z，f0=

08.函数fz=e^z在z=0处的泰勒级数展开式中，系数a_3（3次项系数）等于（）（2分）A.1B.1/6C.1/3D.0【答案】B【解析】泰勒级数展开式中a_3=f0/3!，e^z的第三阶导数为e^z，f0=1，a_3=1/

69.函数fz=1/z-2在z=3处的值等于（）（2分）A.1/5B.-1/5C.1/2D.-1/2【答案】A【解析】f3=1/3-2=1/

510.函数fz=cosz在z=π处的值等于（）（2分）A.0B.1C.-1D.π【答案】C【解析】cosπ=-cos0=-1

二、多选题（每题4分，共20分）

1.以下哪些函数在z=0处解析？（）A.fz=z^2B.fz=1/zC.fz=sinzD.fz=z^3+2z【答案】A、C、D【解析】fz=1/z在z=0处不解析，其他函数在z=0处解析

2.以下哪些函数在z=1处有极点？（）A.fz=1/z-1B.fz=z/z-1C.fz=z^2/z-1D.fz=1/z^2-1【答案】A、B、C、D【解析】所有函数在z=1处都有极点

3.以下哪些函数在z=0处有泰勒级数展开？（）A.fz=e^zB.fz=sinzC.fz=1/1-zD.fz=1/z^2+1【答案】A、B、C【解析】fz=1/z^2+1在z=0处没有泰勒级数展开

4.以下哪些函数是整函数？（）A.fz=z^2B.fz=e^zC.fz=sinzD.fz=1/z-1【答案】A、B、C【解析】fz=1/z-1不是整函数

5.以下哪些函数在z=0处有留数？（）A.fz=z/z-1B.fz=z^2/z-1C.fz=1/z^2+1D.fz=sinz/z【答案】A、B、D【解析】fz=1/z^2+1在z=0处没有留数

三、填空题（每题4分，共20分）

1.函数fz=z^2/z-1在z=1处的留数是______（4分）【答案】1【解析】用洛朗级数展开可得留数为

12.函数fz=e^z在z=0处的泰勒级数展开式中，系数a_5（5次项系数）等于______（4分）【答案】1/120【解析】泰勒级数展开式中a_5=f^50/5!，e^z的第五阶导数为e^z，f^50=1，a_5=1/

1203.设函数fz在区域D内解析，且|fz|≤1，则根据莫尔氏定理，|f0|等于______（4分）【答案】1【解析】莫尔氏定理表明在圆内解析函数的模的最大值在圆周上取得，故|f0|≤

14.函数fz=1/z^2+1的极点个数为______（4分）【答案】2【解析】fz的极点为z^2+1=0的解，即z=±i，共两个极点

5.函数fz=z/z-1在z=1处的值等于______（4分）【答案】-1【解析】f1=1/1-1=-1

四、判断题（每题2分，共20分）

1.两个解析函数的和仍为解析函数（）（2分）【答案】（√）【解析】解析函数的和仍为解析函数

2.如果函数fz在z=0处解析，则fz在z=0附近有泰勒级数展开（）（2分）【答案】（√）【解析】解析函数在z=0附近有泰勒级数展开

3.函数fz=1/z-1在z=1处有极点（）（2分）【答案】（√）【解析】fz在z=1处有极点

4.函数fz=z^2在z=0处的导数f0等于2（）（2分）【答案】（√）【解析】fz=2z，f0=

05.函数fz=sinz在z=π处的值等于-1（）（2分）【答案】（√）【解析】sinπ=-sin0=0

五、简答题（每题5分，共15分）

1.简述解析函数的定义及其性质（5分）【答案】解析函数是指在区域D内处处可导的复变函数解析函数的性质包括满足柯西-黎曼方程，具有解析性，导函数仍为解析函数等

2.简述留数的定义及其计算方法（5分）【答案】留数是指函数在孤立奇点处洛朗级数展开式中-1/z项的系数计算方法包括直接展开洛朗级数，利用留数定理等

3.简述泰勒级数展开的定义及其应用（5分）【答案】泰勒级数展开是指将解析函数在某点附近展开为幂级数的形式应用包括计算函数值，研究函数性质等

六、分析题（每题10分，共20分）

1.分析函数fz=z^2/z-1在z=1处的性质（10分）【答案】函数fz=z^2/z-1在z=1处有极点具体分析如下

（1）极点类型fz在z=1处有极点，因为分母z-1在z=1时为零

（2）留数计算用洛朗级数展开fz在z=1附近的形式，可得留数为1

（3）函数行为在z=1附近，fz的行为类似于1/z，具有奇异性

2.分析函数fz=e^z在z=0处的泰勒级数展开及其性质（10分）【答案】函数fz=e^z在z=0处的泰勒级数展开为∑z^n/n!具体分析如下

（1）泰勒级数展开e^z的泰勒级数展开为∑z^n/n!，在z=0处收敛于e^0=1

（2）性质分析泰勒级数在z=0附近收敛，可以用来计算e^z的值，具有很好的逼近性质

（3）应用泰勒级数展开在复变函数中具有广泛应用，可以用于研究函数性质、计算函数值等

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.计算函数fz=z^2/z-1在z=1处的留数，并分析其性质（25分）【答案】计算留数

（1）将fz在z=1附近展开为洛朗级数fz=z^2/z-1=z-1+1^2/z-1=z-1^2/z-1+2z-1/z-1+1=z-1+2+1/z-1=z-1+2+1/z

（2）留数为洛朗级数中-1/z项的系数，即1性质分析

（1）极点类型fz在z=1处有极点，因为分母z-1在z=1时为零

（2）函数行为在z=1附近，fz的行为类似于1/z，具有奇异性

2.计算函数fz=e^z在z=0处的泰勒级数展开，并分析其性质（25分）【答案】计算泰勒级数展开

（1）泰勒级数展开为∑z^n/n!，即e^z=1+z+z^2/2!+z^3/3!+...+z^n/n!+...

（2）在z=0处，e^z=1性质分析

（1）泰勒级数在z=0附近收敛，可以用来计算e^z的值，具有很好的逼近性质

（2）泰勒级数展开在复变函数中具有广泛应用，可以用于研究函数性质、计算函数值等完整标准答案

一、单选题

1.C

2.A

3.A

4.C

5.C

6.A

7.C

8.B

9.A

10.C

二、多选题

1.A、C、D

2.A、B、C、D

3.A、B、C

4.A、B、C

5.A、B、D

三、填空题

1.

12.1/

1203.

14.

25.-1

四、判断题

1.（√）

2.（√）

3.（√）

4.（√）

5.（√）

五、简答题

1.解析函数是指在区域D内处处可导的复变函数解析函数的性质包括满足柯西-黎曼方程，具有解析性，导函数仍为解析函数等

2.留数是指函数在孤立奇点处洛朗级数展开式中-1/z项的系数计算方法包括直接展开洛朗级数，利用留数定理等

3.泰勒级数展开是指将解析函数在某点附近展开为幂级数的形式应用包括计算函数值，研究函数性质等

六、分析题

1.函数fz=z^2/z-1在z=1处有极点具体分析如下

（1）极点类型fz在z=1处有极点，因为分母z-1在z=1时为零

（2）留数计算用洛朗级数展开fz在z=1附近的形式，可得留数为1

（3）函数行为在z=1附近，fz的行为类似于1/z，具有奇异性

2.函数fz=e^z在z=0处的泰勒级数展开为∑z^n/n!具体分析如下

（1）泰勒级数展开e^z的泰勒级数展开为∑z^n/n!，在z=0处收敛于e^0=1

（2）性质分析泰勒级数在z=0附近收敛，可以用来计算e^z的值，具有很好的逼近性质

（3）应用泰勒级数展开在复变函数中具有广泛应用，可以用于研究函数性质、计算函数值等

七、综合应用题

1.计算函数fz=z^2/z-1在z=1处的留数，并分析其性质

（1）将fz在z=1附近展开为洛朗级数fz=z^2/z-1=z-1+1^2/z-1=z-1^2/z-1+2z-1/z-1+1=z-1+2+1/z-1=z-1+2+1/z

（2）留数为洛朗级数中-1/z项的系数，即1性质分析

（1）极点类型fz在z=1处有极点，因为分母z-1在z=1时为零

（2）函数行为在z=1附近，fz的行为类似于1/z，具有奇异性

2.计算函数fz=e^z在z=0处的泰勒级数展开，并分析其性质

（1）泰勒级数展开为∑z^n/n!，即e^z=1+z+z^2/2!+z^3/3!+...+z^n/n!+...

（2）在z=0处，e^z=1性质分析

（1）泰勒级数在z=0附近收敛，可以用来计算e^z的值，具有很好的逼近性质

（2）泰勒级数展开在复变函数中具有广泛应用，可以用于研究函数性质、计算函数值等。