复变函数论考研真题及答案参考

复变函数论考研真题及答案参考

一、单选题

1.下列函数中，在z=0处解析的是（）（2分）A.fz=sinz/zB.fz=ez/zC.fz=z2/sinzD.fz=ez/z2【答案】A【解析】fz=sinz/z在z=0处洛朗级数只有z的负幂项，不解析

2.设fz=ux,y+ivx,y在区域D内解析，则下列结论正确的是（）（2分）A.ux,y和vx,y都在D内可导B.ux,y和vx,y在D内不连续C.∂u/∂x=∂v/∂y，∂u/∂y=-∂v/∂xD.∂u/∂x=-∂v/∂y，∂u/∂y=∂v/∂x【答案】C【解析】满足柯西-黎曼方程

3.函数fz=1/z-a在z=a处的留数是（）（2分）A.0B.1C.aD.1/a【答案】B【解析】留数等于负的分子在a处的值

4.级数∑n=1to∞zn/n+1的收敛半径是（）（2分）A.1B.2C.0D.-1【答案】A【解析】收敛半径R=1/limsup|an|^1/n=

15.设fz在|z|1内解析，且f0=1，则∑n=0to∞an在实数域上的和是（）（2分）A.1/eB.eC.1D.e^2【答案】B【解析】利用泰勒级数展开

6.积分∫|z|=1dz/z^2+1的值是（）（2分）A.0B.πiC.2πiD.πi/2【答案】B【解析】利用留数定理

7.设fz在闭区域|z|≤1上连续，在|z|1内解析，则由柯西积分定理可得∫|z|=1fzdz=（）（2分）A.0B.f0C.2πif0D.∞【答案】A【解析】fz在|z|1内解析

8.函数fz=z/z^2+1在z=2处的留数是（）（2分）A.1/5B.2/5C.1/3D.2/3【答案】B【解析】留数等于负的分子在2处的值除以分母的导数

9.级数∑n=1to∞-1^n/2n+1!的和是（）（2分）A.sin1B.cos1C.sinh1D.cosh1【答案】B【解析】这是cos1的泰勒级数展开

10.设fz在|z|1内解析，且f0=1，则fz的泰勒级数展开式中an的系数是（）（2分）A.1/n+1!B.1/n!C.1/2n!D.1/2n+1!【答案】A【解析】利用泰勒级数展开

二、多选题（每题4分，共20分）

1.以下哪些函数在z=0处解析？（）A.fz=z^2/z^2+1B.fz=sinz/zC.fz=1/zD.fz=ez【答案】A、D【解析】fz=z^2/z^2+1和fz=ez在z=0处解析

2.以下哪些是柯西积分定理的推论？（）A.解析函数在闭曲线上的积分为0B.解析函数的积分与路径无关C.解析函数的导数可以由积分表示D.解析函数的泰勒级数收敛于函数本身【答案】A、B、C【解析】这些都是柯西积分定理的推论

3.以下哪些是留数定理的应用？（）A.计算实数积分B.计算复数积分C.求函数的极值D.求函数的导数【答案】A、B【解析】留数定理主要用于计算积分

4.以下哪些级数在z=1处收敛？（）A.∑n=1to∞z^nB.∑n=1to∞1/n+1C.∑n=1to∞1/n^2D.∑n=1to∞-1^n/n【答案】C、D【解析】∑n=1to∞1/n^2和∑n=1to∞-1^n/n在z=1处收敛

5.以下哪些是解析函数的性质？（）A.解析函数的实部和虚部都满足拉普拉斯方程B.解析函数的导数也是解析函数C.解析函数的积分与路径无关D.解析函数的泰勒级数收敛于函数本身【答案】A、B、C、D【解析】这些都是解析函数的性质

三、填空题

1.设fz=z^2/z^2+1，则fz在z=1处的留数是______（4分）【答案】1/2【解析】留数等于负的分子在1处的值除以分母的导数

2.级数∑n=0to∞z^n的收敛半径是______（4分）【答案】1【解析】收敛半径R=1/limsup|an|^1/n=

13.设fz在|z|1内解析，且f0=1，则fz的泰勒级数展开式中z^2的系数是______（4分）【答案】1/3【解析】利用泰勒级数展开

4.积分∫|z|=1dz/z^2+1的值是______（4分）【答案】πi【解析】利用留数定理

5.函数fz=z/z^2+1在z=-1处的留数是______（4分）【答案】-1/2【解析】留数等于负的分子在-1处的值除以分母的导数

四、判断题

1.两个解析函数的和仍然是解析函数（）（2分）【答案】（√）【解析】解析函数的和仍然是解析函数

2.解析函数的积分与路径有关（）（2分）【答案】（×）【解析】解析函数的积分与路径无关

3.解析函数的泰勒级数在收敛圆内收敛于函数本身（）（2分）【答案】（√）【解析】解析函数的泰勒级数在收敛圆内收敛于函数本身

4.留数定理可以用于计算实数积分（）（2分）【答案】（√）【解析】留数定理可以用于计算实数积分

5.解析函数的实部和虚部都满足拉普拉斯方程（）（2分）【答案】（√）【解析】解析函数的实部和虚部都满足拉普拉斯方程

五、简答题

1.简述柯西积分定理的内容及其推论（5分）【答案】柯西积分定理的内容是如果函数fz在单连通区域D内解析，那么fz在D内沿任何一条闭曲线C的积分为0，即∫_Cfzdz=0其推论包括解析函数在闭曲线上的积分为0，解析函数的积分与路径无关，解析函数的导数可以由积分表示

2.简述留数定理的内容及其应用（5分）【答案】留数定理的内容是如果函数fz在单连通区域D内解析，在闭曲线C及其内部有孤立奇点，那么fz在C上的积分为2πi乘以所有孤立奇点的留数之和，即∫_Cfzdz=2πi∑Resf,a_k其应用包括计算实数积分和复数积分

3.简述解析函数的泰勒级数展开及其收敛性（5分）【答案】解析函数的泰勒级数展开是fz=∑n=0to∞a_nz-z_0^n，其中a_n=f^nz_0/n!泰勒级数在收敛圆内收敛于函数本身，在收敛圆外发散

六、分析题

1.设fz=1/z^2+1，计算∫|z|=2fzdz（10分）【答案】∫|z|=2fzdz=∫|z|=21/z^2+1dz在|z|=2内，fz有两个奇点z=±i，它们的留数分别为Resf,i=lim_z→iz-i/z^2+1=1/2iResf,-i=lim_z→-iz+i/z^2+1=-1/2i根据留数定理，∫|z|=2fzdz=2πiResf,i+Resf,-i=2πi1/2i-1/2i=

02.设fz=z/z^2+1，计算∫|z|=1fzdz（15分）【答案】∫|z|=1fzdz=∫|z|=1z/z^2+1dz在|z|=1内，fz有一个奇点z=i，它的留数为Resf,i=lim_z→iz-i/z^2+1=1/2i根据留数定理，∫|z|=1fzdz=2πiResf,i=2πi1/2i=π

七、综合应用题

1.设fz=z^2/z^2+1，计算∫|z|=2fzdz，并验证柯西积分定理（25分）【答案】∫|z|=2fzdz=∫|z|=2z^2/z^2+1dz在|z|=2内，fz有两个奇点z=±i，它们的留数分别为Resf,i=lim_z→iz-i/z^2+1=1/2iResf,-i=lim_z→-iz+i/z^2+1=-1/2i根据留数定理，∫|z|=2fzdz=2πiResf,i+Resf,-i=2πi1/2i-1/2i=0验证柯西积分定理由于fz在|z|2内解析，根据柯西积分定理，∫|z|=2fzdz=0，与留数定理的结果一致

2.设fz=1/z^2+1，计算∫|z|=3fzdz，并验证柯西积分定理（25分）【答案】∫|z|=3fzdz=∫|z|=31/z^2+1dz在|z|=3内，fz有两个奇点z=±i，它们的留数分别为Resf,i=lim_z→iz-i/z^2+1=1/2iResf,-i=lim_z→-iz+i/z^2+1=-1/2i根据留数定理，∫|z|=3fzdz=2πiResf,i+Resf,-i=2πi1/2i-1/2i=0验证柯西积分定理由于fz在|z|3内解析，根据柯西积分定理，∫|z|=3fzdz=0，与留数定理的结果一致---完整标准答案

一、单选题

1.A

2.C

3.B

4.A

5.B

6.B

7.A

8.B

9.B

10.A

二、多选题

1.A、D

2.A、B、C

3.A、B

4.C、D

5.A、B、C、D

三、填空题

1.1/

22.

13.1/

34.πi

5.-1/2

四、判断题

1.（√）

2.（×）

3.（√）

4.（√）

5.（√）

五、简答题

1.柯西积分定理的内容是如果函数fz在单连通区域D内解析，那么fz在D内沿任何一条闭曲线C的积分为0，即∫_Cfzdz=0其推论包括解析函数在闭曲线上的积分为0，解析函数的积分与路径无关，解析函数的导数可以由积分表示

2.留数定理的内容是如果函数fz在单连通区域D内解析，在闭曲线C及其内部有孤立奇点，那么fz在C上的积分为2πi乘以所有孤立奇点的留数之和，即∫_Cfzdz=2πi∑Resf,a_k其应用包括计算实数积分和复数积分

3.解析函数的泰勒级数展开是fz=∑n=0to∞a_nz-z_0^n，其中a_n=f^nz_0/n!泰勒级数在收敛圆内收敛于函数本身，在收敛圆外发散

六、分析题

1.设fz=1/z^2+1，计算∫|z|=2fzdz在|z|=2内，fz有两个奇点z=±i，它们的留数分别为Resf,i=1/2i和Resf,-i=-1/2i根据留数定理，∫|z|=2fzdz=2πiResf,i+Resf,-i=2πi1/2i-1/2i=

02.设fz=z/z^2+1，计算∫|z|=1fzdz在|z|=1内，fz有一个奇点z=i，它的留数为Resf,i=1/2i根据留数定理，∫|z|=1fzdz=2πiResf,i=2πi1/2i=π

七、综合应用题

1.设fz=z^2/z^2+1，计算∫|z|=2fzdz在|z|=2内，fz有两个奇点z=±i，它们的留数分别为Resf,i=1/2i和Resf,-i=-1/2i根据留数定理，∫|z|=2fzdz=2πiResf,i+Resf,-i=2πi1/2i-1/2i=0验证柯西积分定理由于fz在|z|2内解析，根据柯西积分定理，∫|z|=2fzdz=0，与留数定理的结果一致

2.设fz=1/z^2+1，计算∫|z|=3fzdz在|z|=3内，fz有两个奇点z=±i，它们的留数分别为Resf,i=1/2i和Resf,-i=-1/2i根据留数定理，∫|z|=3fzdz=2πiResf,i+Resf,-i=2πi1/2i-1/2i=0验证柯西积分定理由于fz在|z|3内解析，根据柯西积分定理，∫|z|=3fzdz=0，与留数定理的结果一致。