复变函数论进阶测试题及答案

复变函数论进阶测试题及答案

一、单选题（每题2分，共20分）

1.函数fz=e^z在z=0处的Laurent级数展开式中，负指数幂项的系数之和为（）（2分）A.1B.-1C.0D.2【答案】C【解析】fz=e^z在z=0处可展开为e^z=Σz^n/n!，没有负指数幂项，故系数之和为

02.极点与孤立奇点的区别在于（）（2分）A.极点的留数必为0B.孤立奇点可以是可去奇点C.极点的邻域内函数值趋于无穷D.孤立奇点必有Laurent级数展开【答案】C【解析】极点的邻域内函数值趋于无穷，而可去奇点函数值可以有限

3.积分∫∞^-∞1/x^2dx的值为（）（2分）A.1B.-1C.∞D.不存在【答案】D【解析】积分发散，因为x=0处有奇点

4.函数fz=1/z^2+1在z=i处的留数为（）（2分）A.1/2iB.-1/2iC.2iD.-2i【答案】B【解析】留数Resf,i=limz→iz-ifz=limz→iz-i1/z^2+1=limz→i1/2z=-1/2i

5.若函数fz在区域D内解析且不恒为常数，则根据莫雷拉定理，fz在D内恒等于常数的充要条件是（）（2分）A.∮_Γfzdz=0，Γ为D内任意闭曲线B.fz在D内连续C.fz在D内可导D.fz在D内为调和函数【答案】A【解析】莫雷拉定理表明，若fz在单连通区域D内解析且积分沿D内任意闭曲线为零，则fz为常数

6.函数fz=z/z-1在z=1处的留数为（）（2分）A.1B.-1C.0D.1/2【答案】A【解析】留数Resf,1=limz→1z-1fz=limz→1z=

17.若函数fz在z=z_0处解析，则fz在z=z_0处必有（）（2分）A.极点B.孤立奇点C.可去奇点D.瑞利-希尔伯特积分【答案】B【解析】解析点的邻域内函数解析，故为孤立奇点

8.函数fz=sinz/z在z=0处的留数为（）（2分）A.0B.1C.-1D.πi【答案】A【解析】fz=sinz/z=z-z^3/3!+z^5/5!-.../z=1-z^2/3!+z^4/5!-...，z=0处导数展开无z^-1项，故留数为

09.若函数fz在区域D内解析且fz不为常数，则根据刘维尔定理，fz在D内（）（2分）A.必有极点B.必有零点C.必有孤立奇点D.必为常数【答案】D【解析】刘维尔定理表明整个复平面内的有界全纯函数必为常数

10.函数fz=z^2/z^2+1在z=i处的留数为（）（2分）A.1/2B.-1/2C.1D.-1【答案】B【解析】留数Resf,i=limz→iz-ifz=limz→iz-iz^2/z^2+1=limz→iz^2/2z=-1/2

二、多选题（每题4分，共20分）

1.下列命题中正确的有（）（4分）A.解析函数的实部与虚部均为调和函数B.若函数在区域D内解析且不恒为常数，则D内任意闭曲线上的积分为0C.留数为0的孤立奇点必为可去奇点D.解析函数在区域内的值完全由其在边界上的值决定【答案】A、C【解析】A正确，实部虚部满足Cauchy-Riemann方程；C正确，留数为0即无z^-1项；B错误，积分非零除非函数为常数；D错误，需要补充边界值与边界点距离的关系

2.下列函数中在z=0处为孤立奇点的有（）（4分）A.fz=sinz/zB.fz=1/zC.fz=z/z^2+1D.fz=exp1/z【答案】A、B、D【解析】A在z=0处可去奇点；B在z=0处极点；C在z=0处解析；D在z=0处本性奇点

3.关于解析函数的结论正确的有（）（4分）A.解析函数的导函数仍为解析函数B.解析函数的积分沿闭曲线为零C.解析函数的实部与虚部满足Cauchy-Riemann方程D.解析函数在区域内值由边界值唯一确定【答案】A、B、C【解析】A正确，解析函数的导数仍解析；B正确，Cauchy积分定理；C正确，Cauchy-Riemann方程；D错误，需要补充边界条件

4.下列命题正确的有（）（4分）A.解析函数的泰勒级数在收敛圆内任意次可导B.解析函数的积分沿闭曲线为零C.解析函数的实部与虚部均为调和函数D.解析函数在区域内值由边界值唯一确定【答案】A、B、C【解析】A正确，泰勒级数收敛圆内任意次可导；B正确，Cauchy积分定理；C正确，实部虚部满足Cauchy-Riemann方程；D错误，需要补充边界条件

5.下列函数在z=0处为可去奇点的有（）（4分）A.fz=sinz/zB.fz=exp1/zC.fz=z/z^2+1D.fz=1/z^2【答案】A、C【解析】A在z=0处极限为1，可去奇点；B在z=0处本性奇点；C在z=0处极限为0，可去奇点；D在z=0处极点

三、填空题（每题4分，共16分）

1.函数fz=1/z^2+1在z=i处的留数为______（4分）【答案】-1/2i

2.若函数fz在区域D内解析且不恒为常数，则根据______定理，fz在D内恒等于常数的充要条件是∮_Γfzdz=0，Γ为D内任意闭曲线（4分）【答案】莫雷拉

3.函数fz=z/z-1在z=1处的留数为______（4分）【答案】

14.函数fz=sinz/z在z=0处的留数为______（4分）【答案】0

四、判断题（每题2分，共10分）

1.两个解析函数的和仍为解析函数（）（2分）【答案】（√）【解析】解析函数的加法仍满足Cauchy-Riemann方程，故仍解析

2.解析函数的积分沿闭曲线为零（）（2分）【答案】（√）【解析】根据Cauchy积分定理，解析函数在单连通区域内的积分沿闭曲线为零

3.解析函数的实部与虚部均为调和函数（）（2分）【答案】（√）【解析】解析函数的实部虚部满足Cauchy-Riemann方程，故均为调和函数

4.解析函数在区域内值由边界值唯一确定（）（2分）【答案】（×）【解析】需要补充边界条件与边界点距离的关系，如柯西积分公式

5.解析函数的泰勒级数在收敛圆内任意次可导（）（2分）【答案】（√）【解析】泰勒级数在收敛圆内收敛于解析函数，故任意次可导

五、简答题（每题4分，共20分）

1.简述解析函数与调和函数的关系（4分）【答案】解析函数的实部与虚部均为调和函数，且满足Cauchy-Riemann方程反之，调和函数的梯度若满足Cauchy-Riemann方程，则其实部与虚部的复合函数为解析函数

2.简述留数的定义及其物理意义（4分）【答案】留数是函数在孤立奇点处Laurent级数展开式中z^-1项的系数物理意义在于描述函数在奇点处的绕行效应，如电路中的阻抗

3.简述柯西积分公式及其应用（4分）【答案】柯西积分公式表明，解析函数在区域内的值可由其在边界上的值通过积分表示fa=1/2πi∮_Γfz/z-adz应用包括计算解析函数的值和导数

4.简述极点与本性奇点的区别（4分）【答案】极点是有界阶的奇点，邻域内函数值趋于无穷但可表示为Laurent级数有限项本性奇点邻域内函数值呈现所有可能行为，Laurent级数有无限项z^-n

5.简述莫雷拉定理及其应用（4分）【答案】莫雷拉定理表明，若解析函数在单连通区域内的积分沿任意闭曲线为零，则函数必为常数应用包括证明函数恒等和解析延拓

六、分析题（每题10分，共20分）

1.分析函数fz=z^2/z^2+1在z=i和z=-i处的奇点类型，并计算其留数（10分）【答案】在z=i处，fz=z^2/z^2+1=z^2/z-iz+i，为一级极点留数Resf,i=limz→iz-ifz=limz→iz^2/z+i=i^2/2i=-1/2在z=-i处，fz=z^2/z^2+1=z^2/z+iz-i，为一级极点留数Resf,-i=limz→-iz+ifz=limz→-iz^2/z-i=-i^2/-2i=-1/

22.分析函数fz=exp1/z在z=0处的奇点类型，并说明其性质（10分）【答案】z=0处为本性奇点Laurent级数展开为exp1/z=1+1/z+z^-2/2!+z^-3/3!+...，包含无限项负指数幂本性奇点的邻域内函数呈现所有可能行为，无法表示为有限项Laurent级数

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.设函数fz=z^2+1/z^3-1，求其在z=1处的留数，并说明其物理意义（25分）【答案】fz=z^2+1/z^3-1=z^2+1/z-1z^2+z+1z=1处为一级极点留数Resf,1=limz→1z-1fz=limz→1z^2+1/z^2+z+1=2/3物理意义表示在z=1处函数的跳跃效应，如电路中的阻抗突变

2.设函数fz在区域D内解析，且满足∮_Γfz/z-adz=πi，其中Γ为D内绕a的闭曲线证明fa=1（25分）【答案】根据柯西积分公式，fa=1/2πi∮_Γfz/z-adz由题意∮_Γfz/z-adz=πi，代入得fa=1/2πi·πi=1证明完成。