复杂智力高难度题目与参考答案

复杂智力高难度题目与参考答案

一、单选题

1.在复变函数论中，函数fz=ez/z-1在z=1处的留数是（）（2分）A.1B.eC.0D.-e【答案】B【解析】根据留数定义，fz=e/z-1+e，故z=1处留数为e

2.设空间曲线L由参数方程x=t^2，y=t^3，z=t^4给出，则曲线在点1,1,1处的切线方向向量为（）（2分）A.1,1,1B.2,3,4C.1,2,3D.0,0,1【答案】B【解析】切向量rt=2t,3t^2,4t^3，在t=1时为2,3,

43.在概率论中，设随机变量X和Y相互独立，且X~N0,1，Y~N1,2，则随机变量Z=2X-Y的分布为（）（2分）A.N0,1B.N1,1C.N-1,5D.N-1,9【答案】C【解析】EZ=2EX-EY=0-1=-1，VarZ=4VarX+VarY=4+2=6，故Z~N-1,

64.在偏微分方程中，方程x^2y-xy-y=0的通解为（）（2分）A.y=C1x+C2xlnxB.y=C1x^2+C2x^-1C.y=C1e^x+C2e^-xD.y=C1x+C2x^-2【答案】A【解析】特征方程x^2r^2-xr-1=0的根为r=1和r=-1/x，故通解为xC1+C2lnx

5.在拓扑学中，设X是连通空间，A是X的闭子集且A≠∅，若X-A不连通，则称A是X的（）（2分）A.极限点B.聚点C.连通分支D.连通集【答案】B【解析】根据连通集分离定理，A是聚点当且仅当X-A不连通

6.在群论中，设G是有限群，|G|=n，若对于任意g∈G有g^n=e，则G中元素的阶的最大值为（）（2分）A.nB.n-1C.n/2D.φn【答案】D【解析】根据Cauchy定理，G中元素阶为n的因数，最大为欧拉函数φn

7.在实分析中，函数fx=|x|在x=0处不可导，但可以（）（2分）A.连续B.可微C.可积D.一致连续【答案】C【解析】|x|在x=0处右连续且左连续，故黎曼可积

8.在数论中，设p是素数，则p-1!+1不一定能被p整除的充分条件是（）（2分）A.p=5B.p=7C.p=11D.p=13【答案】D【解析】Wilson定理仅对p-1整除p-1!+1成立，当p=13时，12!+1不被13整除

9.在组合数学中，n个元素的排列中，不含相邻元素排列的数目为（）（2分）A.Cn,2B.An,2C.Cn,n-2D.An,n-2【答案】D【解析】用错位排列Dn公式，An,n-2=n!/n-2!2!

10.在图论中，设G是n阶无向连通图，则G中边的最小数目为（）（2分）A.n-1B.nC.n+1D.2n【答案】A【解析】树是最小连通图，边数为n-1

二、多选题（每题4分，共20分）

1.下列命题中正确的是？（）（4分）A.实数域上的连续函数必有界B.可导函数的极值点必是驻点C.收敛数列必有界D.连续函数在闭区间上必有最值E.可导函数的驻点必是极值点【答案】C、D【解析】A错，如fx=x在R无界；B对；E错，如fx=x^3在x=0有驻点但非极值

2.在矩阵理论中，下列说法正确的有？（）（4分）A.相似矩阵有相同的特征值B.正定矩阵的特征值都大于0C.可逆矩阵的秩等于其阶数D.实对称矩阵一定可对角化E.零矩阵的特征值为0【答案】A、B、C、D、E【解析】均为矩阵理论基本性质

3.在抽象代数中，下列结构中具有运算单位元的有？（）（4分）A.整数加法群B.非零有理数乘法群C.全体n阶实可逆矩阵D.空集的集合运算E.全体正整数减法群【答案】A、B、C【解析】E无单位元，D无运算

4.在微分方程中，下列方程是线性微分方程的有？（）（4分）A.y+y=xB.y+y^2=0C.yx+2xy=xD.y=x^2E.y+y=sinx【答案】A、C、E【解析】B非线性，D不显含y

5.在概率分布中，下列分布属于连续型分布的有？（）（4分）A.二项分布B.泊松分布C.正态分布D.均匀分布E.几何分布【答案】C、D【答案】C、D【解析】A、B离散型，E离散型

三、填空题（每题4分，共24分）

1.函数fx=arctan2x/1-x^2的导数为______（4分）【答案】2/1+x^2【解析】用链式法则，d/dxarctanu=u/1+u^2，u=21-x^2/1-x^2^2=2/1+x^

22.级数∑n=1→∞1/n+1lnn+1的敛散性为______（4分）【答案】发散【解析】用Cauchy判别法，1/n+1lnn+1≥1/n+1^2lnn+1～1/n^3lnn发散

3.在n阶行列式中，若某行元素全为0，则该行列式的值为______（4分）【答案】0【解析】行列式某行全0时，交换该行与任意非0行，行列式值不变，但若交换为全0行则为

04.设A是3阶矩阵，|A|=2，则|3A|的值为______（4分）【答案】54【解析】|kA|=k^n|A|，故|3A|=3^3|A|=27×2=

545.在复平面中，映射w=1/z将点z=1映射到______（4分）【答案】1【解析】1/z=1/1=

16.设A是可逆矩阵，则A^的逆矩阵为______（4分）【答案】A^^-1=A^-1^【解析】A^^-1=A^-1^=（A^-1）^

四、判断题（每题2分，共10分）

1.若函数fx在[a,b]上连续，则fx在a,b上必有零点（）（2分）【答案】（×）【解析】如fx=x在[0,1]上连续但无零点

2.若向量组α1,α2,α3线性无关，则α1+α2,α2+α3,α3+α1也线性无关（）（2分）【答案】（×）【解析】如α1=1,0，α2=0,1，α3=-1,-1，则三组向量均线性相关

3.若A是实对称矩阵，则|A|0的充要条件是A正定（）（2分）【答案】（×）【解析】|A|0仅说明A可逆，不保证正定

4.若级数∑a_n收敛，则级数∑|a_n|也收敛（）（2分）【答案】（×）【解析】如a_n=-1^n/n，绝对值级数发散

5.若群G是有限群，则G中必有元素阶等于|G|（）（2分）【答案】（×）【解析】如Z6元素阶最大为3

五、简答题（每题5分，共15分）

1.证明若A是n阶实可逆矩阵，则A^也是可逆的（5分）【解析】因为A是可逆的，所以存在A^-1使得AA^-1=I两边取共轭转置，得A^A^-1^=I，即A^是可逆的，且A^^-1=A^-1^

2.简述函数fx=x^2lnx在x=0处连续性的证明过程（5分）【解析】先定义f0=0，然后证明极限limx→0+x^2lnx=0用LHopital法则limx→0+x^2lnx=limx→0+2xlnx/1/x=limx→0+-2x^2/x=-2limx→0+x=0，故fx在x=0处连续

3.解释什么是零点分离定理及其在方程理论中的作用（5分）【解析】定理若函数fx在[a,b]上连续，且fafb0，则存在c∈a,b使得fc=0作用保证连续函数在变号区间必有零点，是根存在性定理的基础

六、分析题（每题12分，共24分）

1.设函数fx在[a,b]上连续，证明存在c∈a,b使得fc=∫[a,b]ftdt/b-a（12分）【解析】令Fx=∫[a,x]ftdt，则Fa=0，Fb=∫[a,b]ftdt由平均值定理，存在c∈a,b使得Fc=Fb-Fa/b-a=fc，即fc=∫[a,b]ftdt/b-a

2.分析函数fx=x^2e^-x^2在R上的凹凸性及拐点（12分）【解析】fx=4x^2e^-x^2-4xe^-x^2=4xe^-x^2x-1x+1令fx=0得x=-1,0,1当x-1或x1时fx0，fx凹；当-1x1时fx0，fx凸拐点为-1,1/e；0,0；1,1/e

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.设A是3阶实对称正定矩阵，证明存在正交矩阵P使得P^TAP=diagλ1,λ2,λ3，其中λi是A的特征值（25分）【解析】

①A是对称矩阵，故必可对角化，即存在可逆矩阵Q使得Q^TAQ=diagμ1,μ2,μ3

②A正定，故μi0，令D=diag√μ1,√μ2,√μ3，则D是正定矩阵

③令P=Q^TD^-1，则P是正交矩阵，且P^TAP=D^-1^TQ^TAQD^-1=diagμ1/μ1,μ2/μ2,μ3/μ3=diag1,1,1=I

④矛盾修正实际上应P^TAP=D^-1Q^TAQD^-1=diag1,1,1错误，正确为P^TAP=D^-1Q^TAQD^-1=diagμ1,μ2,μ3=diagλ1,λ2,λ

32.设随机变量X和Y相互独立，且X~Nμ1,σ1^2，Y~Nμ2,σ2^2，证明Z=X+Y~Nμ1+μ2,σ1^2+σ2^2（25分）【解析】

①EZ=EX+Y=EX+EY=μ1+μ2

②VarZ=VarX+Y=VarX+VarY=σ1^2+σ2^2（因独立）

③由正态分布可加性，若X,Y独立且正态，则X+Y仍正态

④特征函数φ_Zt=Ee^itZ=Ee^itXEe^itY=φ_Xtφ_Yt=e^iμ1texp-σ1^2t^2/2e^iμ2texp-σ2^2t^2/2=e^iμ1+μ2texp-σ1^2+σ2^2t^2/2，

⑤由特征函数唯一性，Z~Nμ1+μ2,σ1^2+σ2^2---标准答案

一、单选题

1.B

2.B

3.C

4.A

5.B

6.D

7.C

8.D

9.D

10.A

二、多选题

1.C、D

2.A、B、C、D、E

3.A、B、C

4.A、C、E

5.C、D

三、填空题

1.2/1+x^

22.发散

3.

04.

545.

16.A^^-1=A^-1^

四、判断题

1.（×）

2.（×）

3.（×）

4.（×）

5.（×）

五、简答题

1.证明因A可逆，存在A^-1使AA^-1=I两边取共轭转置得A^A^-1^=I，即A^有逆矩阵A^-1^，故A^可逆

2.简述先定义f0=0用LHopital法则求极限limx→0+x^2lnx=limx→0+2xlnx/1/x=limx→0+-2x^2/x=-2limx→0+x=0，故fx在x=0处连续

3.解释零点分离定理保证连续函数在变号区间必有零点如fx在[a,b]上连续且fafb0，则存在c∈a,b使fc=0这是方程求根的理论基础

六、分析题

1.证明令Fx=∫[a,x]ftdt，则Fa=0，Fb=∫[a,b]ftdt由平均值定理，存在c∈a,b使Fc=Fb-Fa/b-a=fc，即fc=∫[a,b]ftdt/b-a

2.分析fx=4x^2e^-x^2-4xe^-x^2=4xe^-x^2x-1x+1令fx=0得x=-1,0,1当x-1或x1时fx0，fx凹；当-1x1时fx0，fx凸拐点为-1,1/e；0,0；1,1/e

七、综合应用题

1.证明

①A对称，存在Q使Q^TAQ=diagμ1,μ2,μ3

②A正定，μi0令D=diag√μ1,√μ2,√μ3，则D正定

③令P=Q^TD^-1，则P正交，且P^TAP=D^-1^TQ^TAQD^-1=diagμ1/μ1,μ2/μ2,μ3/μ3=diag1,1,1=I

④矛盾修正实际上P^TAP=D^-1Q^TAQD^-1=diagμ1,μ2,μ3=diagλ1,λ2,λ

32.证明

①EZ=EX+Y=EX+EY=μ1+μ2

②VarZ=VarX+Y=VarX+VarY=σ1^2+σ2^2（因独立）

③由正态分布可加性，若X,Y独立且正态，则X+Y仍正态

④特征函数φ_Zt=Ee^itZ=Ee^itXEe^itY=φ_Xtφ_Yt=e^iμ1texp-σ1^2t^2/2e^iμ2texp-σ2^2t^2/2=e^iμ1+μ2texp-σ1^2+σ2^2t^2/2

⑤由特征函数唯一性，Z~Nμ1+μ2,σ1^2+σ2^2。