天河区数学面试常见题及答案

天河区数学面试常见题及答案

一、单选题（每题2分，共20分）

1.下列图形中，不是中心对称图形的是（）A.等腰三角形B.正方形C.矩形D.圆【答案】A【解析】等腰三角形不是中心对称图形

2.若函数fx=ax+b的反函数是f-1x=bx+a，则a，b的值分别为（）A.a=1，b=1B.a=-1，b=1C.a=1，b=-1D.a=-1，b=-1【答案】C【解析】由fx=ax+b得y=ax+b，则x=y-b/a，即f-1x=x-b/a，由f-1x=bx+a得a=b，b=-a，所以a=1，b=-

13.在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE//BC，若AD=2，DB=4，则AE:EC的值为（）A.1:2B.2:1C.1:3D.3:1【答案】B【解析】由DE//BC得AD/DB=AE/EC，即2/4=AE/EC，所以AE:EC=2:

14.已知实数x满足x^2-3x+2=0，则x^2+1/x的值为（）A.3B.4C.5D.6【答案】C【解析】由x^2-3x+2=0得x-1x-2=0，所以x=1或x=2当x=1时，x^2+1/x=1+1=2；当x=2时，x^2+1/x=4+1/2=

4.5所以不存在实数x满足x^2-3x+2=0时，x^2+1/x的值为

55.下列命题中，正确的是（）A.若ab，则√a√bB.若a^2b^2，则abC.若ab，则1/a1/bD.若ab，则|a||b|【答案】C【解析】反例a=2，b=-1，则ab但1/a=1/21/-1=-1=b

6.在直角坐标系中，点A1,2关于原点对称的点的坐标是（）A.1,-2B.-1,2C.-1,-2D.2,1【答案】C【解析】点x,y关于原点对称的点的坐标是-x,-y，所以点A1,2关于原点对称的点的坐标是-1,-

27.若方程x^2+px+q=0的两根之差的平方为4，则p^2-4q的值为（）A.4B.8C.16D.无法确定【答案】A【解析】设方程的两根为x

1、x2，则x1-x2^2=x1+x2^2-4x1x2=p^2-4q，由题意得p^2-4q=

48.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a=3，b=4，c=5，则角C的大小为（）A.30°B.45°C.60°D.90°【答案】D【解析】由a^2+b^2=c^2得3^2+4^2=5^2，所以△ABC是直角三角形，直角在角C处

9.函数y=sinx+π/6的图像关于哪个点对称？（）A.0,0B.π/6,0C.π/3,0D.π/2,0【答案】C【解析】函数y=sinx+π/6的图像关于点π/3,0对称

10.若集合A={x|x^2-3x+2=0}，B={x|x=2k+1，k∈Z}，则集合A∩B为（）A.{1}B.{2}C.{-1}D.{0}【答案】A【解析】由x^2-3x+2=0得x=1或x=2，所以A={1,2}由x=2k+1得x为奇数，所以B为所有奇数组成的集合所以A∩B={1}

二、多选题（每题4分，共20分）

1.以下哪些命题是真命题？（）A.若ab，则a^2b^2B.若ab，则a+cb+cC.若ab，则a-cb-cD.若ab，则1/a1/b【答案】B、C【解析】A错误，反例a=1，b=-2；D错误，反例a=2，b=

12.以下函数中，在定义域内是增函数的有（）A.y=x^2B.y=2x+1C.y=1/xD.y=sinx【答案】B、D【解析】y=x^2在0,+∞增，在-∞,0减；y=1/x在-∞,0减，在0,+∞减；y=sinx在[2kπ-π/2,2kπ+π/2]增

3.以下图形中，是轴对称图形的有（）A.等腰三角形B.平行四边形C.矩形D.圆【答案】A、C、D【解析】平行四边形不是轴对称图形

4.以下不等式正确的有（）A.a^2≥0B.a^2+b^2≥2abC.a^2+b^2≤2abD.|a|≥0【答案】A、B、D【解析】C错误，反例a=1，b=

25.以下函数中，是奇函数的有（）A.y=x^3B.y=1/xC.y=2x+1D.y=sinx【答案】A、B、D【解析】y=2x+1是偶函数

三、填空题（每题4分，共20分）

1.若方程x^2-mx+9=0的一个根为3，则m的值为______【答案】6【解析】由3是方程的根得3^2-3m+9=0，解得m=

62.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a=2，b=3，cosC=1/2，则c的值为______【答案】√13【解析】由cosC=1/2得C=60°，由余弦定理得c^2=a^2+b^2-2abcosC=2^2+3^2-2×2×3×1/2=13，所以c=√

133.函数y=2cos2x-π/3的最小正周期为______【答案】π【解析】函数y=Asinωx+φ或y=Acosωx+φ的最小正周期为T=2π/|ω|，所以y=2cos2x-π/3的最小正周期为T=2π/2=π

4.若集合A={x|1≤x≤3}，B={x|x2}，则A∪B=______【答案】{x|1≤x}【解析】A∪B为所有属于A或属于B的元素组成的集合，所以A∪B={x|1≤x}

5.若直线l过点1,2，且与直线y=3x-1垂直，则直线l的方程为______【答案】x+y-3=0【解析】直线y=3x-1的斜率为3，所以与之垂直的直线的斜率为-1/3，所以直线l的方程为y-2=-1/3x-1，即x+y-3=0

四、判断题（每题2分，共10分）

1.若ab，则a^2b^2（）【答案】（×）【解析】反例a=1，b=-2，则ab但a^2=1b^2=

42.若x^2=1，则x=1（）【答案】（×）【解析】由x^2=1得x=±

13.若函数y=fx在区间I上单调递增，则y=fx在区间I上无最小值（）【答案】（×）【解析】若函数y=fx在区间I上单调递增，则y=fx在区间I上必有最小值，即fx的最小值为fx_min，其中x_min是区间I的最小值

4.若ab，则√a√b（）【答案】（×）【解析】反例a=4，b=-1，则ab但√a=2√b不存在

5.若方程x^2-px+q=0有两个不相等的实根，则p^2-4q0（）【答案】（√）【解析】由判别式得Δ=p^2-4q，若方程有两个不相等的实根，则Δ0，即p^2-4q0

五、简答题（每题5分，共15分）

1.已知函数fx=x^2-2x+3，求函数fx的最小值【答案】2【解析】fx=x^2-2x+3=x-1^2+2，所以当x=1时，fx取得最小值

22.已知集合A={x|x^2-x-6=0}，B={x|x=3k+1，k∈Z}，求A∩B【答案】{3}【解析】由x^2-x-6=0得x=3或x=-2，所以A={3,-2}由x=3k+1得x为形如3k+1的数，即x=...,-5,-2,1,4,...所以A∩B={3}

3.已知直线l1过点1,2，直线l2过点3,0，且l1∥l2，求直线l1的方程【答案】y-2=1/2x-1【解析】l1∥l2，所以l1和l2的斜率相等l2过点3,0和1,2，斜率为2-0/1-3=-1/2，所以l1的斜率也为-1/2所以l1的方程为y-2=-1/2x-1，即y-2=1/2x-1

六、分析题（每题10分，共20分）

1.已知函数fx=|x-1|+|x+2|，求函数fx的最小值，并说明理由【答案】3【解析】函数fx=|x-1|+|x+2|的图像是折线，在x=-2和x=1处折点在-∞,-2]上，fx=-x-1-x+2=-2x-1；在[-2,1]上，fx=-x-1+x+2=3；在[1,+∞上，fx=x-1+x+2=2x+1所以fx的最小值为3，当x∈[-2,1]时取得

2.已知△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a=2，b=√7，c=3，求cosB【答案】1/2【解析】由余弦定理得cosB=a^2+c^2-b^2/2ac=2^2+3^2-√7^2/2×2×3=4+9-7/12=6/12=1/2

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.某工厂生产一种产品，固定成本为10000元，每生产一件产品，可变成本增加2元，售价为10元/件若工厂每月至少要生产多少件产品才能保本？【答案】2500件【解析】设每月生产x件产品，则总收入为10x元，总成本为10000+2x元保本条件是总收入等于总成本，即10x=10000+2x，解得x=10000/8=1250所以工厂每月至少要生产1250件产品才能保本

2.已知函数fx=sin2x-π/4+√3cos2x-π/4，求函数fx的最大值和最小正周期【答案】2，π【解析】fx=sin2x-π/4+√3cos2x-π/4=2sin2x-π/4+π/3=2sin2x+π/12所以函数fx的最大值为2，最小正周期为T=2π/|ω|=2π/2=π。