奎屯市数学抽考创新试题及答案

奎屯市数学抽考创新试题及答案

一、单选题（每题2分，共20分）

1.下列函数中，在其定义域内是增函数的是（）（2分）A.y=2x+1B.y=-3x+2C.y=x²D.y=1/x【答案】A【解析】一次函数y=2x+1的斜率为正，故为增函数

2.若集合A={1,2,3}，B={2,3,4}，则A∩B等于（）（2分）A.{1,2}B.{3,4}C.{1,3}D.{2,3}【答案】D【解析】A和B的交集是两个集合都含有的元素，即{2,3}

3.函数fx=√x-1的定义域是（）（2分）A.-∞,1B.[1,+∞C.1,+∞D.-∞,+∞【答案】C【解析】根号下的表达式必须非负，故x-1≥0，解得x≥

14.等差数列{a_n}中，a₁=5，d=3，则a₅等于（）（2分）A.11B.13C.15D.17【答案】D【解析】a₅=a₁+4d=5+4×3=

175.三角形ABC中，若∠A=45°，∠B=60°，则∠C等于（）（2分）A.75°B.105°C.120°D.135°【答案】B【解析】三角形内角和为180°，∠C=180°-45°-60°=75°

6.抛物线y²=4x的焦点坐标是（）（2分）A.1,0B.2,0C.0,1D.0,2【答案】A【解析】标准形式y²=4px中，p=1，焦点为1,

07.若sinα=1/2，α在第二象限，则cosα等于（）（2分）A.√3/2B.-√3/2C.1/2D.-1/2【答案】B【解析】sin²α+cos²α=1，cosα=-√1-sin²α=-√1-1/2²=-√3/

28.计算limx→2x²-4/x-2等于（）（2分）A.0B.2C.4D.不存在【答案】C【解析】分子分解因式x²-4=x-2x+2，约分得x+2，极限为2+2=

49.下列命题中，正确的是（）（2分）A.空集是任何集合的子集B.任何集合都有补集C.交集运算满足交换律D.并集运算不满足结合律【答案】A【解析】空集是任何集合的子集是集合论基本定理

10.若方程x²-px+q=0的两根之比为2:3，则p²/q等于（）（2分）A.4/9B.9/4C.5/6D.6/5【答案】B【解析】设两根为2k,3k，则-2k-3k=p，6k²=q，p²/q=2k+3k²/6k²=9/4

二、多选题（每题4分，共20分）

1.以下命题中，正确的有（）（4分）A.垂直于同一直线的两条直线平行B.同位角相等C.平行于同一直线的两条直线平行D.三角形两边之和大于第三边E.对顶角相等【答案】C、D、E【解析】A错误，垂直于同一直线的两直线平行；B错误，同位角相等是平行线的性质

2.关于函数fx=ax²+bx+c，以下说法正确的有（）（4分）A.若a0，则函数有最小值B.抛物线对称轴为x=-b/2aC.函数图像必过点0,cD.若b=0，则函数为奇函数E.函数一定有零点【答案】A、B、C【解析】D错误，b=0时若c≠0非奇函数；E错误，如fx=x²+1无零点

3.以下图形中，是中心对称图形的有（）（4分）A.等边三角形B.矩形C.正方形D.圆E.平行四边形【答案】B、C、D、E【解析】等边三角形不是中心对称图形

4.关于数列{a_n}，以下说法正确的有（）（4分）A.等差数列的通项公式为a_n=a₁+n-1dB.等差数列前n项和为S_n=na₁+a_n/2C.等比数列的通项公式为a_n=a₁q^n-1D.等比数列前n项和为S_n=a₁1-qⁿ/1-qE.所有数列都有通项公式【答案】A、B、C、D【解析】E错误，如斐波那契数列没有通项公式

5.关于三角函数，以下说法正确的有（）（4分）A.sinα+β=sinαcosβ+cosαsinβB.cosα-β=cosαcosβ+sinαsinβC.tanα+β=tanα+tanβ/1-tanαtanβD.sin²α+cos²α=1E.若α是锐角，则sinαcosα【答案】A、C、D【解析】B错误，应为cosα-β=cosαcosβ-sinαsinβ；E错误，如α=45°时sinα=cosα

三、填空题（每题4分，共20分）

1.函数fx=|x-1|+|x+2|的最小值是______（4分）【答案】3【解析】分段函数fx={x+3,x-2;3,-2≤x≤1;-x+1,x1}，最小值为

32.在△ABC中，若a=3，b=4，c=5，则cosB=______（4分）【答案】3/5【解析】由余弦定理cosB=a²+c²-b²/2ac=3²+5²-4²/2×3×5=3/

53.若方程x²-2x+k=0有实根，则k的取值范围是______（4分）【答案】k≤1【解析】判别式Δ=4-4k≥0，解得k≤

14.等比数列{a_n}中，a₂=6，a₅=162，则公比q=______（4分）【答案】3【解析】a₅=a₂q³，162=6q³，解得q=

35.计算∫[0,1]x²dx=______（4分）【答案】1/3【解析】∫x²dx=x³/3，[0,1]区间上积分为1/3-0=1/3

四、判断题（每题2分，共10分）

1.若|a||b|，则a²b²（）（2分）【答案】（×）【解析】如a=-3，b=2，|a|=3|b|=2，但a²=9b²=

42.函数y=1/x是奇函数（）（2分）【答案】（√）【解析】f-x=1/-x=-1/x=-fx，满足奇函数定义

3.三角形的三条中线相交于一点，该点被称为三角形的重心（）（2分）【答案】（√）【解析】重心是三角形三条中线的交点

4.若ab，则a²b²（）（2分）【答案】（×）【解析】如a=1，b=-2，ab但a²=1b²=

45.对任意实数x，sin²x+cos²x=1恒成立（）（2分）【答案】（√）【解析】这是三角函数的基本恒等式

五、简答题（每题5分，共15分）

1.证明等腰三角形的底角相等（5分）【证明】设△ABC中AB=AC，作底边BC的中垂线DE交BC于D，则AD⊥BC在△ABD和△ACD中，AB=AC，AD=AD，BD=CD，故△ABD≌△ACD（SAS），从而∠B=∠C，即等腰三角形的底角相等

2.求函数fx=x³-3x+1的极值（5分）【解】fx=3x²-3=3x+1x-1，令fx=0得x=-1或x=1当x∈-∞,-1时，fx0，函数递增；当x∈-1,1时，fx0，函数递减；当x∈1,+∞时，fx0，函数递增故f-1=-1³-3-1+1=3为极大值，f1=1³-31+1=-1为极小值

3.解不等式|x-2|3（5分）【解】由|x-a|b得xa+b或xa-b，故x-23或x-2-3，解得x5或x-1

六、分析题（每题10分，共20分）

1.已知函数fx=√x²+1-ax在x=1处取得极值，求a的值并判断极值类型（10分）【解】fx=x/√x²+1-a，由题意f1=1/√2-a=0，解得a=√2/2fx=[x²+1^1/2-x²/x²+1^1/2]/x=1-x²/x²+1^3/2，f1=1-1/2√2^3/2=0，fx=[x²+1^1/2-3x²x²+1^-3/2]/x，f1=[2√2-3×2/2√2^3/2]=√20，故fx在x=1处取得极小值，a=√2/

22.设数列{a_n}的前n项和为S_n=2n²-3n+1，求通项公式a_n（10分）【解】当n=1时，a₁=S₁=0；当n≥2时，a_n=S_n-S_{n-1}=2n²-3n+1-2n-1²-3n-1+1=4n-5，故a_n={0,n=1;4n-5,n≥2}

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.某工程队计划修建一条长L米的公路，第一天完成a米，之后每天比前一天多完成2米，

（1）求第n天完成的米数；

（2）求n天后共完成的米数；

（3）若L=1000米，a=10米，求完成工程所需天数（25分）【解】

（1）第n天完成的米数为a+n-1×2=10+2n-1=2n+8；

（2）前n天完成的米数为S_n=na+n-1n/2×2=10n+nn-1=n²+9n；

（3）令n²+9n=1000，解得n≈

30.1，故需31天完成

2.已知A1,2，B3,0，C-1,-2，求△ABC的面积（25分）【解】向量AB=2,-2，向量AC=-2,-4，则S_△ABC=1/2|AB×AC|=1/2|2×-4--2×-2|=1/2|-8-4|=6。