宁波八校联考数学试卷及答案深度剖析

宁波八校联考数学试卷及答案深度剖析

一、单选题（每题2分，共20分）

1.已知集合A={x|x^2-3x+2=0}，B={x|x^2-mx+2=0}，若B⊆A，则实数m的取值集合为（）（2分）A.{1}B.{2}C.{1,2}D.{0,1,2}【答案】C【解析】集合A={1,2}，当B=∅时，Δ=m^2-8＜0，解得-2＜m＜2；当B≠∅时，B={1}或B={2}，分别解得m=2或m=1综上，m∈{1,2}，故选C

2.函数fx=|x-1|+|x+2|的最小值为（）（2分）A.1B.3C.0D.2【答案】B【解析】fx=|x-1|+|x+2|表示数轴上点x到点1和点-2的距离之和，最小值为3，故选B

3.若sinα=1/2，α∈[0,π]，则cos2α的值为（）（2分）A.1/2B.-1/2C.√3/2D.-√3/2【答案】B【解析】由sinα=1/2，α∈[0,π]得α=π/6，则cos2α=cosπ/3=1/2，故选B

4.已知直线l1ax+2y-1=0与直线l2x+a+1y+4=0互相平行，则a的值为（）（2分）A.-2B.2C.-2或1D.不存在【答案】A【解析】由l1∥l2得aa+1=2，解得a=-2或a=1，但当a=1时，两直线重合，故a=-2，故选A

5.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a=2，b=√7，c=3，则cosB的值为（）（2分）A.1/2B.1/3C.√3/2D.√2/2【答案】B【解析】由余弦定理得cosB=a^2+c^2-b^2/2ac=4+9-7/2×2×3=1/3，故选B

6.已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若a1=1，q=2，则S4的值为（）（2分）A.15B.31C.63D.127【答案】D【解析】S4=1-2^4/1-2=15，故选D

7.已知圆O的方程为x^2+y^2-4x+6y-3=0，则圆心O到直线3x-4y+5=0的距离为（）（2分）A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】圆心O2,-3，圆心到直线距离d=|3×2-4×-3+5|/√3^2+-4^2=2，故选B

8.已知函数fx=√x^2+1，则fx在区间[-1,1]上的最小值为（）（2分）A.0B.1C.√2D.2【答案】B【解析】fx在[-1,0]单调递减，在[0,1]单调递增，故最小值在x=0处取得，为1，故选B

9.已知三棱锥ABC的体积为V，底面△ABC的面积为S，高为h，则下列说法正确的是（）（2分）A.V=1/2ShB.V=1/3ShC.V=ShD.V=2Sh【答案】B【解析】V=1/3S×h，故选B

10.已知样本数据为2,4,6,8,10，则这组数据的方差为（）（2分）A.4B.8C.16D.32【答案】A【解析】平均数为6，方差S^2=[2-6^2+4-6^2+6-6^2+8-6^2+10-6^2]/5=4，故选A

二、多选题（每题4分，共20分）

1.下列函数中，在区间0,1上单调递减的是（）（4分）A.y=x^2B.y=1/xC.y=|x|D.y=lnx【答案】B、C【解析】y=1/x在0,1单调递减，y=|x|在0,1单调递减，y=x^2单调递增，y=lnx单调递增，故选B、C

2.已知函数fx是定义在R上的奇函数，且f1=1，则下列说法正确的是（）（4分）A.f0=0B.f-1=-1C.f-x=-fxD.f2=1【答案】A、B、C【解析】奇函数fx满足f-x=-fx，故A、B、C正确；f2不一定等于1，故D错误

3.已知点Px,y在圆x^2+y^2=1上运动，则点Qx+1,y-1到原点的距离的最小值为（）（4分）A.0B.1C.√2D.2【答案】C、D【解析】Q到原点距离为√x+1^2+y-1^2，即√x^2+y^2+2x-2y+2=√3+2√x^2+y^2-xy≥√3+2=√2，当且仅当x=y时取等号，最大值为√2+1=2，故选C、D

4.已知直线l过点A1,2，则下列直线中与l垂直的直线是（）（4分）A.x=1B.y=2C.x-y=1D.y=x+1【答案】A、C【解析】直线l的斜率k=0，故垂直于l的直线斜率k不存在或k=0，故A、C正确

5.已知函数fx=x^3-3x^2+2，则下列说法正确的是（）（4分）A.fx在-∞,1上单调递增B.fx在1,2上单调递减C.f1=0D.fx在2,+∞上单调递增【答案】B、C、D【解析】fx=3x^2-6x，令fx=0得x=0或x=2，fx在-∞,0单调递增，在0,2单调递减，在2,+∞单调递增，故B、C、D正确

三、填空题（每题4分，共16分）

1.已知等差数列{an}中，a1=3，d=2，则a5=______（4分）【答案】11【解析】a5=a1+4d=3+4×2=

112.已知函数fx=2^x+1，则fx的反函数f-1x的解析式为______（4分）【答案】log2x-1x1【解析】令y=2^x+1，则x=log2y-1，反函数为f-1x=log2x-1x

13.已知圆x^2+y^2-2x+4y-4=0的圆心到直线3x-y+5=0的距离为______（4分）【答案】3√10/10【解析】圆心1,-2，距离d=|3×1--2+5|/√3^2+-1^2=3√10/

104.已知样本数据为1,2,3,4,5，则这组数据的方差S^2=______（4分）【答案】2【解析】平均数为3，S^2=[1-3^2+2-3^2+3-3^2+4-3^2+5-3^2]/5=2

四、判断题（每题2分，共10分）

1.若ab，则a^2b^2（）（2分）【答案】（×）【解析】如a=-1，b=-2，则ab但a^2b^

22.函数y=cosx在[0,π]上是增函数（）（2分）【答案】（×）【解析】y=cosx在[0,π/2]单调递减，在[π/2,π]单调递增

3.若△ABC的三边长分别为3,4,5，则△ABC是直角三角形（）（2分）【答案】（√）【解析】3^2+4^2=5^2，故是直角三角形

4.若函数fx是偶函数，则fx的图像关于y轴对称（）（2分）【答案】（√）【解析】偶函数fx满足f-x=fx，其图像关于y轴对称

5.若事件A和事件B互斥，则PA+B=PA+PB（）（2分）【答案】（√）【解析】互斥事件A和B不能同时发生，故PA+B=PA+PB

五、简答题（每题5分，共15分）

1.已知函数fx=x^2-4x+3，求fx在区间[1,3]上的最大值和最小值（5分）【答案】最大值4，最小值0【解析】fx=x-2^2-1，在[1,2]单调递减，在[2,3]单调递增，故最小值f2=-1，最大值f3=

02.已知等比数列{an}中，a1=2，q=3，求a7的值（5分）【答案】4374【解析】a7=a1×q^6=2×3^6=

43743.已知直线l1x+y-1=0与直线l2ax-y+1=0互相垂直，求a的值（5分）【答案】-1【解析】l1斜率k1=-1，l2斜率k2=a，由k1k2=-1得a=-1

六、分析题（每题10分，共20分）

1.已知函数fx=x^3-3x^2+2x+1，求fx的极值点（10分）【答案】极小值点x=1，极大值点x=0【解析】fx=3x^2-6x+2，令fx=0得x=1±√3/3，fx=6x-6，f1+√3/30，f1-√3/30，故x=1±√3/3分别是极小值点和极大值点

2.已知圆x^2+y^2-2x+4y-4=0，求圆上到直线3x-4y+5=0距离最远的点的坐标（10分）【答案】4,-2【解析】圆心1,-2，到直线距离d=3√10/10，最远点在圆心关于直线的对称点，对称点坐标为4,-2

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a=3，b=4，c=5，求cosA的值（25分）【答案】3/5【解析】由余弦定理得cosA=b^2+c^2-a^2/2bc=16+25-9/2×4×5=3/

52.已知函数fx=x^2-2x+3，求fx在区间[-1,3]上的最大值和最小值（25分）【答案】最小值2，最大值6【解析】fx=x-1^2+2，在[-1,1]单调递减，在[1,3]单调递增，故最小值f1=2，最大值f3=6

八、完整标准答案

一、单选题

1.C

2.B

3.A

4.A

5.B

6.D

7.B

8.B

9.B

10.A

二、多选题

1.B、C

2.A、B、C

3.C、D

4.A、C

5.B、C、D

三、填空题

1.

112.log2x-1x

13.3√10/

104.2

四、判断题

1.（×）

2.（×）

3.（√）

4.（√）

5.（√）

五、简答题

1.最大值4，最小值

02.a7=

43743.a=-1

六、分析题

1.极小值点x=1，极大值点x=

02.4,-2

七、综合应用题

1.cosA=3/

52.最小值2，最大值6。