实数单元练习题2及答案分享

实数单元练习题2及答案分享

一、单选题（每题1分，共10分）

1.下列各数中，无理数是（）A.0B.-3C.$$\frac{1}{2}$$D.$$\sqrt{9}$$【答案】D【解析】$$\sqrt{9}=3$$是有理数

2.实数a在数轴上对应的点在原点右侧，则下列结论正确的是（）A.a0B.a0C.a=0D.a可以是正数也可以是负数【答案】A【解析】原点右侧的点表示正数

3.绝对值等于自身的数是（）A.0B.1C.-1D.A和B【答案】D【解析】0和1的绝对值等于自身

4.下列运算正确的是（）A.$$2^3\times2^2=2^6$$B.$$2^3^2=2^6$$C.$$\sqrt{16}=-4$$D.$$\sqrt{-4^2}=-4$$【答案】A【解析】$$2^3\times2^2=2^{3+2}=2^5$$，B错误；$$\sqrt{16}=4$$，C错误；$$\sqrt{-4^2}=4$$，D错误

5.如果a是实数，则下列说法正确的是（）A.a^2一定是正数B.|a|一定是正数C.a^3一定是正数D.1/a一定是正数【答案】A【解析】a^2≥0，当a=0时，a^2=

06.下列各数中，最接近$$\sqrt{10}$$的是（）A.3B.

3.5C.4D.

4.5【答案】C【解析】$$\sqrt{10}\approx

3.16$$，最接近的是

47.若x是实数，则$$x^2+4x+4$$的最小值是（）A.0B.2C.4D.-4【答案】C【解析】$$x^2+4x+4=x+2^2$$，最小值为

08.下列各数中，属于无理数的是（）A.

0.

1010010001...B.

0.

123456789...C.

0.$$\overline{12}$$D.

0.$$\overline{1}$$【答案】A【解析】A是无限不循环小数，属于无理数

9.若a0，b0，则下列不等式正确的是（）A.a+b0B.a-b0C.ab0D.$$\frac{a}{b}$$0【答案】B【解析】a-ba，所以a-b

010.下列运算正确的是（）A.$$\sqrt{a^2}=a$$B.$$\sqrt{a^2}=-a$$C.$$\sqrt{a^2}=|a|$$D.$$\sqrt{a^2}=|a|$$【答案】C【解析】$$\sqrt{a^2}=|a|$$

二、多选题（每题4分，共20分）

1.下列各数中，属于有理数的是（）A.

3.14B.$$\frac{1}{3}$$C.$$\sqrt{4}$$D.$$\sqrt

[3]{27}$$E.

0.$$\overline{3}$$【答案】A、B、C、D、E【解析】A是有限小数，B是分数，C是整数，D是整数，E是循环小数，都是有理数

2.下列不等式正确的是（）A.-3-2B.3-2C.-2^2-1^2D.|-5||-3|E.0|-3|【答案】A、B、E【解析】C-2^2=-4，-1^2=-1，-4-1，错误；D|-5|=5，|-3|=3，53，错误

3.若a是实数，则下列说法正确的是（）A.a^2一定是正数B.|a|一定是非负数C.a^3一定是实数D.1/a一定是实数E.a+-a=0【答案】B、C、D、E【解析】A a=0时，a^2=0，错误；B|a|≥0，正确；C a^3是实数，正确；D a≠0时，1/a是实数，正确；E a+-a=0，正确

4.下列运算正确的是（）A.$$\sqrt{16}+\sqrt{9}=5$$B.$$\sqrt{16}\times\sqrt{9}=12$$C.$$\sqrt{16}-\sqrt{9}=1$$D.$$\sqrt{16}\div\sqrt{9}=\frac{4}{3}$$E.$$\sqrt{16}+\sqrt{9}=7$$【答案】A、B、C【解析】A$$\sqrt{16}=4，\sqrt{9}=3，4+3=7$$，错误；B$$\sqrt{16}\times\sqrt{9}=4\times3=12$$，正确；C$$\sqrt{16}-\sqrt{9}=4-3=1$$，正确；D$$\sqrt{16}\div\sqrt{9}=4\div3=\frac{4}{3}$$，正确；E$$\sqrt{16}+\sqrt{9}=4+3=7$$，错误

5.下列说法正确的是（）A.两个无理数的和一定是无理数B.两个无理数的积一定是无理数C.无理数乘以有理数一定是无理数D.无理数除以有理数一定是无理数E.两个无理数的商一定是无理数【答案】D【解析】A$$\sqrt{2}+-\sqrt{2}=0$$，错误；B$$\sqrt{2}\times-\sqrt{2}=-2$$，错误；C$$\sqrt{2}\times0=0$$，错误；D无理数除以有理数（不为0）是无理数，正确；E$$\sqrt{2}\div\sqrt{2}=1$$，错误

三、填空题（每题4分，共24分）

1.若x是实数，则$$\sqrt{x^2}$$的值是______【答案】|x|【解析】$$\sqrt{x^2}=|x|$$

2.若a0，b0，则$$\sqrt{a^2}-\sqrt{b^2}$$的值是______【答案】a--b=a+b【解析】$$\sqrt{a^2}=a，\sqrt{b^2}=-b，a--b=a+b$$

3.若x是实数，则$$x^2+1$$的最小值是______【答案】1【解析】$$x^2\geq0$$，所以$$x^2+1\geq1$$

4.若a是实数，则$$|a|$$的值一定是______【答案】非负数【解析】$$|a|\geq0$$

5.若a0，b0，则$$\sqrt{a^2}+\sqrt{b^2}$$的值是______【答案】a-b【解析】$$\sqrt{a^2}=a，\sqrt{b^2}=-b，a+-b=a-b$$

6.若x是实数，则$$\sqrt{x^2}=|x|$$的条件是______【答案】x为任意实数【解析】$$\sqrt{x^2}=|x|$$对任意实数x都成立

四、判断题（每题2分，共10分）

1.两个无理数的和一定是无理数（）【答案】（×）【解析】$$\sqrt{2}+-\sqrt{2}=0$$，是理数

2.两个无理数的积一定是无理数（）【答案】（×）【解析】$$\sqrt{2}\times-\sqrt{2}=-2$$，是理数

3.若a是实数，则$$\sqrt{a^2}=a$$（）【答案】（×）【解析】$$\sqrt{a^2}=|a|$$，当a0时，$$\sqrt{a^2}=-a$$

4.若a是实数，则$$\sqrt{a^2}=|a|$$（）【答案】（√）【解析】$$\sqrt{a^2}=|a|$$对任意实数a都成立

5.若a0，b0，则$$\sqrt{a^2}-\sqrt{b^2}=a-b$$（）【答案】（√）【解析】$$\sqrt{a^2}=a，\sqrt{b^2}=-b，a--b=a+b$$

五、简答题（每题4分，共12分）

1.什么是无理数？请举例说明【答案】无理数是不能表示为两个整数之比的数，即无限不循环小数例如$$\sqrt{2}$$，$$\pi$$

2.什么是绝对值？请解释绝对值的性质【答案】绝对值表示一个数在数轴上与原点的距离性质

1.$$|a|\geq0$$

2.$$|-a|=|a|$$

3.$$|a|=a$$（当a≥0时）

4.$$|a|=-a$$（当a0时）

3.请解释实数的平方根的性质【答案】实数的平方根有以下性质

1.正数有两个平方根，它们互为相反数

2.0只有一个平方根，即

03.负数没有平方根

六、分析题（每题10分，共20分）

1.若x是实数，求$$\sqrt{x^2}+|x|$$的最小值【答案】最小值是2解析$$\sqrt{x^2}=|x|$$，所以$$\sqrt{x^2}+|x|=|x|+|x|=2|x|$$，当x=0时，$$2|x|=0$$，当x≠0时，$$2|x|0$$，所以最小值是

22.若a是实数，求$$\sqrt{a^2}-|a|$$的最大值【答案】最大值是0解析$$\sqrt{a^2}=|a|$$，所以$$\sqrt{a^2}-|a|=|a|-|a|=0$$，无论a取何值，$$\sqrt{a^2}-|a|$$都等于0，所以最大值是0

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.若x是实数，求$$\sqrt{x^2+6x+9}+\sqrt{x^2-6x+9}$$的最小值【答案】最小值是6解析$$\sqrt{x^2+6x+9}=\sqrt{x+3^2}=|x+3|$$，$$\sqrt{x^2-6x+9}=\sqrt{x-3^2}=|x-3|$$，所以$$\sqrt{x^2+6x+9}+\sqrt{x^2-6x+9}=|x+3|+|x-3|$$，当x≥3时，$$|x+3|+|x-3|=x+3+x-3=2x$$，当-3≤x3时，$$|x+3|+|x-3|=x+3+3-x=6$$，当x-3时，$$|x+3|+|x-3|=-x+3+-x-3=-2x$$，所以最小值是

62.若a是实数，求$$\sqrt{a^2+4a+4}-\sqrt{a^2-4a+4}$$的最大值【答案】最大值是4解析$$\sqrt{a^2+4a+4}=\sqrt{a+2^2}=|a+2|$$，$$\sqrt{a^2-4a+4}=\sqrt{a-2^2}=|a-2|$$，所以$$\sqrt{a^2+4a+4}-\sqrt{a^2-4a+4}=|a+2|-|a-2|$$，当a≥2时，$$|a+2|-|a-2|=a+2-a-2=4$$，当-2≤a2时，$$|a+2|-|a-2|=a+2-2-a=2a$$，当a-2时，$$|a+2|-|a-2|=-a+2-2-a=-4$$，所以最大值是4---完整标准答案

一、单选题

1.D

2.A

3.D

4.A

5.A

6.C

7.C

8.A

9.B

10.C

二、多选题

1.A、B、C、D、E

2.A、B、E

3.B、C、D、E

4.A、B、C

5.D

三、填空题

1.|x|

2.a+b

3.

14.非负数

5.a-b

6.x为任意实数

四、判断题

1.（×）

2.（×）

3.（×）

4.（√）

5.（√）

五、简答题

1.无理数是不能表示为两个整数之比的数，即无限不循环小数例如$$\sqrt{2}$$，$$\pi$$

2.绝对值表示一个数在数轴上与原点的距离性质

1.$$|a|\geq0$$

2.$$|-a|=|a|$$

3.$$|a|=a$$（当a≥0时）

4.$$|a|=-a$$（当a0时）

3.实数的平方根有以下性质

1.正数有两个平方根，它们互为相反数

2.0只有一个平方根，即

03.负数没有平方根

六、分析题

1.最小值是2解析$$\sqrt{x^2}=|x|$$，所以$$\sqrt{x^2}+|x|=|x|+|x|=2|x|$$，当x=0时，$$2|x|=0$$，当x≠0时，$$2|x|0$$，所以最小值是

22.最大值是0解析$$\sqrt{a^2}=|a|$$，所以$$\sqrt{a^2}-|a|=|a|-|a|=0$$，无论a取何值，$$\sqrt{a^2}-|a|$$都等于0，所以最大值是0

七、综合应用题

1.最小值是6解析$$\sqrt{x^2+6x+9}=\sqrt{x+3^2}=|x+3|$$，$$\sqrt{x^2-6x+9}=\sqrt{x-3^2}=|x-3|$$，所以$$\sqrt{x^2+6x+9}+\sqrt{x^2-6x+9}=|x+3|+|x-3|$$，当x≥3时，$$|x+3|+|x-3|=x+3+x-3=2x$$，当-3≤x3时，$$|x+3|+|x-3|=x+3+3-x=6$$，当x-3时，$$|x+3|+|x-3|=-x+3+-x-3=-2x$$，所以最小值是

62.最大值是4解析$$\sqrt{a^2+4a+4}=\sqrt{a+2^2}=|a+2|$$，$$\sqrt{a^2-4a+4}=\sqrt{a-2^2}=|a-2|$$，所以$$\sqrt{a^2+4a+4}-\sqrt{a^2-4a+4}=|a+2|-|a-2|$$，当a≥2时，$$|a+2|-|a-2|=a+2-a-2=4$$，当-2≤a2时，$$|a+2|-|a-2|=a+2-2-a=2a$$，当a-2时，$$|a+2|-|a-2|=-a+2-2-a=-4$$，所以最大值是4。