寿春中学二模数学试卷题目与答案

寿春中学二模数学试卷题目与答案

一、单选题（每题2分，共20分）

1.下列函数中，在定义域内是增函数的是（）（2分）A.y=-2x+1B.y=x²C.y=1/xD.y=-x³【答案】D【解析】y=-2x+1是减函数，y=x²在（-∞，0）上递减，在（0，+∞）上递增，y=1/x在（-∞，0）和（0，+∞）上递减，y=-x³在定义域内是增函数

2.若集合A={x|x²-3x+2=0}，B={x|x²+x-6=0}，则A∩B=（）（2分）A.{1}B.{2}C.{1，2}D.{-3}【答案】C【解析】A={1，2}，B={-3，2}，所以A∩B={2}

3.函数fx=sinx+π/4的最小正周期是（）（2分）A.2πB.πC.4πD.π/2【答案】A【解析】正弦函数sinx的周期是2π，所以fx=sinx+π/4的周期也是2π

4.若向量a=1，2，b=3，-1，则向量a·b=（）（2分）A.1B.5C.-1D.-5【答案】B【解析】a·b=1×3+2×-1=3-2=

15.某校高三年级有5名男生和4名女生参加篮球比赛，从中选出3名参赛，则选出的3人中至少有一名女生的概率是（）（2分）A.1/3B.2/3C.1/4D.3/4【答案】B【解析】至少有一名女生的概率=1-没有女生的概率=1-5/9×4/8×3/7=2/

36.在△ABC中，若角A=60°，角B=45°，边a=√3，则边b=（）（2分）A.1B.√2C.2D.√3【答案】C【解析】由正弦定理a/sinA=b/sinB，得√3/sin60°=b/sin45°，解得b=

27.若复数z=2+i/1-i，则|z|=（）（2分）A.√2B.2C.√5D.1【答案】A【解析】z=2+i/1-i=2+i1+i/1-i1+i=3+3i，所以|z|=√3²+3²=√18=3√

28.函数fx=e^x-1在区间（-∞，0）上的单调性是（）（2分）A.单调递增B.单调递减C.先增后减D.不单调【答案】A【解析】fx=e^x-1的导数fx=e^x，在（-∞，0）上e^x0，所以fx单调递增

9.若直线l的斜率为-1/2，且过点（4，-1），则直线l的方程是（）（2分）A.y=-1/2x+1B.y=-1/2x+3C.2y-x=4D.x+2y=6【答案】D【解析】直线方程的点斜式为y--1=-1/2x-4，整理得x+2y=

610.某工厂生产的产品合格率为90%，现随机抽取5件产品，则至少有一件不合格的概率是（）（2分）A.

0.9B.

0.1C.

0.01D.

0.8【答案】D【解析】至少有一件不合格的概率=1-全部合格的概率=1-

0.9^5≈

0.8

二、多选题（每题4分，共20分）

1.以下命题中，正确的有（）（4分）A.空集是任何集合的子集B.若a²=b²，则a=bC.函数y=1/x在定义域内是奇函数D.若ab，则a²b²【答案】A、C【解析】A正确，空集是任何集合的子集；B错误，a=-b也满足a²=b²；C正确，y=1/x是奇函数；D错误，若a=-2，b=-1，则ab但a²b²

2.以下函数中，在区间（0，+∞）上单调递增的有（）（4分）A.y=x³B.y=1/xC.y=√xD.y=-logₓ2【答案】A、C【解析】y=x³的导数y=3x²0，所以单调递增；y=1/x的导数y=-1/x²0，所以单调递减；y=√x的导数y=1/2√x0，所以单调递增；y=-logₓ2的导数y=-1/xln20，所以单调递减

3.以下命题中，正确的有（）（4分）A.若向量a//b，则存在唯一实数λ使得b=λaB.三角形的三条高线交于一点C.函数y=cosx的图像关于原点对称D.若直线l₁与l₂平行，则它们的斜率相等【答案】A、B【解析】A正确，向量平行的定义；B正确，三角形的三条高线交于垂心；C错误，函数y=cosx的图像关于y轴对称；D错误，垂直的直线斜率乘积为-

14.以下命题中，正确的有（）（4分）A.若复数z满足|z|=1，则z可以表示为cosθ+isinθB.等差数列的前n项和Sn=na₁+n-1dC.函数y=tanx的周期是πD.若直线l与圆相切，则直线l到圆心的距离等于圆的半径【答案】A、C、D【解析】A正确，单位圆的参数方程；B错误，应为Sn=na₁+nn-1/2d；C正确，tan函数的周期是π；D正确，相切条件

5.以下命题中，正确的有（）（4分）A.若数列{aₙ}是等比数列，则aₙ/aₙ₊₁是常数B.函数y=2^x在整个实数域上连续C.直线y=kx+b与x轴相交，当k≠0时交点为-b/k，0D.若圆x²+y²=r²与直线y=x相切，则r=√2【答案】A、B、C【解析】A正确，等比数列相邻项比值是常数；B正确，指数函数在整个实数域上连续；C正确，直线方程y=kx+b与x轴交点为-b/k，0；D错误，若圆心在原点，半径为r，则与y=x相切时r=1

三、填空题（每题4分，共20分）

1.函数fx=2cos2x+π/3的最小正周期是_________（4分）【答案】π【解析】cos函数的周期是2π，所以fx的周期是2π/2=π

2.若复数z=3+4i，则argz=_________（4分）【答案】arctan4/3【解析】argz=arctan4/

33.在△ABC中，若角A=60°，角B=45°，边a=2，则边c=_________（4分）【答案】2√2【解析】由正弦定理a/sinA=c/sinC，得2/sin60°=c/sin75°，解得c=2√

24.函数fx=x³-3x+1的极值点是_________（4分）【答案】1【解析】fx=3x²-3，令fx=0，得x=±1，f1=-60，所以x=1是极大值点

5.若直线l的倾斜角为120°，且过点（1，2），则直线l的方程是_________（4分）【答案】y=-√3x+3-√3【解析】直线方程的点斜式为y-2=-√3x-1，整理得y=-√3x+3-√3

四、判断题（每题2分，共10分）

1.若ab，则a²b²（）（2分）【答案】×【解析】若a=-2，b=-1，则ab但a²b²

2.函数y=1/x在定义域内是奇函数（）（2分）【答案】√【解析】y-x=-1/x=-yx，所以是奇函数

3.若向量a=1，2，b=3，-1，则a·b=5（）（2分）【答案】√【解析】a·b=1×3+2×-1=3-2=

14.若复数z=1+i，则|z|=√2（）（2分）【答案】√【解析】|z|=√1²+1²=√

25.若直线l₁与l₂平行，则它们的斜率相等（）（2分）【答案】×【解析】若直线垂直x轴，斜率不存在，但平行

五、简答题（每题4分，共20分）

1.求函数fx=x³-3x²+4在区间[-1，3]上的最大值和最小值（4分）【答案】最大值f1=2，最小值f-1=6【解析】fx=3x²-6x，令fx=0，得x=0或x=2，f-1=6，f0=4，f2=0，f3=1，所以最大值是2，最小值是

02.求过点（1，2）且与直线y=2x-1垂直的直线方程（4分）【答案】y=-1/2x+5/2【解析】垂直直线的斜率是-1/2，所以方程为y-2=-1/2x-1，整理得y=-1/2x+5/

23.求函数fx=sin2x+π/4在区间[0，π/2]上的最大值和最小值（4分）【答案】最大值√2/2，最小值-√2/2【解析】fx在[0，π/2]上变化，当x=π/8时，fx=sinπ/2=1；当x=3π/8时，fx=sinπ/2+π/4=√2/2；当x=π/2时，fx=sinπ+π/4=-√2/2，所以最大值是√2/2，最小值是-√2/

24.求过点（1，2）且与圆x²+y²=r²相切的直线方程（4分）【答案】y=-√3x+3-√3【解析】切线方程为y-2=-√3x-1，整理得y=-√3x+3-√

35.求函数fx=e^x-1在区间[0，1]上的平均值（4分）【答案】e-1/2【解析】平均值=f1-f0/1-0=e^1-1/1-0=e-1/2

六、分析题（每题10分，共20分）

1.已知数列{aₙ}是等差数列，a₁=1，a₃=5，求aₙ的表达式（10分）【答案】aₙ=2n-1【解析】设公差为d，由a₃=a₁+2d，得5=1+2d，解得d=2，所以aₙ=1+n-1×2=2n-

12.已知函数fx=x³-3x²+2，求fx的极值点（10分）【答案】极值点x=1（极大值），x=0（极小值）【解析】fx=3x²-6x，令fx=0，得x=0或x=2，f0=-60，所以x=0是极大值点；f2=60，所以x=2是极小值点

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.已知△ABC中，角A=60°，角B=45°，边a=2，求边b和边c（25分）【答案】b=√6+√2，c=2√2【解析】由正弦定理a/sinA=b/sinB，得2/sin60°=b/sin45°，解得b=√6+√2；由正弦定理a/sinA=c/sinC，得2/sin60°=c/sin75°，解得c=2√

22.已知函数fx=x³-3x²+2，求fx的极值点及极值（25分）【答案】极值点x=1（极大值2），x=0（极小值2）【解析】fx=3x²-6x，令fx=0，得x=0或x=2，f0=-60，所以x=0是极大值点，f0=2；f2=60，所以x=2是极小值点，f2=0

八、标准答案

一、单选题

1.D

2.C

3.A

4.B

5.B

6.C

7.A

8.A

9.D

10.D

二、多选题

1.A、C

2.A、C

3.A、B

4.A、C、D

5.A、B、C

三、填空题

1.π

2.arctan4/

33.2√

24.

15.y=-√3x+3-√3

四、判断题

1.×

2.√

3.√

4.√

5.×

五、简答题

1.最大值2，最小值

02.y=-1/2x+5/

23.最大值√2/2，最小值-√2/

24.y=-√3x+3-√

35.e-1/2

六、分析题

1.aₙ=2n-

12.x=1（极大值），x=0（极小值）

七、综合应用题

1.b=√6+√2，c=2√

22.x=1（极大值2），x=0（极小值2）。