山东省奥赛初赛试题及答案呈现

山东省奥赛初赛试题及答案呈现

一、单选题（每题1分，共15分）

1.下列哪个数是实数？（）A.√-4B.πC.1+iD.

0.

1010010001...【答案】B【解析】π是实数，其余选项分别是虚数和无理数

2.若集合A={x|x²-1=0}，则A的元素个数是（）A.1B.2C.3D.0【答案】B【解析】x²-1=0的解为x=1和x=-1，故A={1,-1}，元素个数为

23.函数fx=|x-1|在x=0处的导数是（）A.1B.-1C.0D.不存在【答案】C【解析】|x-1|在x=0处连续但不可导，导数为

04.等差数列{a_n}中，若a_1=2，a_5=10，则公差d为（）A.2B.3C.4D.5【答案】B【解析】a_5=a_1+4d，10=2+4d，解得d=

25.三角形ABC中，若∠A=45°，∠B=60°，则∠C等于（）A.75°B.105°C.135°D.150°【答案】B【解析】∠C=180°-∠A-∠B=180°-45°-60°=75°

6.若复数z=3+4i，则|z|等于（）A.5B.7C.9D.25【答案】A【解析】|z|=√3²+4²=√25=

57.函数y=2^x的图像关于哪个点中心对称？（）A.0,0B.1,2C.2,1D.不存在【答案】D【解析】指数函数图像不关于任何点中心对称

8.直线y=x+1与y=-x+3的交点坐标是（）A.1,2B.2,1C.3,0D.0,3【答案】A【解析】联立方程组得x=1,y=

29.若fx是奇函数，且f2=3，则f-2等于（）A.3B.-3C.2D.-2【答案】B【解析】奇函数满足f-x=-fx，故f-2=-f2=-

310.圆x²+y²-4x+6y-3=0的圆心坐标是（）A.2,-3B.-2,3C.2,3D.-2,-3【答案】C【解析】圆心为-b/2,a/2，即--4/2,6/2=2,

311.已知向量a=1,2，b=3,-4，则a·b等于（）A.-5B.5C.11D.-11【答案】D【解析】a·b=1×3+2×-4=3-8=-

512.若sinα=1/2，α在第二象限，则cosα等于（）A.√3/2B.-√3/2C.1/2D.-1/2【答案】B【解析】sin²α+cos²α=1，cosα=-√1-sin²α=-√1-1/4=-√3/

213.五边形ABCDE的内角和等于（）A.540°B.720°C.360°D.180°【答案】A【解析】n边形内角和=n-2×180°，五边形为5-2×180°=540°

14.若事件A的概率PA=

0.6，事件B的概率PB=

0.7，且A、B互斥，则PA∪B等于（）A.

0.12B.

0.28C.

0.88D.

1.3【答案】C【解析】互斥事件概率和PA∪B=PA+PB=

0.6+

0.7=

0.

8815.二项式x+1⁵展开式中x³的系数是（）A.5B.10C.20D.40【答案】C【解析】x³的系数为C5,3=10，但实际计算为20

二、多选题（每题3分，共15分）

1.以下哪些函数是偶函数？（）A.y=x²B.y=|x|C.y=x³D.y=cosxE.y=ex【答案】A、B、D【解析】偶函数满足f-x=fx，故x²、|x|、cosx为偶函数

2.三角形ABC中，下列哪些条件能确定三角形形状？（）A.三边长度B.两边及夹角C.两角及夹边D.两角及非夹边E.一边及两角【答案】A、B、C、E【解析】全等判定定理有SSS、SAS、ASA、AAS

3.下列哪些数是无理数？（）A.√16B.

0.

1010010001...C.πD.1/3E.

0.

123456789...【答案】B、C、E【解析】无理数不能表示为分数，故B、C、E为无理数

4.函数y=1/x在x→0时（）A.极限存在B.极限不存在C.函数连续D.函数可导E.函数有界【答案】B、D【解析】1/x在x→0时极限不存在且不可导

5.以下命题正确的是？（）A.空集是任何集合的子集B.任何集合的真子集个数是有限的C.两个无理数的和一定是无理数D.对任意实数x，x²≥0E.若A⊆B，则∁AB=∁BA【答案】A、D【解析】空集是任何集合的子集，非负实数平方非负

三、填空题（每空2分，共20分）

1.函数y=√x-1的定义域是______，值域是______【答案】[1,+∞；[0,+∞

2.等比数列{a_n}中，若a_1=1，a_4=16，则公比q等于______【答案】

23.在△ABC中，若AB=5，AC=7，BC=8，则cosA等于______【答案】3/

54.复数z=1+i的模|z|等于______，辐角主值argz等于______（用弧度表示）【答案】√2；π/

45.圆x-a²+y-b²=r²的圆心到原点的距离等于______【答案】√a²+b²

四、判断题（每题2分，共10分）

1.若ab，则√a√b（）【答案】（×）【解析】如a=-1,b=-2，则√a=1√b≈

1.

4142.两个相似三角形的周长比等于面积比（）【答案】（√）

3.函数y=sinx是周期函数，最小正周期为2π（）【答案】（√）

4.若fx是偶函数，则其导数fx是奇函数（）【答案】（√）【解析】f-x=-fx

5.任意四个整数中必有两个整数的和是偶数（）【答案】（√）【解析】奇偶性配对原理

五、简答题（每题5分，共15分）

1.求函数y=2x³-3x²-12x+5的单调递增区间【解析】y=6x²-6x-12=6x+1x-2，令y≥0得x≤-1或x≥2，故单调递增区间为-∞,-1]∪[2,+∞

2.证明勾股定理，即直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方【解析】作直角三角形ABC，∠C=90°，作CD⊥AB于D，则△ABC≌△ACD≌△CBD，BC²=BD·BA，AC²=CD·BA，故a²+b²=c²

3.设集合A={1,2,3,4}，B={2,4,6,8}，求A∩B和A∪B【解析】A∩B={2,4}，A∪B={1,2,3,4,6,8}

六、分析题（每题10分，共20分）

1.已知函数fx=ax²+bx+c，若f1=3，f-1=-1，且fx的顶点在直线y=x上，求a、b、c的值【解析】f1=a+b+c=3

①，f-1=a-b+c=-1

②，顶点坐标为-b/2a,c-b²/4a，代入y=x得-b/2a=c-b²/4a，整理得b²=2ac

③，联立

①②解得a=2，b=0，c=

12.在△ABC中，若∠A=30°，∠B=60°，BC=6，求△ABC的面积【解析】由∠C=180°-∠A-∠B=90°，故BC是直角边，AC是斜边，AC=BC/√3=6√3，面积S=1/2×BC×AC=1/2×6×6√3=18√3

七、综合应用题（共25分）已知数列{a_n}满足a_1=1，a_n+1=2a_n+3n≥1，证明数列{a_n+2}是等比数列，并求其通项公式【解析】方法一设b_n=a_n+2，则b_1=a_1+2=3，b_n=a_n+2=2a_n+3+2=2a_n+2=2b_n，故{b_n}是首项为3，公比为2的等比数列，b_n=3×2^n-1，即a_n+2=3×2^n-1，故a_n=3×2^n-1-2方法二由a_n+1=2a_n+3得a_n=2a_n-1+3，故a_n+2=2a_n-1+2，令b_n=a_n+2，则b_n=2b_n-1，故{b_n}是等比数列，b_n=3×2^n-1，即a_n=3×2^n-1-2【答案】数列{a_n+2}是等比数列，通项公式a_n=3×2^n-1-2---答案页---

一、单选题

1.B

2.B

3.C

4.B

5.B

6.A

7.D

8.A

9.B

10.C

11.D

12.B

13.A

14.C

15.C

二、多选题

1.A、B、D

2.A、B、C、E

3.B、C、E

4.B、D

5.A、D

三、填空题

1.[1,+∞；[0,+∞

2.

23.3/

54.√2；π/

45.√a²+b²

四、判断题

1.（×）

2.（√）

3.（√）

4.（√）

5.（√）

五、简答题

1.-∞,-1]∪[2,+∞

2.略

3.{2,4}∪{1,3}

六、分析题

1.a=2，b=0，c=

12.18√3

七、综合应用题a_n=3×2^n-1-2。