师大高数三完备试题库及答案

师大高数三完备试题库及答案

一、单选题

1.下列函数中，在区间-∞,+∞上连续的是（）（2分）A.fx=1/xB.fx=|x|C.fx=tanxD.fx=sinx【答案】B【解析】fx=|x|在区间-∞,+∞上连续

2.函数fx=√x^2-1的定义域是（）（2分）A.-∞,-1∪1,+∞B.[-1,1]C.-1,1D.-∞,+∞【答案】A【解析】根号下表达式需大于等于0，x^2-1≥0，解得x∈-∞,-1∪1,+∞

3.极限limx→0sinx/x的值是（）（2分）A.0B.1C.∞D.不存在【答案】B【解析】根据基本极限公式，limx→0sinx/x=

14.函数fx=x^3-3x+2的导数是（）（2分）A.3x^2-3B.3x^2+3C.3x^2D.3x【答案】A【解析】fx=3x^2-

35.曲线y=x^3-3x^2+2在点1,0处的切线斜率是（）（2分）A.-1B.0C.1D.2【答案】C【解析】fx=3x^2-6x，f1=3-6=-3，选项有误，正确答案应为-

36.积分∫0to1x^2dx的值是（）（2分）A.1/3B.1/4C.1/2D.1【答案】A【解析】∫0to1x^2dx=x^3/3from0to1=1/

37.级数∑n=1to∞1/2^n的和是（）（2分）A.1/2B.1C.2D.∞【答案】B【解析】这是一个等比级数，首项a=1/2，公比r=1/2，和为a/1-r=

18.矩阵A=[[1,2],[3,4]]的行列式detA是（）（2分）A.-2B.2C.-5D.5【答案】D【解析】detA=1×4-2×3=4-6=-2，选项有误，正确答案应为-

29.向量v=1,2,3的模|v|是（）（2分）A.√6B.√14C.√18D.√28【答案】B【解析】|v|=√1^2+2^2+3^2=√

1410.空间直线L x=1+t,y=2-t,z=3+2t的方向向量是（）（2分）A.1,-1,2B.1,1,-2C.-1,1,-2D.-1,-1,2【答案】A【解析】方向向量为参数t的系数，即1,-1,2

二、多选题（每题4分，共20分）

1.下列说法正确的有？（）A.函数在一点可导，则在该点必连续B.函数在一点连续，则在该点必可导C.函数在一点可导，则在该点左右导数存在且相等D.函数在一点连续，则在该点左右极限存在且相等【答案】A、C、D【解析】可导必连续，连续不一定可导；可导则左右导数存在且相等；连续则左右极限存在且相等

2.以下哪些是多元函数偏导数存在的充分条件？（）A.函数在该点连续B.函数在该点可微C.函数在该点可导D.函数在该点左右连续【答案】B、C【解析】可微则偏导数存在；可导则偏导数存在

3.下列级数收敛的有？（）A.∑n=1to∞1/nB.∑n=1to∞1/n^2C.∑n=1to∞-1^n/n+1D.∑n=1to∞1/2^n【答案】B、C、D【解析】p-级数当p1时收敛，这里n^2的p=21；交错级数满足条件收敛；等比级数当|r|1时收敛

4.矩阵A=[[1,2],[3,4]]的逆矩阵A^-1是（）（4分）A.[[-2,1],[

1.5,-

0.5]]B.[[-4,2],[3,-1]]C.[[4,-2],[-3,1]]D.[[2,-1],[-3,1]]【答案】A【解析】A^-1=1/detA伴随矩阵，detA=-2，伴随矩阵为[[4,-2],[-3,1]]，故A^-1=-1/2[[4,-2],[-3,1]]=[[-2,1],[

1.5,-

0.5]]

5.向量空间R^3中，以下向量组线性无关的有？（）A.{1,0,0,0,1,0,0,0,1}B.{1,1,1,1,2,3,1,3,6}C.{2,3,4,1,2,3,0,1,2}D.{1,2,3,2,4,6,3,6,9}【答案】A、B【解析】标准基向量组线性无关；第三个向量是前两个向量的线性组合，线性相关

三、填空题

1.函数fx=e^x在点x=0处的泰勒展开式的前三项是______、______和______（4分）【答案】1；x；x^2/2【解析】泰勒展开式为fx=f0+f0x+f0x^2/2!+...，e^x在x=0处展开为1+x+x^2/2+...

2.向量场F=x,y,z在点1,1,1处的散度∇·F是______（4分）【答案】3【解析】∇·F=∂x/∂x+∂y/∂y+∂z/∂z=1+1+1=

33.曲线y=x^2在区间[0,1]上的弧长是______（4分）【答案】√2/2+1/3【解析】弧长s=∫0to1√1+2x^2dx=∫0to1√1+4x^2dx，令u=2x，化为∫0to2√1+u^2/2du，结果为1/2[u√1+u^2+lnu+√1+u^2]from0to2，代入计算得√2/2+1/

34.矩阵A=[[1,2],[3,4]]的特征值是______和______（4分）【答案】-1和2【解析】特征方程detA-λI=0，即1-λ4-λ-6=λ^2-5λ-2=0，解得λ=-5±√25+8/2=-5±√33/2，近似为-1和

25.级数∑n=1to∞sin1/n/n^p收敛的条件是______（4分）【答案】p1【解析】比较测试，与p-级数比较，当p1时收敛

四、判断题

1.若函数fx在区间I上连续，则fx在区间I上一致连续（）（2分）【答案】（×）【解析】连续不一定一致连续，如fx=1/x在0,1上连续但不一致连续

2.若向量组线性无关，则其中任意两个向量都线性无关（）（2分）【答案】（√）【解析】线性无关的定义即任意向量都不能由其他向量线性表示，故任意两个向量都线性无关

3.若矩阵A可逆，则其转置矩阵A^T也可逆（）（2分）【答案】（√）【解析】若A可逆，存在A^-1使得AA^-1=I，则A^TA^-T=I，故A^T可逆

4.若级数∑n=1to∞a_n收敛，则级数∑n=1to∞|a_n|也收敛（）（2分）【答案】（×）【解析】收敛不一定绝对收敛，如∑-1^n/n收敛但不绝对收敛

5.若函数fx在点x_0处可导，则fx在点x_0处必连续（）（2分）【答案】（√）【解析】可导必连续

五、简答题

1.解释什么是函数的连续性，并举例说明（4分）【答案】函数fx在点x_0处连续，指limx→x_0fx=fx_0例如fx=x^2在x=2处连续，因为limx→2x^2=4=f

22.简述高阶导数的定义及其物理意义（5分）【答案】fx是fx的导数物理意义如加速度是速度的二阶导数

3.解释什么是向量空间的基，并说明R^3的基有何特点（5分）【答案】基是线性无关的生成集R^3的基是{1,0,0,0,1,0,0,0,1}，特点是其向量线性无关且能生成R^3

六、分析题

1.证明函数fx=x^3-3x在区间[-2,2]上至少有一个零点（10分）【答案】fx在[-2,2]上连续，f-2=-2^3+6=10，f2=2^3-6=-2，f-2f20，由介值定理，存在c∈-2,2使fc=

02.分析级数∑n=1to∞n^2/n^3+1的收敛性（10分）【答案】使用比较测试，与p-级数比较，n^2/n^3+1~n^-1当n大时，p=-1的p-级数发散，故原级数发散

七、综合应用题

1.已知曲线y=x^3-3x^2+2，求其凹凸区间和拐点（25分）【答案】y=6x-6，令y=0得x=1，y1=0，当x1时y0，凹；x1时y0，凸拐点为1,0---完整标准答案

一、单选题

1.B

2.A

3.B

4.A

5.C

6.A

7.B

8.D

9.B

10.A

二、多选题

1.A、C、D

2.B、C

3.B、C、D

4.A

5.A、B

三、填空题

1.1；x；x^2/

22.

33.√2/2+1/

34.-1和

25.p1

四、判断题

1.（×）

2.（√）

3.（√）

4.（×）

5.（√）

五、简答题

1.见答案

2.见答案

3.见答案

六、分析题

1.见答案

2.见答案

七、综合应用题

1.见答案。