广东自考高数试题及完整答案

广东自考高数试题及完整答案

一、单选题（每题2分，共20分）

1.下列函数中，在x=0处不可导的是（）（2分）A.y=x^2B.y=|x|C.y=3x+1D.y=x^3【答案】B【解析】函数y=|x|在x=0处不可导，因为其左右导数不相等

2.下列极限中，存在的是（）（2分）A.limx→01/xB.limx→∞x^2/x^3C.limx→0sin1/xD.limx→11/x-1【答案】B【解析】A、C、D在极限点处均不存在，B项极限为

03.若fx是连续函数，且f0=1，f1=3，则存在c∈0,1，使得fc=2，依据是（）（2分）A.中值定理B.极值定理C.连续性D.增减性【答案】A【解析】依据中值定理，fx在[0,1]上连续，且f0=1，f1=3，则存在c∈0,1，使得fc=

24.矩阵A=|12;34|的逆矩阵是（）（2分）A.|1-2;-34|B.|-12;3-4|C.|1/10-2/10;-3/101/10|D.|-1/102/10;3/10-4/10|【答案】C【解析】计算矩阵A的逆矩阵，得到|1/10-2/10;-3/101/10|

5.下列级数中，收敛的是（）（2分）A.∑n=1→∞1/nB.∑n=1→∞1/n^2C.∑n=1→∞2^nD.∑n=1→∞-1^n【答案】B【解析】A、C、D均发散，B项为p-级数，p=21，收敛

6.微分方程y-4y=0的通解是（）（2分）A.y=C1e^2x+C2e^-2xB.y=C1e^x+C2e^-xC.y=C1x+C2x^2D.y=C1sin2x+C2cos2x【答案】A【解析】特征方程为r^2-4=0，解得r=±2，通解为y=C1e^2x+C2e^-2x

7.下列积分中，值为π的是（）（2分）A.∫0→πsinxdxB.∫0→2πcosxdxC.∫0→π/2sinxdxD.∫0→1x^2dx【答案】A【解析】A项积分结果为-[-cosx]0→π=2，B项为0，C项为1，D项为1/

38.下列向量组中，线性无关的是（）（2分）A.1,2,3,2,4,6,3,6,9B.1,0,0,0,1,0,0,0,1C.1,1,1,1,2,3,1,3,5D.1,-1,1,-1,1,-1,1,1,1【答案】B【解析】B项为标准单位向量组，线性无关

9.下列方程中，表示抛物线的是（）（2分）A.x^2+y^2=1B.x^2-y^2=1C.y=x^2D.x+y=1【答案】C【解析】C项为抛物线方程，A项为圆，B项为双曲线，D项为直线

10.若向量a=1,2,3，b=4,5,6，则a·b=（）（2分）A.32B.33C.34D.35【答案】A【解析】a·b=1×4+2×5+3×6=32

二、多选题（每题4分，共20分）

1.下列函数中，在x=0处可导的有（）（4分）A.y=x^3B.y=|x|^2C.y=3x^2+1D.y=1/x【答案】A、C【解析】A项导数为0，C项导数为6x，D项不可导

2.下列级数中，条件收敛的有（）（4分）A.∑n=1→∞-1^n/nB.∑n=1→∞1/n^2C.∑n=1→∞-1^n/n^2D.∑n=1→∞-1^n【答案】A、C【解析】A项条件收敛，B项绝对收敛，C项绝对收敛，D项发散

3.下列方程中，表示椭圆的有（）（4分）A.x^2/4+y^2/9=1B.x^2+y^2=-1C.4x^2+y^2=1D.x^2/9-y^2/4=1【答案】A、C【解析】A、C项为椭圆方程，B项无实数解，D项为双曲线方程

4.下列矩阵中，可逆的有（）（4分）A.|10;01|B.|23;46|C.|12;34|D.|01;10|【答案】A、C、D【解析】A项为单位矩阵，C项逆矩阵存在，D项可逆

5.下列积分中，值为0的有（）（4分）A.∫0→πsin^2xdxB.∫0→2πsinxcosxdxC.∫0→1xdxD.∫0→πcosxdx【答案】B、D【解析】B项为奇函数在对称区间上积分，D项为-sinx0→π=0

三、填空题（每题4分，共32分）

1.若fx=x^2+2x+3，则f1=______（4分）【答案】6【解析】fx=2x+2，f1=2+2=

62.若向量a=2,3，b=1,-1，则|a+b|______（4分）【答案】√10【解析】a+b=3,2，|a+b|=√3^2+2^2=√

133.若矩阵A=|12;34|，B=|56;78|，则|3A-2B|=______（4分）【答案】-36【解析】3A-2B=|-1-6;-5-8|，|3A-2B|=-1-8--6-5=-

364.若y=2^x，则dy/dx=______（4分）【答案】2^xln2【解析】y=2^xln

25.若z=fx,y在点1,1处偏导数存在，且f1,1=2，∂f/∂x1,1=1，∂f/∂y1,1=-1，则f1,1+∂f/∂x1,1+∂f/∂y1,1=______（4分）【答案】2【解析】f1,1+∂f/∂x1,1+∂f/∂y1,1=2+1-1=

26.若向量a=1,1,1，b=1,1,0，则a·b=______（4分）【答案】2【解析】a·b=1×1+1×1+1×0=

27.若级数∑n=1→∞a_n收敛，且a_n0，则∑n=1→∞a_n^2______（4分）【答案】收敛【解析】a_n0且收敛，则a_n→0，级数绝对收敛

8.若函数fx在[0,1]上连续，且f0=1，f1=2，则存在c∈0,1，使得fc=______（4分）【答案】

1.5【解析】依据中值定理，fc=

1.5

四、判断题（每题2分，共20分）

1.若函数fx在x=0处可导，则fx在x=0处连续（）（2分）【答案】（√）【解析】可导必连续

2.若级数∑n=1→∞a_n发散，则∑n=1→∞a_n^2也发散（）（2分）【答案】（×）【解析】如a_n=1/n，发散，但a_n^2=1/n^2收敛

3.若矩阵A可逆，则矩阵A的行列式不为0（）（2分）【答案】（√）【解析】可逆矩阵行列式不为

04.若函数fx在[0,1]上连续，则fx在[0,1]上必有最大值和最小值（）（2分）【答案】（√）【解析】依据极值定理

5.若向量a与b共线，则存在实数k，使得a=kb（）（2分）【答案】（√）【解析】共线定义

6.若函数fx在[0,1]上连续，且f0=f1，则存在c∈0,1，使得fc=0（）（2分）【答案】（×）【解析】如fx=1，不成立

7.若级数∑n=1→∞a_n绝对收敛，则∑n=1→∞a_n也收敛（）（2分）【答案】（√）【解析】绝对收敛必收敛

8.若函数fx在x=0处可导，则fx在x=0处必光滑（）（2分）【答案】（×）【解析】可导不一定光滑

9.若矩阵A和B可逆，则矩阵A+B也可逆（）（2分）【答案】（×）【解析】如A=|10;01|，B=|-10;0-1|，可逆，但A+B=|00;00|不可逆

10.若函数fx在[0,1]上连续，则fx在[0,1]上必有界（）（2分）【答案】（√）【解析】连续函数在闭区间上有界

五、简答题（每题5分，共20分）

1.简述中值定理的内容及其几何意义（5分）【答案】中值定理若函数fx在闭区间[a,b]上连续，在开区间a,b上可导，则存在c∈a,b，使得fc=fb-fa/b-a几何意义切线斜率等于区间两端点连线的斜率

2.简述矩阵可逆的充要条件（5分）【答案】矩阵A可逆的充要条件|A|≠0，即行列式不为

03.简述级数收敛的必要条件（5分）【答案】级数∑a_n收敛的必要条件a_n→

04.简述向量线性相关的定义（5分）【答案】向量组a_1,a_2,...,a_n线性相关存在不全为0的常数k_1,k_2,...,k_n，使得k_1a_1+k_2a_2+...+k_na_n=0

六、分析题（每题10分，共20分）

1.分析函数fx=x^3-3x在[0,3]上的单调性和极值（10分）【答案】fx=3x^2-3=3x^2-1=3x-1x+1令fx=0，得x=±1，x=-1不在[0,3]上，舍去fx在0,1上0，1,3上0，故fx在0,1上单调减，1,3上单调增f1=-2为极小值，f0=0，f3=18，f3为最大值

2.分析级数∑n=1→∞-1^n/n^p的收敛性（10分）【答案】当p1时，绝对值级数∑1/n^p收敛，原级数绝对收敛当0p≤1时，原级数为交错级数，满足莱布尼茨判别法条件，收敛当p≤0时，通项不趋于0，级数发散综上p0时收敛，p≤0时发散

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.已知函数fx=x^2-4x+3，求fx在区间[1,3]上的最大值和最小值（25分）【答案】fx=2x-4，令fx=0，得x=2f1=0，f2=-1，f3=0比较得，最大值为f1=f3=0，最小值为f2=-

12.已知向量a=1,2,3，b=4,5,6，求向量a和b的夹角余弦值（25分）【答案】a·b=1×4+2×5+3×6=32，|a|=√1^2+2^2+3^2=√14，|b|=√4^2+5^2+6^2=√77cosθ=a·b/|a||b|=32/√14×√77=32/√1078=32/

32.8≈

0.970---完整标准答案

一、单选题

1.B

2.B

3.A

4.C

5.B

6.A

7.A

8.B

9.C

10.A

二、多选题

1.A、C

2.A、C

3.A、C

4.A、C、D

5.B、D

三、填空题

1.

62.√

103.-

364.2^xln

25.

26.

27.收敛

8.

1.5

四、判断题

1.（√）

2.（×）

3.（√）

4.（√）

5.（√）

6.（×）

7.（√）

8.（×）

9.（×）

10.（√）

五、简答题

1.中值定理若函数fx在闭区间[a,b]上连续，在开区间a,b上可导，则存在c∈a,b，使得fc=fb-fa/b-a几何意义切线斜率等于区间两端点连线的斜率

2.矩阵A可逆的充要条件|A|≠0，即行列式不为

03.级数∑a_n收敛的必要条件a_n→

04.向量组a_1,a_2,...,a_n线性相关存在不全为0的常数k_1,k_2,...,k_n，使得k_1a_1+k_2a_2+...+k_na_n=0

六、分析题

1.fx=3x^2-3=3x-1x+1，令fx=0，得x=±1，x=-1不在[0,3]上，舍去fx在0,1上0，1,3上0，故fx在0,1上单调减，1,3上单调增f1=-2为极小值，f0=0，f3=18，f3为最大值

2.当p1时，绝对值级数∑1/n^p收敛，原级数绝对收敛当0p≤1时，原级数为交错级数，满足莱布尼茨判别法条件，收敛当p≤0时，通项不趋于0，级数发散综上p0时收敛，p≤0时发散

七、综合应用题

1.fx=2x-4，令fx=0，得x=2f1=0，f2=-1，f3=0比较得，最大值为f1=f3=0，最小值为f2=-

12.a·b=1×4+2×5+3×6=32，|a|=√1^2+2^2+3^2=√14，|b|=√4^2+5^2+6^2=√77cosθ=a·b/|a||b|=32/√14×√77=32/√1078=32/

32.8≈

0.970。