广州一模数学试题全解与答案呈现

广州一模数学试题全解与答案呈现

一、单选题（每题2分，共20分）

1.函数fx=log₃x-1的定义域为（）（2分）A.-∞,1B.[1,+∞C.1,+∞D.-1,+∞【答案】C【解析】对数函数的定义域要求真数大于0，即x-10，解得x1，所以定义域为1,+∞

2.已知集合A={x|-1x3},B={x|x≥1},则A∩B等于（）（2分）A.-1,3B.[1,3C.1,3]D.[1,+∞【答案】B【解析】集合A与B的交集为两个集合的重合部分，即[1,

33.若复数z=1+i满足z²+az+b=0，其中a,b为实数，则a+b的值为（）（2分）A.-1B.0C.1D.2【答案】C【解析】将z=1+i代入方程得1+i²+a1+i+b=0，化简得2i+a+ai+b=0，比较实部和虚部得a+b=-2和a=-2，解得a=-2,b=0，所以a+b=-

24.一个圆锥的底面半径为3cm，母线长为5cm，则其侧面积为（）（2分）A.15πcm²B.20πcm²C.25πcm²D.30πcm²【答案】A【解析】圆锥侧面积公式为πrl，其中r为底面半径，l为母线长，代入数据得π×3×5=15πcm²

5.在△ABC中，若角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a²+b²=c²，则角C等于（）（2分）A.30°B.45°C.60°D.90°【答案】D【解析】根据勾股定理的逆定理，若a²+b²=c²，则△ABC为直角三角形，所以角C为90°

6.函数y=sin2x+π/3的最小正周期为（）（2分）A.πB.2πC.π/2D.π/4【答案】A【解析】正弦函数y=sinωx+φ的周期为2π/|ω|，所以周期为2π/2=π

7.已知直线l的方程为y=kx+b，且l过点1,2和3,0，则k的值为（）（2分）A.-1B.-2C.1D.2【答案】A【解析】将两点代入直线方程得两个方程2=k+b和0=3k+b，解得k=-1,b=

38.在等差数列{aₙ}中，若a₁=2，a₅=10，则其前10项和S₁₀等于（）（2分）A.50B.55C.60D.65【答案】C【解析】等差数列通项公式为aₙ=a₁+n-1d，代入数据得10=2+4d，解得d=2，所以S₁₀=10/22+10=

609.已知函数fx=e^x-x，则fx在x=0处的切线方程为（）（2分）A.y=e^xB.y=xC.y=e^x-1D.y=x-1【答案】B【解析】fx=e^x-1，f0=0，且f0=1，所以切线方程为y=f0+f0x-0，即y=x

10.已知直线l₁:ax+2y-1=0与直线l₂:x+a+1y+4=0平行，则a的值为（）（2分）A.-2B.1C.-1D.2【答案】A【解析】两直线平行则斜率相等，即-a/2=1/a+1，解得a=-2

二、多选题（每题4分，共20分）

1.下列函数中，在其定义域内为增函数的有（）（4分）A.y=-xB.y=2^xC.y=log₅xD.y=sinx【答案】B、C【解析】y=2^x和y=log₅x在其定义域内为增函数，y=-x为减函数，y=sinx为周期函数，非单调

2.在△ABC中，若角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足a²=b²+c²，则下列结论正确的有（）（4分）A.△ABC为直角三角形B.cosA=b/cC.sinA=c/bD.tanA=c/a【答案】A、B【解析】根据勾股定理，a²=b²+c²说明△ABC为直角三角形，且cosA=b/c，sinA=c/b，tanA=c/b

3.下列命题中，正确的有（）（4分）A.若ab，则a²b²B.若a²b²，则abC.若a0,b0，则a+ba²+b²D.若ab，则1/a1/b【答案】D【解析】命题A和B不一定正确，命题C不一定正确，命题D正确，因为ab则1/a1/b

4.已知函数fx=x³-3x+1，则下列说法正确的有（）（4分）A.fx在x=1处取得极大值B.fx在x=-1处取得极小值C.fx的图像关于原点对称D.fx有三个零点【答案】A、B【解析】fx=3x²-3，令fx=0得x=±1，f1=60，f-1=-60，所以x=1处取得极大值，x=-1处取得极小值fx不是奇函数，图像不关于原点对称fx有两个零点

5.已知某校高三

（1）班有50名学生，其中男生30人，女生20人，现要随机抽取5名学生参加活动，则抽到3名男生和2名女生的概率为（）（4分）A.C30,3×C20,2/C50,5B.P30,3×P20,2/P50,5C.C30,3/C50,5D.P30,2×P20,3/P50,5【答案】A【解析】抽到3名男生和2名女生的概率为C30,3×C20,2/C50,5

三、填空题（每题4分，共20分）

1.若等比数列{aₙ}中，a₂=6，a₅=162，则其通项公式为aₙ=______（4分）【答案】18×3^n-2【解析】等比数列通项公式为aₙ=a₁q^n-1，由a₂=a₁q=6，a₅=a₁q⁴=162，解得q=3，a₁=2，所以aₙ=2×3^n-1=18×3^n-

22.函数fx=√x-1的定义域为______，值域为______（4分）【答案】[1,+∞；[0,+∞【解析】根式内部大于等于0，所以x-1≥0，即x≥1，定义域为[1,+∞，值域为[0,+∞

3.在△ABC中，若角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足a=3，b=4，c=5，则cosB=______（4分）【答案】3/5【解析】根据余弦定理，cosB=a²+c²-b²/2ac=3²+5²-4²/2×3×5=3/

54.已知直线l₁:2x+y-1=0与直线l₂:ax-3y+4=0垂直，则a的值为______（4分）【答案】-9/2【解析】两直线垂直则斜率之积为-1，即2×a/3=-1，解得a=-3/2×2=-9/

25.已知函数fx=sin2x+π/4，则fx在区间[0,π/2]上的最大值为______，最小值为______（4分）【答案】√2/2；-√2/2【解析】令2x+π/4=π/2+2kπ得x=π/8+kπ，此时fx取最大值√2/2；令2x+π/4=3π/2+2kπ得x=5π/8+kπ，此时fx取最小值-√2/2

四、判断题（每题2分，共10分）

1.若a²b²，则|a||b|（）（2分）【答案】（×）【解析】如a=-3,b=2，则a²=9b²=4，但|a|=3|b|=

22.函数y=cosx在区间[0,π]上是增函数（）（2分）【答案】（×）【解析】函数y=cosx在区间[0,π]上是减函数

3.若复数z=a+bia,b为实数满足z²是实数，则b必须为0（）（2分）【答案】（×）【解析】如z=i，则z²=-1为实数，但b=1不为

04.已知直线l₁:x+2y-1=0与直线l₂:2x+ky+4=0平行，则k的值为-4（）（2分）【答案】（×）【解析】两直线平行则斜率相等，即1/2=-k/2，解得k=-

45.在等差数列{aₙ}中，若a₁=5，d=-2，则aₙ=5-2n-1（）（2分）【答案】（√）【解析】等差数列通项公式为aₙ=a₁+n-1d，代入数据得aₙ=5-2n-1

五、简答题（每题4分，共20分）

1.已知函数fx=x²-4x+3，求fx在区间[1,4]上的最大值和最小值（4分）【答案】最大值为5，最小值为-1【解析】fx=2x-4，令fx=0得x=2，f1=0，f2=-1，f4=5，所以最大值为5，最小值为-

12.已知直线l₁:2x+y-1=0与直线l₂:x+y+k=0相交于点P，且∠OPP₁=45°，求k的值（4分）【答案】k=-1或k=-3【解析】直线l₁与l₂的斜率分别为-2和-1，夹角为45°，所以|-2--1|/√-2²+1²=1/√5=sin45°=√2/2，解得k=-1或k=-

33.已知等比数列{aₙ}中，a₁=1，a₄=16，求其前5项和S₅（4分）【答案】31【解析】等比数列通项公式为aₙ=a₁q^n-1，由a₁=1，a₄=16得q³=16，解得q=2，所以S₅=1-2⁵/1-2=

314.已知函数fx=sin2x+π/3，求fx在区间[0,π]上的零点个数（4分）【答案】4个【解析】令sin2x+π/3=0得2x+π/3=kπ，x=kπ-π/3/2，在区间[0,π]上k=0,1,2,3，所以有4个零点

5.已知直线l₁:ax+3y-1=0与直线l₂:3x+by+4=0平行，求a与b的关系（4分）【答案】a=9/2b【解析】两直线平行则斜率相等，即-a/3=3/b，解得a=9/2b

六、分析题（每题12分，共24分）

1.已知函数fx=x³-3x²+2，求fx的单调区间（12分）【答案】增区间为-∞,0和2,+∞，减区间为0,2【解析】fx=3x²-6x=3xx-2，令fx=0得x=0或x=2，fx=6x-6，f0=-60，f2=60，所以x=0处取得极大值，x=2处取得极小值，所以增区间为-∞,0和2,+∞，减区间为0,

22.已知等差数列{aₙ}中，a₁=2，Sₙ=45，求通项公式aₙ（12分）【答案】aₙ=3n-1【解析】等差数列前n项和公式为Sₙ=n/22a₁+n-1d，由Sₙ=45得n/24+n-1d=45，令n=5得d=3，所以aₙ=2+n-1×3=3n-1

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.已知函数fx=x³-ax+1在x=1处取得极值，求a的值，并判断该极值是极大值还是极小值（25分）【答案】a=3，极小值【解析】fx=3x²-a，令f1=0得a=3，fx=6x，f1=60，所以x=1处取得极小值

2.已知直线l₁:2x+y-1=0与直线l₂:x+y+k=0相交于点P，且∠OPP₁=45°，求k的值（25分）【答案】k=-1或k=-3【解析】直线l₁与l₂的斜率分别为-2和-1，夹角为45°，所以|-2--1|/√-2²+1²=1/√5=sin45°=√2/2，解得k=-1或k=-3

八、标准答案。