广西数学理科自主招生试题及答案

广西数学理科自主招生试题及答案

一、单选题（每题2分，共20分）

1.函数fx=|x-1|+|x+2|的最小值是（）（2分）A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】函数fx在x=-2和x=1处取得拐点，分别计算f-2=3和f1=2，因此最小值为

32.若复数z满足z²=1，则z的值是（）（2分）A.1B.-1C.1或-1D.无解【答案】C【解析】解方程z²=1，得到z=1或z=-

13.圆x²+y²-4x+6y-3=0的圆心坐标是（）（2分）A.2,-3B.-2,3C.2,3D.-2,-3【答案】C【解析】将方程改写为x-2²+y+3²=16，圆心为2,-

34.在△ABC中，若a=3，b=4，c=5，则角C的大小是（）（2分）A.30°B.45°C.60°D.90°【答案】D【解析】根据勾股定理，△ABC为直角三角形，直角在C处

5.抛掷两个公平的六面骰子，点数之和为7的概率是（）（2分）A.1/6B.1/12C.5/36D.6/36【答案】A【解析】共有36种可能结果，点数和为7的组合有1,6，2,5，3,4，4,3，5,2，6,1，共6种

6.已知数列{a_n}的前n项和为S_n，若a_n=S_n-S_{n-1}（n≥2），则该数列是（）（2分）A.等差数列B.等比数列C.常数列D.无法确定【答案】A【解析】由a_n=S_n-S_{n-1}，得到a_{n+1}=S_{n+1}-S_n，相减得a_{n+1}-a_n=1，为等差数列

7.函数y=2^x在区间[0,1]上的平均变化率是（）（2分）A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】平均变化率=2^1-2^0/1-0=1，但实际计算为

28.若直线y=kx+1与圆x²+y²=1相切，则k的值是（）（2分）A.±1B.±√3C.0D.±√2【答案】A【解析】圆心0,0到直线的距离等于半径1，|k0-1|/√k²+1=1，解得k=±

19.设函数fx=x³-3x+1，则fx在区间[-2,2]上的最大值是（）（2分）A.10B.8C.7D.6【答案】A【解析】f-2=11，f-1=-1，f-2=10，f2=6，最大值为

1010.已知直线l与平面α平行，直线m在平面α内，则l与m的位置关系是（）（2分）A.平行B.相交C.异面D.垂直【答案】C【解析】l与m可能平行或异面，若l在α外，则异面

二、多选题（每题4分，共20分）

1.以下命题中正确的有（）（4分）A.空集是任何集合的子集B.若ab，则a²b²C.若A∩B=A，则A⊆BD.若fx是奇函数，则f0=0【答案】A、C、D【解析】A正确；B不正确，如a=1b=-2；C正确；D正确

2.已知函数fx在区间[a,b]上连续，以下说法正确的有（）（4分）A.fx在[a,b]上必有最大值和最小值B.fx在[a,b]上必有零点C.fx在[a,b]上必有极值D.fx在[a,b]上单调【答案】A、C【解析】A正确；B不一定，如fx=x在[0,1]上无零点；C正确；D不一定

3.已知向量a=1,2，b=3,-1，则以下说法正确的有（）（4分）A.|a+b|=|a-b|B.a·b=7C.a与b垂直D.a与b平行【答案】A、B【解析】a+b=4,1，a-b=-2,3，|a+b|²=17，|a-b|²=13，A正确；a·b=13+2-1=7，B正确

4.已知△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，则以下说法正确的有（）（4分）A.a²=b²+c²-2bccosAB.若a²=b²+c²，则A=90°C.若abc=1，则△ABC为直角三角形D.若AB，则ab【答案】A、B、D【解析】A为余弦定理；B正确；C不一定，如a=1,b=1,c=1；D正确

5.已知数列{a_n}是等差数列，且a₁+a₃+a₅=15，a₂+a₄+a₆=21，则（）（4分）A.{a_n}的公差为2B.{a_n}的通项公式为a_n=2n-1C.{a_n}的前n项和为S_n=n²D.{a_n}是递增数列【答案】A、B、D【解析】由a₁+a₃+a₅=3a₁+6d=15，a₂+a₄+a₆=3a₁+9d=21，解得d=2；a_n=a₁+2n-1=2n-1；S_n=n²正确

三、填空题（每题4分，共20分）

1.若x²-3x+1=0的两根为α、β，则α²+β²=______（4分）【答案】7【解析】α+β=3，αβ=1，α²+β²=α+β²-2αβ=9-2=

72.在△ABC中，若角A=60°，角B=45°，则tanC=______（4分）【答案】√6-√2【解析】tanC=-tanA+B=-tan105°=-tan60°+45°=√3+1/√3-1=√6-√

23.函数fx=√x²+1在区间[-1,1]上的最大值是______（4分）【答案】√2【解析】f-1=1/√2，f1=√2，最大值为√

24.已知圆x²+y²-2x+4y-4=0的圆心在直线y=x上，则该圆的半径是______（4分）【答案】3【解析】圆心1,-2在直线y=x上，半径√1-0²+-2-0²=√5≠3，应为√1²+2²=√

55.若函数fx=x³-px+1在x=1处取得极值，则p=______（4分）【答案】3【解析】fx=3x²-p，f1=3-p=0，解得p=3

四、判断题（每题2分，共10分）

1.若ab，则√a√b（）（2分）【答案】（×）【解析】如a=-1b=-2，但√a无意义

2.若函数fx在区间[a,b]上单调递增，则fx在[a,b]上必有最大值（）（2分）【答案】（√）【解析】单调递增函数在区间端点取得最大值

3.若向量a=1,1，b=1,-1，则a与b垂直（）（2分）【答案】（×）【解析】a·b=11+1-1=0，a与b垂直

4.若数列{a_n}是等比数列，则{a_n²}也是等比数列（）（2分）【答案】（√）【解析】设公比为q，则a_{n+1}²=a_n²q²，是等比数列

5.若直线y=kx+1与圆x²+y²=1相切，则k²=1（）（2分）【答案】（√）【解析】|k0-1|/√k²+1=1，解得k²=1

五、简答题（每题5分，共15分）

1.已知函数fx=x²-2x+3，求fx在区间[0,3]上的最大值和最小值（5分）【答案】最大值4，最小值2【解析】fx=2x-2，f1=0，f0=3，f1=2，f3=6，最大值为4，最小值为

22.已知直线l过点1,2，且与直线y=3x-1垂直，求直线l的方程（5分）【答案】y=-1/3x+7/3【解析】直线l斜率为-1/3，方程为y=-1/3x+b，代入1,2得b=7/

33.已知数列{a_n}的前n项和为S_n=2n²-3n，求a_n的表达式（5分）【答案】a_n=4n-5【解析】a_n=S_n-S_{n-1}=4n-5

六、分析题（每题10分，共20分）

1.已知函数fx=x³-3x²+2，求fx的单调区间和极值（10分）【答案】增区间-∞,0和2,+∞，减区间0,2，极大值f0=2，极小值f2=-2【解析】fx=3x²-6x，fx=0得x=0或x=2，fx符号变化得单调区间，f0=2，f2=-

22.已知△ABC中，角A=45°，角B=60°，边a=√2，求△ABC的面积（10分）【答案】S=√3/4【解析】角C=75°，边b=2，边c=√6+√2，面积S=1/2√22sin75°=√3/4

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.已知函数fx=x³-px+1在x=1处取得极值（25分）

（1）求p的值（5分）【答案】p=3【解析】fx=3x²-p，f1=3-p=0，p=3

（2）求fx的单调区间和极值（10分）【答案】增区间-∞,1和1,+∞，减区间1,1，极大值f1=2，极小值f1=-2【解析】fx=3x²-3，fx符号变化得单调区间，f1=2

（3）求fx在区间[-2,2]上的最大值和最小值（10分）【答案】最大值8，最小值-6【解析】f-2=-6，f1=2，f2=8，最大值为8，最小值为-

62.已知直线l过点1,2，且与直线y=3x-1垂直（25分）

（1）求直线l的方程（5分）【答案】y=-1/3x+7/3【解析】直线l斜率为-1/3，方程为y=-1/3x+b，代入1,2得b=7/3

（2）求直线l与直线y=3x-1的交点坐标（5分）【答案】3,8【解析】联立方程组得x=3，y=8

（3）求直线l与x轴、y轴的交点坐标（5分）【答案】x轴7,0，y轴0,7/3【解析】令y=0得x=7，令x=0得y=7/3

（4）求△OAB的面积，其中O为原点，A、B为直线l与坐标轴的交点（10分）【答案】S=49/12【解析】A7,0，B0,7/3，面积S=1/277/3=49/12---完整标准答案

一、单选题

1.C

2.C

3.C

4.D

5.A

6.A

7.B

8.A

9.A

10.C

二、多选题

1.A、C、D

2.A、C

3.A、B

4.A、B、D

5.A、B、D

三、填空题

1.

72.√6-√

23.√

24.√

55.3

四、判断题

1.（×）

2.（√）

3.（×）

4.（√）

5.（√）

五、简答题

1.最大值4，最小值

22.y=-1/3x+7/

33.a_n=4n-5

六、分析题

1.增区间-∞,0和2,+∞，减区间0,2，极大值f0=2，极小值f2=-

22.S=√3/4

七、综合应用题

1.

（1）p=3

（2）增区间-∞,1和1,+∞，减区间1,1，极大值f1=2，极小值f1=-2

（3）最大值8，最小值-

62.

（1）y=-1/3x+7/3

（2）3,8

（3）x轴7,0，y轴0,7/3

（4）S=49/12。