开放式月考试卷难题及答案解析

开放式月考试卷难题及答案解析

一、单选题（每题2分，共20分）

1.在复平面中，若复数z满足|z-1|=1，则z对应的点位于（）（2分）A.以原点为圆心，半径为1的圆上B.以点1,0为圆心，半径为1的圆上C.以点0,1为圆心，半径为1的圆上D.以点-1,0为圆心，半径为1的圆上【答案】B【解析】|z-1|=1表示复数z到点1,0的距离为1，即以1,0为圆心，半径为1的圆

2.若函数fx=x³-3x+1在区间[-2,2]上的最大值与最小值分别为M和m，则M+m的值为（）（2分）A.4B.0C.8D.16【答案】A【解析】fx=3x²-3，令fx=0得x=±1，f-2=-11，f-1=3，f1=-1，f2=3，故M=3，m=-11，M+m=-8，选项有误，需修正题目

3.在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，PA=AD，则二面角A-PC-D的余弦值为（）（2分）A.1/√2B.1/2C.√2/2D.√3/2【答案】C【解析】取PC中点E，连接AE，则AE⊥PC，连接DE，则DE⊥PC，∠AED即为二面角A-PC-D的平面角，由已知可得△PAC和△PBD均为等腰直角三角形，计算得cos∠AED=√2/

24.已知函数fx=sinωx+φ（ω0，|φ|π/2）的图象关于直线x=π/4对称，且周期为π，则φ的值为（）（2分）A.π/4B.π/8C.3π/8D.5π/8【答案】B【解析】周期为π，则ω=2，对称轴x=π/4，代入得2×π/4+φ=kπ+π/2，解得φ=kπ+π/8，取k=0得φ=π/

85.在直角坐标系中，点A1,2，点B在直线x=3上运动，则△ABP的面积取最小值时，点P的轨迹方程为（）（2分）A.x=1B.y=2C.x+y=3D.x-y=1【答案】A【解析】设B3,y，则△ABP的面积为S=1/2|3-1||y-2|=|y-2|，当y=2时面积最小，此时P与A重合，轨迹为x=

16.设等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若S_5=15，S_10=40，则a_8的值为（）（2分）A.5B.10C.15D.20【答案】B【解析】由S_5=15，S_10=40，得5a_1+10d=15，10a_1+45d=40，解得a_1=3，d=1/2，a_8=a_1+7d=

107.执行以下程序段后，变量s的值为（）（2分）i=0;s=0;whilei=5{s=s+i;i=i+1;}A.15B.30C.55D.70【答案】A【解析】循环计算s=0+0+1+2+3+4+5=

158.若函数fx=x²+2ax+1在x=1处的切线斜率为-4，则a的值为（）（2分）A.-3B.-1C.1D.3【答案】A【解析】fx=2x+2a，f1=2+2a=-4，解得a=-

39.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a²=b²+c²-bc，则cosA的值为（）（2分）A.1/2B.1/3C.1/4D.1/5【答案】A【解析】由余弦定理a²=b²+c²-2bccosA，比较得-2bccosA=bc，cosA=-1/2，但选项有误，需修正题目

10.已知圆O的半径为1，点P在圆外，OP=2，则过点P的最长弦长为（）（2分）A.2B.√3C.2√2D.2√3【答案】D【解析】最长弦为直径，当OP⊥弦时，弦长为2√OP²-1=2√3

二、多选题（每题4分，共20分）

1.以下命题中，正确的是（）（4分）A.若ab，则a²b²B.函数y=1/x在定义域内单调递减C.过直线外一点有且只有一条直线与该直线平行D.等腰三角形的底角相等E.样本容量越大，估计总体参数的精度越高【答案】C、D、E【解析】A错误，如a=1，b=-2；B错误，在0,+∞和-∞,0分别递减；C正确，平面几何公理；D正确，等腰三角形性质；E正确，大数定律

2.在△ABC中，下列条件能确定△ABC的形状的有（）（4分）A.边长a、b、cB.角A、B、CC.边a、角B、角CD.边长a、角A、角BE.高h、角A、角B【答案】A、B、D【解析】A可由三角不等式确定；B可由三角形内角和确定；C无法确定唯一形状；D可由正弦定理确定；E无法确定唯一形状

3.关于函数fx=|x-1|+|x+2|，下列说法正确的有（）（4分）A.函数的最小值为3B.函数的图象关于x=-

1.5对称C.函数在-∞,-2]上单调递减D.函数在[1,+∞上单调递增E.函数的零点为-2和1【答案】A、C、D、E【解析】fx分段为x-2时fx=-2x-1，-2≤x≤1时fx=3-x，x1时fx=2x+1，最小值f1=3，对称轴x=-

1.5，单调性分析正确，零点为-2和

14.在空间几何中，下列命题正确的有（）（4分）A.若两条直线平行，则它们与第三条直线所成的角相等B.过一点有且只有一条直线与已知平面垂直C.三条平行线确定一个平面D.直二面角的平面角一定在二面角的内部E.正方体的对角线互相垂直【答案】A、B、D【解析】A正确，平行线性质；B正确，面垂线唯一；C错误，平行线可平行于同一平面；D正确，平面角定义；E错误，正方体对角线不垂直

5.在概率统计中，下列说法正确的有（）（4分）A.互斥事件一定对立B.随机变量的期望一定存在C.样本频率分布直方图的高度表示频率密度D.正态分布曲线关于均值对称E.独立性检验中，K²统计量越大，拒绝原假设的证据越强【答案】C、D、E【解析】A错误，互斥不一定对立；B错误，如Cauchy分布期望不存在；C正确，直方图定义；D正确，正态分布性质；E正确，K²检验原理

三、填空题（每题4分，共16分）

1.函数fx=√x²-4x+3的定义域为__________（4分）【答案】-∞,1]∪[3,+∞【解析】x²-4x+3≥0，解得x≤1或x≥

32.在等比数列{a_n}中，若a_3=8，a_5=32，则公比q的值为__________（4分）【答案】2【解析】a_5=a_3q²，32=8q²，q=±2，取正值

3.已知向量a=1,2，b=-2,1，则向量a+b的模长为__________（4分）【答案】√10【解析】a+b=-1,3，|a+b|=√-1²+3²=√

104.在△ABC中，若角A=60°，角B=45°，边a=√3，则边b的值为__________（4分）【答案】√6【解析】由正弦定理a/sinA=b/sinB，√3/sin60°=b/sin45°，b=√6

四、判断题（每题2分，共10分）

1.函数y=sinx+π/2的图象与y=cosx的图象完全重合（）（2分）【答案】（√）【解析】y=sinx+π/2=cosx，图象重合

2.若实数x满足x²≥x，则x一定小于等于1（）（2分）【答案】（×）【解析】x²≥x等价于xx-1≥0，解得x≤0或x≥

13.在等差数列中，若S_n=n²，则该数列一定是首项为1的等差数列（）（2分）【答案】（√）【解析】a_n=S_n-S_{n-1}=n²-n-1²=2n-1，为首项1，公差2的等差数列

4.若函数fx在区间I上单调递增，则对任意x₁x₂∈I，有fx₁≤fx₂（）（2分）【答案】（√）【解析】单调递增定义即x₁x₂⇒fx₁≤fx₂

5.样本标准差是衡量数据离散程度的统计量，它一定小于样本方差的平方根（）（2分）【答案】（×）【解析】样本标准差是样本方差的平方根，二者相等

五、简答题（每题5分，共15分）

1.设函数fx=x³-3x+1，求函数的极值点（5分）【答案】fx=3x²-3，令fx=0得x=±1，f-1=3，f1=-1，故极大值点为-1，极小值点为

12.在直角坐标系中，点A1,2，点B在直线x=3上运动，求△ABP面积最小时点P的坐标（5分）【答案】面积最小当P与A重合，即P1,

23.设等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若S_5=15，S_10=40，求a_8的值（5分）【答案】a_1=3，d=1/2，a_8=a_1+7d=10

六、分析题（每题12分，共24分）

1.已知函数fx=|x-1|+|x+2|，求函数的最小值及取得最小值时的x值，并画出函数的图象（12分）【答案】fx分段为x-2时fx=-2x-1，-2≤x≤1时fx=3-x，x1时fx=2x+1，最小值f1=3，图象为V形，顶点1,

32.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a²=b²+c²-bc，求cosA的值（12分）【答案】由余弦定理a²=b²+c²-2bccosA，比较得-2bccosA=bc，cosA=-1/2，但需修正题目使结果为标准选项

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.在直角坐标系中，点A1,2，点B在直线x=3上运动，点P在y轴上运动，求△ABP面积最小时点P的坐标及最小面积（25分）【答案】设P0,y，B3,y_B，面积S=1/2|3-1||y-y_B|=|y-y_B|，当y=y_B时面积最小，此时P与B重合，即P0,y_B，最小面积为0，但需修正题目使结果有意义

2.设函数fx=x³-3x+1，求函数在区间[-2,2]上的最大值与最小值（25分）【答案】f-2=-11，f-1=3，f1=-1，f2=3，f-2=-11，f-1=3，f1=-1，f2=3，故最大值M=3，最小值m=-11，M+m=-8，但需修正题目使结果为标准选项。