微积分2考试必做题目及标准答案

微积分2考试必做题目及标准答案

一、单选题（每题2分，共20分）

1.下列函数中，在x=0处不可导的是（）（2分）A.y=2x+1B.y=x^2C.y=|x|D.y=lnx+1【答案】C【解析】绝对值函数在x=0处不可导

2.极限limx→0sinx/x的值是（）（2分）A.0B.1C.∞D.-1【答案】B【解析】利用基本极限limx→0sinx/x=

13.函数fx=e^x在区间[0,1]上的平均变化率是（）（2分）A.eB.1C.e-1D.1/e【答案】C【解析】平均变化率=e^1-e^0/1=e-

14.曲线y=x^3在点1,1处的切线斜率是（）（2分）A.1B.3C.1/3D.9【答案】B【解析】y=3x^2，在x=1处y=

35.下列级数中，收敛的是（）（2分）A.∑n=1to∞1/nB.∑n=1to∞1/n^2C.∑n=1to∞-1^nD.∑n=1to∞n/2^n【答案】B【解析】p-级数，p=21收敛

6.函数fx=sinx在区间[0,2π]上的积分值是（）（2分）A.0B.1C.2D.π【答案】A【解析】sinx在[0,π]和[π,2π]上面积相等且相反

7.下列函数中，在x=0处取得极小值的是（）（2分）A.y=x^2B.y=-x^2C.y=x^3D.y=-x^3【答案】A【解析】y=2x，x=0处y=20，取得极小值

8.函数fx=lnx+1在区间[0,1]上的积分中值是（）（2分）A.1/2B.1C.ln2D.e-1【答案】A【解析】积分中值=1/区间长度×积分值=1/1×ln1+1-ln1=1/

29.下列级数中，绝对收敛的是（）（2分）A.∑n=1to∞-1^n/nB.∑n=1to∞1/n^2C.∑n=1to∞-1^n/n^2D.∑n=1to∞sinnπ/2【答案】C【解析】绝对收敛要求|a_n|收敛，-1^n/n^2绝对值级数收敛

10.函数fx=x^2在区间[0,1]上的定积分表示的面积是（）（2分）A.1/2B.1C.2D.π【答案】A【解析】∫0to1x^2dx=x^3/3|_0to1=1/3

二、多选题（每题4分，共20分）

1.下列函数中，在x=0处可导的有（）（4分）A.y=3x^2B.y=√xC.y=cosxD.y=ln1+x【答案】A、C、D【解析】√x在x=0处不可导，其他函数在x=0处可导

2.下列级数中，条件收敛的有（）（4分）A.∑n=1to∞-1^n/nB.∑n=1to∞-1^n/n^2C.∑n=1to∞1/n^pD.∑n=1to∞-1^nsinnπ/2【答案】A、D【解析】交错级数条件收敛要求lima_n=0且a_n单调递减，A和D满足

3.下列函数中，在x→∞时极限存在且为0的有（）（4分）A.y=1/xB.y=x/x^2+1C.y=e^-xD.y=lnx+1/x【答案】A、B、C【解析】lnx+1/x在x→∞时极限为

04.下列函数中，在区间[0,1]上连续的有（）（4分）A.y=tanxB.y=1/xC.y=√1-x^2D.y=secx【答案】C【解析】tanx在x=π/2不连续，1/x在x=0不连续，secx在x=π/2不连续

5.下列级数中，发散的有（）（4分）A.∑n=1to∞1/n^pB.∑n=1to∞-1^n/nC.∑n=1to∞1/n+1D.∑n=1to∞1/n^2【答案】C【解析】p-级数p1收敛，n+1级数与1/n级数发散

三、填空题（每题4分，共32分）

1.函数fx=x^3-3x在x=1处的导数值是______（4分）【答案】0【解析】fx=3x^2-3，f1=3-3=

02.极限limx→2x^2-4/x-2的值是______（4分）【答案】4【解析】分子分母因式分解约去x-2，极限为2^2=

43.函数fx=e^x在区间[0,1]上的积分中值是______（4分）【答案】e-1/e【解析】积分中值=1/区间长度×积分值=1/1×e^1-e^0=e-1/e

4.曲线y=x^2在点1,1处的法线斜率是______（4分）【答案】-1/2【解析】y=2x，切线斜率2，法线斜率-1/

25.级数∑n=1to∞1/2^n的和是______（4分）【答案】1/2【解析】等比级数首项1/2，公比1/2，和=首项/1-公比=1/2/1-1/2=

16.函数fx=sinx在区间[0,π]上的积分值是______（4分）【答案】2【解析】∫0toπsinxdx=-cosx|_0toπ=--1-1=

27.级数∑n=1to∞-1^n/n发散还是收敛？______（4分）【答案】条件收敛【解析】交错级数lim1/n=0且单调递减，条件收敛

8.函数fx=lnx+1在x=0处的泰勒展开式的前三项是______（4分）【答案】x-x^2/2+x^3/3【解析】fx=1/x+1，fx=-1/x+1^2，fx=2/x+1^3，x=0处展开x-x^2/2+x^3/3

四、判断题（每题2分，共10分）

1.所有连续函数都可导（）（2分）【答案】（×）【解析】如y=|x|在x=0处连续但不可导

2.如果级数∑a_n收敛，则∑|a_n|也收敛（）（2分）【答案】（×）【解析】绝对收敛才推出条件收敛

3.函数fx=x^2在区间[0,1]上的积分表示的面积是负数（）（2分）【答案】（×）【解析】积分表示的面积总是非负数

4.所有发散的级数都是p-级数（）（2分）【答案】（×）【解析】发散级数有多种类型，不一定是p-级数

5.函数fx=sinx在区间[0,2π]上的积分值为π（）（2分）【答案】（×）【解析】积分值为0，因为正负面积抵消

五、简答题（每题4分，共12分）

1.简述导数的几何意义是什么？（4分）【答案】导数表示曲线在某点处的切线斜率

2.简述交错级数收敛的必要条件是什么？（4分）【答案】交错级数收敛要求lima_n=0且a_n单调递减

3.简述定积分的几何意义是什么？（4分）【答案】定积分表示曲线与x轴围成的面积

六、分析题（每题10分，共20分）

1.分析函数fx=x^3-3x^2+2在区间[-1,3]上的单调性和极值点（10分）【答案】fx=3x^2-6x，令fx=0得x=0,2，f-1=6，f0=2，f2=-2，f3=0，单调性-1,0增，0,2减，2,3增，极值点x=0处极大值2，x=2处极小值-

22.分析级数∑n=1to∞n/n+1^n+1的收敛性（10分）【答案】利用比值法limn→∞|n+1/n+2^n+2/n^n+1|=limn→∞n+1/[n+2n+2/n^n+1]=0，收敛

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.计算定积分∫0toπ/2sin^3xcosxdx，并说明几何意义（25分）【答案】令u=sinx，du=cosxdx，∫0toπ/2sin^3xcosxdx=∫0to1u^3du=u^4/4|_0to1=1/4，几何意义sin^3xcosx在[0,π/2]上的积分表示曲线与x轴围成的面积

2.求函数fx=x^3-3x^2+2的拐点，并分析其凹凸性（25分）【答案】fx=6x-6，令fx=0得x=1，凹凸性-∞,1凹，1,+∞凸，拐点1,0

八、标准答案

一、单选题

1.C

2.B

3.C

4.B

5.B

6.A

7.A

8.A

9.C

10.A

二、多选题

1.A、C、D

2.A、D

3.A、B、C

4.C

5.C

三、填空题

1.

02.

43.e-1/e

4.-1/

25.

16.

27.条件收敛

8.x-x^2/2+x^3/3

四、判断题

1.×

2.×

3.×

4.×

5.×

五、简答题

1.导数表示曲线在某点处的切线斜率

2.交错级数收敛要求lima_n=0且a_n单调递减

3.定积分表示曲线与x轴围成的面积

六、分析题

1.单调性-1,0增，0,2减，2,3增；极值点x=0处极大值2，x=2处极小值-

22.收敛，利用比值法limn→∞|n+1/n+2^n+2/n^n+1|=0

七、综合应用题

1.积分值1/4，几何意义sin^3xcosx在[0,π/2]上的积分表示曲线与x轴围成的面积

2.拐点1,0，凹凸性-∞,1凹，1,+∞凸。