探寻宁波八校联考数学试题及答案

探寻宁波八校联考数学试题及答案

一、单选题（每题2分，共20分）

1.若集合A={x|x²-3x+2=0},B={x|x²-ax+1=0},且B⊆A，则实数a的值为（）（2分）A.1B.2C.1或2D.1或-2【答案】C【解析】A={1,2}，当B=∅时，Δ=a²-40，得-2a2；当B={1}时，a=2；当B={2}时，a=1，综上a=1或

22.函数fx=lg2x-1的定义域为（）（2分）A.0,+\inftyB.1/2,+\inftyC.1/2,2D.R【答案】B【解析】需2x-10，得x1/

23.已知向量a=1,2,b=-2,3，则向量a+b的模长为（）（2分）A.√13B.√14C.√15D.√17【答案】A【解析】a+b=-1,5，|a+b|=√-1²+5²=√

264.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a²+b²-c²=ab，则cosC等于（）（2分）A.1/2B.1/3C.1/4D.1/5【答案】A【解析】cosC=a²+b²-c²/2ab=ab/2ab=1/

25.抛掷一枚质地均匀的骰子两次，则两次出现的点数之和为6的概率是（）（2分）A.1/6B.1/12C.5/36D.1/18【答案】A【解析】基本事件共36个，点数和为6的基本事件有1,5,2,4,3,3,4,2,5,1，共5个

6.已知直线l:ax+2y-1=0与直线3x-y+4=0垂直，则实数a的值为（）（2分）A.-2/3B.2/3C.3/2D.2【答案】A【解析】两直线垂直则k₁k₂=-1，即a-1/3=-1，得a=3，但需重新检验垂直条件，实际a=-2/

37.若复数z满足|z|=1且argz=π/3，则z²的辐角主值是（）（2分）A.2π/3B.4π/3C.π/3D.5π/3【答案】A【解析】z²=|z|²e^i2argz=e^i4π/3，其辐角主值为2π/

38.某几何体的三视图如右图所示（略），该几何体是（）（2分）A.圆锥B.三棱柱C.四棱锥D.圆台【答案】C【解析】主视图为矩形，俯视图为四边形，侧视图为三角形，符合四棱锥特征

9.在等差数列{a_n}中，若a₁+a₃+a₅=15，则a₂+a₄+a₆等于（）（2分）A.20B.30C.45D.60【答案】B【解析】由等差性质a₁+a₅=2a₃，得3a₃=15，即a₃=5，则3a₅=45，故a₅=15，a₂+a₄+a₆=3a₄=

3010.已知fx是定义在R上的奇函数，且f1=2，fx+2=fx+3，则f5等于（）（2分）A.4B.5C.7D.8【答案】C【解析】f3=f1+3=5，f5=f3+3=8，f5=-f-5=-f1=-2，矛盾，需修正f5=f3+3=8，f-1=-f1=-2，f3=-f1+3=5，f5=f3+3=8，矛盾，实际f5=f3+3=8

二、多选题（每题4分，共20分）

1.下列命题中正确的是（）（4分）A.若ab，则a²b²B.若fx为偶函数，则其图象关于y轴对称C.在△ABC中，若a²=b²+c²，则△ABC为直角三角形D.若数列{a_n}单调递增，则对任意n，有a_n+1a_nE.若直线l₁:ax+by+c=0与l₂:mx+ny+p=0平行，则a/m=b/n【答案】B、C、D【解析】A不正确，如a=2b=-1，但a²=4b²=1；E不正确，需c/p≠b/n

2.函数y=sin2x+π/4的部分图象可能是（）（4分）

①图象关于原点对称

②图象关于直线x=π/8对称

③图象经过点π/4,√2/2

④图象在π/8,3π/8上单调递减【答案】

②、

③、

④【解析】

①不正确，f0=√2/2≠0；

②正确，fπ/8=√2/2；

③正确；

④正确，fx=2cos2x+π/

403.在等比数列{b_n}中，若b₁=1，b₃=8，则（）（4分）A.b₅=64B.b₂²=b₄C.公比q=2D.b₇=b₁+b₆E.前n项和S_n=2^n-1【答案】A、B、C【解析】b₃=b₁q²=8，得q=2；A正确，b₅=b₁q⁴=64；B正确，b₂²=b₁q³=b₄；C正确；D不正确；E不正确，S_n=2^n-

14.已知点A1,2，B3,0，则下列说法正确的是（）（4分）

①线段AB的垂直平分线方程为x-y+1=0

②△OAB的面积为3

③点C在直线AB上，若AC=BC，则C2,1

④直线AB的倾斜角为π/3

⑤若直线l过点2,1且与AB平行，则l:x-y-1=0【答案】

①、

②、

③【解析】

①正确，中点2,1，斜率k_AB=-2，垂直平分线k=1/2，得x-y+1=0；

②正确，S=1/2|10-32|=3；

③正确，设Cx,y，由AC²=BC²得x²+y-2²=x-3²+y²，解得C2,1；

④不正确，k_AB=-2，倾斜角为π-π/3=2π/3；

⑤不正确，l:x-y-1=

05.执行下列程序框图（略），若输入n=5，则输出的S值是（）（4分）

①S=1

②循环变量i从1到n

③S=S+i

④输出S【答案】15【解析】i=1→S=1+1=2；i=2→S=2+2=4；i=3→S=4+3=7；i=4→S=7+4=11；i=5→S=11+5=16

三、填空题（每题4分，共20分）

1.不等式|3x-1|5的解集为________（4分）【答案】-4/3,2【解析】-53x-15，得-4/3x

22.抛掷两枚均匀硬币，则恰好出现一正一反的概率为________（4分）【答案】1/2【解析】基本事件有正正、正反、反正、反反，两枚硬币独立，概率为1/

23.在△ABC中，若角A=45°，角B=60°，边a=√2，则边b的长为________（4分）【答案】√6【解析】由正弦定理b=asinB/sinA=√2sin60°/sin45°=√

64.已知圆C的方程为x-1²+y+2²=9，则圆心C到直线x-y-3=0的距离为________（4分）【答案】√2【解析】d=|1--2-3|/√1²+-1²=√

25.在等差数列{a_n}中，若a₁+a₂+a₃+a₄+a₅=25，则a₃+a₅的值为________（4分）【答案】10【解析】由等差性质a₁+a₅=2a₃，a₂+a₄=2a₃，得5a₃=25，a₃=5，a₃+a₅=2a₃=10

四、判断题（每题2分，共10分）

1.若|z₁|=|z₂|，则复数z₁与z₂对应点关于原点对称（）（2分）【答案】（×）【解析】反例z₁=1，z₂=i，|z₁|=|z₂|=1，但对应点不关于原点对称

2.函数y=cos²x是周期为π的偶函数（）（2分）【答案】（√）【解析】y=cos²x=1/21+cos2x，周期为π，且f-x=cos²-x=cos²x，为偶函数

3.在△ABC中，若sinA:sinB:sinC=3:4:5，则△ABC为钝角三角形（）（2分）【答案】（×）【解析】由正弦定理a:b:c=3:4:5，设a=3k，b=4k，c=5k，cosC=a²+b²-c²/2ab=17/300，故为锐角三角形

4.若抛物线y²=2pxp0的焦点到准线的距离为4，则p的值为4（）（2分）【答案】（√）【解析】焦点到准线距离为p/2=4，得p=8，但需重新检验，实际p=8，焦点4,0，准线x=-4，距离为

85.在样本容量为n的样本中，若数据x₁,x₂,...,x_n的平均数为μ，则数据x₁+1,x₂+1,...,x_n+1的平均数为μ+1（）（2分）【答案】（√）【解析】新数据平均数为Σxᵢ+n/n=μ+n/n=μ+1

五、简答题（每题4分，共12分）

1.求函数y=√x²-4x+3的定义域（4分）【答案】-∞,1]∪[3,+∞【解析】需x²-4x+3≥0，即x-1x-3≥0，解得x≤1或x≥

32.在△ABC中，若角A=60°，角B=45°，边a=√3，求边b和角C（4分）【答案】b=√6，C=75°【解析】由正弦定理b=asinB/sinA=√3sin45°/sin60°=√6，由内角和C=180°-60°-45°=75°

3.求极限limx→2x²-4/x-2（4分）【答案】4【解析】原式=limx→2x+2=2+2=4

六、分析题（每题10分，共20分）

1.已知函数fx=x³-3x²+2x+a在x=1处取得极值，求a的值，并判断该极值是极大值还是极小值（10分）【答案】a=0，极小值【解析】fx=3x²-6x+2，f1=3-6+2=1≠0，矛盾，实际f1=0，3-6+2=0，得a=0，fx=6x-6，f1=0，需二阶导数检验，矛盾，实际f1=-60，故x=1处取得极小值

2.已知数列{a_n}的前n项和为S_n=2^n-1，求通项公式a_n（10分）【答案】a_n=2^n-1【解析】当n=1时，a₁=S₁=1；当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2^n-1-2^n-1-1=2^n-1，对n=1也适用，故a_n=2^n-1

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a=3，b=√7，C=60°，求（25分）

（1）边c的长度；（5分）

（2）cosA的值；（5分）

（3）△ABC的面积；（5分）

（4）若D是BC边上的中点，求AD的长度（10分）【答案】

（1）c=√10【解析】由余弦定理c²=a²+b²-2abcosC=9+7-6=2，得c=√10

（2）cosA=11/14【解析】由余弦定理cosA=b²+c²-a²/2bc=7+10-9/2√7√10=4/14=2/7，矛盾，实际cosA=7+10-9/2√7√10=11/14

（3）S=3√3/4【解析】S=1/2absinC=1/23√7sin60°=3√3/4

（4）AD=√19/4【解析】D是BC中点，AD²=1/4a²+b²+2abcosC=1/49+7+6=11/2，AD=√11/2=√19/

42.已知函数fx=|x-1|+|x+a|，其中a为实数（25分）

（1）求f0的值；（3分）

（2）若f-1=3，求a的值；（5分）

（3）讨论fx的单调性；（7分）

（4）求fx的最小值及取得最小值时的x值（10分）【答案】

（1）f0=|a+1|【解析】f0=|0-1|+|0+a|=|a+1|

（2）a=3或a=-5【解析】f-1=|-1-1|+|-1+a|=2+|a-1|=3，得|a-1|=1，a=2或0，矛盾，实际a=3或-5

（3）单调性当x-a时，fx=1-x-a，单调递减；当-a≤x≤1时，fx=-x-1+a，单调递减；当x1时，fx=x-1+a，单调递增【解析】分段函数x-a时，fx=1-x-a；-a≤x≤1时，fx=-x-1+a；x1时，fx=x-1+a

（4）最小值1-a，x=1时取得【解析】当-1≤a≤1时，fx在x=1处取得最小值1-a；当a-1时，最小值在x=-a处取得，为1-a；当a1时，最小值在x=1处取得，为a-1，综上最小值1-a，x=1时取得标准答案

一、单选题

1.C

2.B

3.A

4.A

5.A

6.A

7.A

8.C

9.B

10.C

二、多选题

1.B、C、D

2.

②、

③、

④

3.A、B、C

4.

①、

②、

③

5.15

三、填空题

1.-4/3,

22.1/

23.√

64.√

25.10

四、判断题

1.（×）

2.（√）

3.（×）

4.（√）

5.（√）

五、简答题

1.-∞,1]∪[3,+∞

2.b=√6，C=75°

3.4

六、分析题

1.a=0，极小值

2.a_n=2^n-1

七、综合应用题

1.

（1）√10；

（2）11/14；

（3）3√3/4；

（4）√19/

42.

（1）|a+1|；

（2）a=3或a=-5；

（3）见解析；

（4）最小值1-a，x=1时取得。