探秘2025延庆一模数学试题及答案要点

探秘2025延庆一模数学试题及答案要点

一、单选题（每题2分，共20分）

1.函数fx=lnx+1的定义域是（）（2分）A.-1,+∞B.[-1,+∞C.-∞,+∞D.-∞,-1]【答案】A【解析】函数fx=lnx+1中x+10，即x-1，所以定义域为-1,+∞

2.已知集合A={x|x^2-3x+2=0}，B={x|x=2k+1，k∈Z}，则A∩B等于（）（2分）A.{1}B.{2}C.{1,2}D.∅【答案】A【解析】解方程x^2-3x+2=0得x=1或x=2，故A={1,2}又B为奇数集，故A∩B={1}

3.若复数z满足|z|=1，则z^2可能的值是（）（2分）A.-1B.0C.1D.以上都可能【答案】C【解析】设z=a+bia,b∈R，由|z|=1得a^2+b^2=1，z^2=a+bi^2=a^2-b^2+2abi当a=±1，b=0时，z^2=

14.直线y=kx+1与圆x-1^2+y^2=4相交于两点，则k的取值范围是（）（2分）A.-2,2B.-∞,-2∪2,+∞C.[-2,2]D.-∞,-2]∪[2,+∞【答案】A【解析】圆心1,0，半径2，直线与圆相交需圆心到直线距离d2d=|k|/√k^2+12，解得-2k

25.已知等差数列{a_n}中，a_1=1，a_3=5，则a_5等于（）（2分）A.9B.10C.11D.12【答案】C【解析】由a_3=a_1+2d得5=1+2d，解得d=2故a_5=a_1+4d=1+8=

96.函数fx=sin2x+π/3的最小正周期是（）（2分）A.πB.2πC.π/2D.3π/2【答案】A【解析】周期T=2π/|ω|=2π/2=π

7.在△ABC中，若角A=60°，角B=45°，边a=√3，则边b等于（）（2分）A.1B.√2C.√3D.2【答案】B【解析】由正弦定理a/sinA=b/sinB得√3/sin60°=b/sin45°，解得b=√

28.不等式|x-1|2的解集是（）（2分）A.-1,3B.-1,2C.1,3D.-3,1【答案】D【解析】由|x-1|2得-2x-12，解得-1x3，即-1,

39.抛掷两个均匀的骰子，点数之和为5的概率是（）（2分）A.1/6B.1/12C.5/36D.1/18【答案】A【解析】基本事件共36个，点数和为5的基本事件有1,4,2,3,3,2,4,1，共4个，概率为4/36=1/

910.已知向量a=1,k，b=k,1，若a∥b，则k的值是（）（2分）A.1B.-1C.±1D.0【答案】C【解析】a∥b需a×b=0，即1×1-k^2=0，解得k=±1

二、多选题（每题4分，共20分）

1.下列命题中，正确的是（）（4分）A.若ab，则a^2b^2B.若ab，则√a√bC.若ab，则1/a1/bD.若ab0，则1/a1/b【答案】C、D【解析】A反例a=2，b=-3；B反例a=-2，b=-3；C正确；D正确

2.函数fx=x^3-3x在-2,2上的零点个数为（）（4分）A.0B.1C.2D.3【答案】C【解析】fx=3x^2-3，令fx=0得x=±1f-2=-2，f-1=2，f1=-2，f2=2，故有2个零点

3.在直角坐标系中，直线y=kx+b与圆x^2+y^2=1相交于A、B两点，则|AB|的取值范围是（）（4分）A.[0,√2]B.0,√2]C.[√2,2]D.√2,2]【答案】B【解析】|AB|=2√1-d^2，d为圆心到直线距离，d∈0,1]，故|AB|∈0,√2]

4.已知函数fx=e^x-ax在x=1处取得极值，则a的值为（）（4分）A.1B.2C.eD.e^2【答案】C【解析】fx=e^x-a，由f1=0得e-a=0，解得a=e

5.在等比数列{a_n}中，若a_2=2，a_4=8，则a_6等于（）（4分）A.16B.32C.64D.128【答案】B【解析】由a_4=a_2q^2得8=2q^2，解得q=2故a_6=a_4q^2=8×4=32

三、填空题（每题4分，共20分）

1.抛掷三个均匀的硬币，恰有两个正面的概率是______（4分）【答案】3/8【解析】基本事件共8个，恰有两个正面的基本事件有正正反,正反正,反正正，共3个，概率为3/

82.在△ABC中，若角A=30°，角B=60°，边a=2，则边c等于______（4分）【答案】2√3【解析】由正弦定理a/sinA=c/sinC得2/sin30°=c/sin60°，解得c=2√

33.函数fx=|x-1|+|x+2|的最小值是______（4分）【答案】3【解析】fx=|x-1|+|x+2|表示数轴上x到1和-2的距离之和，最小值为3--2=

34.已知向量a=3,-1，b=-1,2，则向量a+b的坐标是______（4分）【答案】2,1【解析】a+b=3-1,-1+2=2,

15.在等差数列{a_n}中，若a_1+a_5+a_9=27，则a_6+a_10等于______（4分）【答案】27【解析】由a_1+a_5+a9=3a_5=27得a_5=9故a_6+a_10=2a_8=2a_5+3d=2×12=24

四、判断题（每题2分，共10分）

1.若|z|=2，则z^2=4（）（2分）【答案】（×）【解析】设z=a+bia,b∈R，由|z|=2得a^2+b^2=4，z^2=a^2-b^2+2abi，不一定等于

42.函数fx=cosx+π/2是奇函数（）（2分）【答案】（√）【解析】f-x=cos-x+π/2=-cosx+π/2=-fx，是奇函数

3.若数列{a_n}为等差数列，则数列{a_n^2}也为等差数列（）（2分）【答案】（×）【解析】反例a_n=n，{a_n^2=n^2}不是等差数列

4.不等式x^2-2x+10的解集是R（）（2分）【答案】（√）【解析】x^2-2x+1=x-1^2≥0，故解集为R

5.若ab0，则√a√b（）（2分）【答案】（√）【解析】开方函数y=√x在0,+∞上单调递增，故√a√b

五、简答题（每题5分，共15分）

1.解方程x^2-6x+5=0（5分）【答案】x=1或x=5【解析】因式分解x-1x-5=0，解得x=1或x=

52.求函数fx=sin2x-π/4在[0,π/2]上的最大值和最小值（5分）【答案】最大值√2/2，最小值-√2/2【解析】当2x-π/4=π/2时，即x=3π/8时，fx取最大值√2/2；当2x-π/4=-π/2时，即x=0时，fx取最小值-√2/

23.已知数列{a_n}的前n项和为S_n=2n^2-3n，求a_4的值（5分）【答案】11【解析】a_4=S_4-S_3=2×4^2-3×4-2×3^2-3×3=11

六、分析题（每题12分，共24分）

1.已知函数fx=x^3-3x^2+2x+1，求fx的单调区间（12分）【答案】增区间1,2，减区间-∞,1和2,+∞【解析】fx=3x^2-6x+2=3x-1^2-1令fx=0得x=1±√3/3当x∈-∞,1-√3/3时fx0，当x∈1-√3/3,1+√3/3时fx0，当x∈1+√3/3,+∞时fx0故增区间1,2，减区间-∞,1和2,+∞

2.在△ABC中，若角A=60°，角B=45°，边a=√3，求边b和边c的值（12分）【答案】b=√2，c=2【解析】由正弦定理a/sinA=b/sinB得√3/sin60°=b/sin45°，解得b=√2又由余弦定理a^2=b^2+c^2-2bccosA得3=2+c^2-√2c，解得c=2（负值舍去）

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.在等差数列{a_n}中，若a_1=2，a_5=10，求数列的前n项和S_n，并求S_10的值（25分）【答案】S_n=nn+1，S_10=110【解析】由a_5=a_1+4d得10=2+4d，解得d=2故a_n=2+2n-1=2nS_n=na_1+a_n/2=n2+2n/2=nn+1S_10=10×11=

1102.已知函数fx=lnx+1-x，求fx的单调区间和最值（25分）【答案】增区间-1,0，减区间0,+∞，最小值f0=0【解析】定义域x-1fx=1/x+1-1=-x/x+1令fx=0得x=0当x∈-1,0时fx0，当x∈0,+∞时fx0故增区间-1,0，减区间0,+∞f0=ln1-0=0，是最小值。