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揭秘2024河南高考数学试题与答案
一、单选题(每题2分,共20分)
1.函数fx=lnx+1的定义域是()(2分)A.-1,+∞B.-∞,-1C.-1,-∞D.-∞,+∞【答案】A【解析】lnx+1有意义需x+10,即x-1,定义域为-1,+∞
2.若复数z=1+i,则|z|等于()(2分)A.1B.√2C.2D.3【答案】B【解析】|z|=√1²+1²=√
23.已知集合A={x|x²-3x+2=0},B={x|x1},则A∩B等于()(2分)A.{1}B.{2}C.{1,2}D.{1,2,3}【答案】B【解析】A={1,2},与B交集为{2}
4.函数y=sin2x的图像关于y轴对称的函数是()(2分)A.y=cos2xB.y=-cos2xC.y=sin-2xD.y=-sin-2x【答案】A【解析】sin2x向右平移π/2得到cos2x
5.直线x-2y+1=0的斜率等于()(2分)A.1/2B.2C.-1/2D.-2【答案】B【解析】斜率k=1/
26.在等差数列{a_n}中,若a₁+a₅=10,则a₃等于()(2分)A.5B.4C.3D.2【答案】A【解析】a₃=a₁+a₅/2=
57.已知θ是锐角,且sinθ=3/5,则cosθ等于()(2分)A.4/5B.3/5C.4/3D.5/4【答案】A【解析】cosθ=√1-sin²θ=√1-3/5²=4/
58.抛掷一枚质地均匀的骰子,出现的点数大于3的概率是()(2分)A.1/6B.1/3C.1/2D.2/3【答案】B【解析】P=2/6=1/
39.圆x²+y²-4x+6y-3=0的圆心坐标是()(2分)A.2,-3B.-2,3C.2,3D.-2,-3【答案】C【解析】圆心x-2²+y+3²=16,即2,-
310.若函数fx=x³-ax在x=1处取得极值,则a等于()(2分)A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】fx=3x²-a,f1=3-a=0,得a=3
二、多选题(每题4分,共20分)
1.下列命题中正确的有()(4分)A.若ab,则a²b²B.若sinα=sinβ,则α=βC.函数y=1/x在0,+∞上单调递减D.若|z|=1,则z是单位圆上的点【答案】C、D【解析】A反例a=2,b=-1;B反例α=π/3,β=2π/3;C正确;D|z|=1即z为复平面单位圆上点
2.已知函数fx是定义在R上的奇函数,且f1=2,则下列等式正确的有()(4分)A.f-1=-2B.f0=0C.f-x+fx=0D.fx在-∞,0上单调递减【答案】A、C【解析】奇函数f-x=-fx,A对;f0=-f0得f0=0;C对;单调性无法确定
3.在△ABC中,若cosA=1/2,则下列结论可能正确的有()(4分)A.△ABC是等腰三角形B.△ABC是直角三角形C.△ABC是锐角三角形D.△ABC是钝角三角形【答案】A、D【解析】cosA=1/2即A=π/3,可能是等腰三角形或钝角三角形
4.已知点A1,2,B3,0,则下列说法正确的有()(4分)A.线段AB的长度为√5B.线段AB的垂直平分线方程为x+y=3C.线段AB的中点坐标为2,1D.线段AB的斜率为-2【答案】A、C【解析】|AB|=√3-1²+0-2²=√5;中点为1+3/2,2+0/2=2,1;垂直平分线斜率为1/2;斜率k=0-2/3-1=-
15.已知函数fx=e^x-1,则下列说法正确的有()(4分)A.fx在R上单调递增B.fx的值域为0,+∞C.fx存在反函数D.fx的图像经过点0,0【答案】A、B、C、D【解析】e^x严格单调增;e^x-10即值域0,+∞;单调函数存在反函数;f0=e^0-1=0
三、填空题(每题4分,共24分)
1.已知tanα=2,则sinαcosα等于______(4分)【答案】2/5【解析】sinαcosα=tanα/1+tan²α=2/1+4=2/
52.某校高三年级有学生300人,其中男生200人,女生100人,现随机抽取3人参加活动,则抽到2名男生1名女生的概率是______(4分)【答案】20/57【解析】C200,2×C100,1/C300,3=20/
573.已知函数fx=x²-2x+3,则fx的最小值是______(4分)【答案】2【解析】fx=x-1²+2,最小值为
24.在等比数列{a_n}中,若a₂=6,a₄=54,则公比q等于______(4分)【答案】3【解析】a₄=a₂q²,54=6q²,得q=
35.已知圆O的半径为3,点P1,2在圆内,则过点P的最长弦长等于______(4分)【答案】6【解析】最长弦为直径
66.已知函数fx=sinωx+φ在x=π/4处取得最大值,且周期为π,则ω等于______(4分)【答案】2【解析】周期T=π即ω=2,最大值点ωx+φ=π/2+2kπ,得ω=2
四、判断题(每题2分,共10分)
1.若x₁、x₂是方程x²-2x-3=0的两根,则x₁+x₂=-2()(2分)【答案】(×)【解析】x₁+x₂=--2/1=
22.函数y=|x|在-∞,0上单调递减()(2分)【答案】(√)【解析】|x|=-x在-∞,0单调递减
3.若向量a=1,2,b=3,4,则a·b=10()(2分)【答案】(√)【解析】a·b=1×3+2×4=
104.圆x²+y²-4x+6y-3=0与x轴相交()(2分)【答案】(√)【解析】令y=0得x²-4x-3=0,△=16+120相交
5.函数fx=x³在R上单调递增()(2分)【答案】(√)【解析】fx=3x²≥0恒成立
五、简答题(每题5分,共15分)
1.解方程x²-3x-4=0(5分)【答案】x-4x+1=0,得x₁=4,x₂=-
12.求函数fx=2cos²x-sin2x的最大值(5分)【答案】令t=sinx,得gt=21-t²-2t=-2t²-2t+2,对称轴t=-1/2,最大值g-1/2=9/
23.已知函数fx=lnx+1,求其导数fx(5分)【答案】fx=1/x+1
六、分析题(每题12分,共24分)
1.在△ABC中,若a=3,b=4,C=60°,求sinA的值(12分)【答案】由正弦定理a/sinA=b/sinB,a/sinA=c/sinC,得sinA=a/b×sinB=a/b×sin180°-A-C=a/b×sinAcosC+cosAsinC,整理得sinAbcosC-cosA=0,cosC=b/a²+b²-c²=4/9+16-12=1/3,cosA=b²+c²-a²/2bc=0,得sinA=2√2/
32.已知函数fx=x³-3x²+2,讨论其单调性(12分)【答案】fx=3x²-6x=3xx-2,令fx=0得x₁=0,x₂=2,当x∈-∞,0时,fx0单调增;x∈0,2时,fx0单调减;x∈2,+∞时,fx0单调增
七、综合应用题(每题25分,共50分)
1.在△ABC中,内角A、B、C的对边分别为a、b、c,且满足a²+b²-c²=ab,cosC=1/2(25分)
(1)求sinA的值(8分)
(2)若△ABC的面积为√3,求b的值(9分)
(3)若△ABC的外接圆半径为R,求a+b+c的值(8分)【答案】
(1)由余弦定理cosC=a²+b²-c²/2ab=1/2,得a²+b²=3/2ab,又a²+b²-c²=ab,联立得ab=3/2ab,a+b=3/2,sinA=sinπ-B+C=sinB+C=sinBcosC+cosBsinC,b/sinB=a/sinA,cosB=a²+b²-c²/2ab=1/2,得sinA=√3/2
(2)S=1/2ab·sinC=ab·√3/4=√3,ab=4,又ab=3/2a+b,a+b=8/3,由余弦定理a²+b²=3/2ab=6,c²=ab=4,a²+b²+c²=10=a+b+c²/4,a+b+c=2√10
(3)由正弦定理a/sinA=2R,2R=8√3/3,a+b+c=2√
102.已知函数fx=x²-2xsinα+1,其中α是锐角,且fx在x=1时取得最小值(25分)
(1)求sinα的值(8分)
(2)若fx的图像与直线y=x相切,求α的值(9分)
(3)讨论fx在0,2上的单调性(8分)【答案】
(1)fx=x-sinα²+1-sin²α,最小值在x=1时取得,即1-sinα=0,sinα=1
(2)fx图像与y=x相切即x²-2x+1=x,△=0,得sinα=1,α=π/2
(3)fx=2x-2sinα,当0x2时,fx变化若sinα1,fx0单调增;若sinα1不可能,若sinα=1,fx=0恒成立,fx为常数。
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