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揭秘2024河南高考数学试题与答案
一、单选题（每题2分，共20分）
1.函数fx=lnx+1的定义域是（）（2分）A.-1,+∞B.-∞,-1C.-1,-∞D.-∞,+∞【答案】A【解析】lnx+1有意义需x+10，即x-1，定义域为-1,+∞
2.若复数z=1+i，则|z|等于（）（2分）A.1B.√2C.2D.3【答案】B【解析】|z|=√1²+1²=√
23.已知集合A={x|x²-3x+2=0},B={x|x1},则A∩B等于（）（2分）A.{1}B.{2}C.{1,2}D.{1,2,3}【答案】B【解析】A={1,2}，与B交集为{2}
4.函数y=sin2x的图像关于y轴对称的函数是（）（2分）A.y=cos2xB.y=-cos2xC.y=sin-2xD.y=-sin-2x【答案】A【解析】sin2x向右平移π/2得到cos2x
5.直线x-2y+1=0的斜率等于（）（2分）A.1/2B.2C.-1/2D.-2【答案】B【解析】斜率k=1/
26.在等差数列{a_n}中，若a₁+a₅=10，则a₃等于（）（2分）A.5B.4C.3D.2【答案】A【解析】a₃=a₁+a₅/2=
57.已知θ是锐角，且sinθ=3/5，则cosθ等于（）（2分）A.4/5B.3/5C.4/3D.5/4【答案】A【解析】cosθ=√1-sin²θ=√1-3/5²=4/
58.抛掷一枚质地均匀的骰子，出现的点数大于3的概率是（）（2分）A.1/6B.1/3C.1/2D.2/3【答案】B【解析】P=2/6=1/
39.圆x²+y²-4x+6y-3=0的圆心坐标是（）（2分）A.2,-3B.-2,3C.2,3D.-2,-3【答案】C【解析】圆心x-2²+y+3²=16，即2,-
310.若函数fx=x³-ax在x=1处取得极值，则a等于（）（2分）A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】fx=3x²-a，f1=3-a=0，得a=3
二、多选题（每题4分，共20分）
1.下列命题中正确的有（）（4分）A.若ab，则a²b²B.若sinα=sinβ，则α=βC.函数y=1/x在0,+∞上单调递减D.若|z|=1，则z是单位圆上的点【答案】C、D【解析】A反例a=2,b=-1；B反例α=π/3,β=2π/3；C正确；D|z|=1即z为复平面单位圆上点
2.已知函数fx是定义在R上的奇函数，且f1=2，则下列等式正确的有（）（4分）A.f-1=-2B.f0=0C.f-x+fx=0D.fx在-∞,0上单调递减【答案】A、C【解析】奇函数f-x=-fx，A对；f0=-f0得f0=0；C对；单调性无法确定
3.在△ABC中，若cosA=1/2，则下列结论可能正确的有（）（4分）A.△ABC是等腰三角形B.△ABC是直角三角形C.△ABC是锐角三角形D.△ABC是钝角三角形【答案】A、D【解析】cosA=1/2即A=π/3，可能是等腰三角形或钝角三角形
4.已知点A1,2，B3,0，则下列说法正确的有（）（4分）A.线段AB的长度为√5B.线段AB的垂直平分线方程为x+y=3C.线段AB的中点坐标为2,1D.线段AB的斜率为-2【答案】A、C【解析】|AB|=√3-1²+0-2²=√5；中点为1+3/2,2+0/2=2,1；垂直平分线斜率为1/2；斜率k=0-2/3-1=-
15.已知函数fx=e^x-1，则下列说法正确的有（）（4分）A.fx在R上单调递增B.fx的值域为0,+∞C.fx存在反函数D.fx的图像经过点0,0【答案】A、B、C、D【解析】e^x严格单调增；e^x-10即值域0,+∞；单调函数存在反函数；f0=e^0-1=0
三、填空题（每题4分，共24分）
1.已知tanα=2，则sinαcosα等于______（4分）【答案】2/5【解析】sinαcosα=tanα/1+tan²α=2/1+4=2/
52.某校高三年级有学生300人，其中男生200人，女生100人，现随机抽取3人参加活动，则抽到2名男生1名女生的概率是______（4分）【答案】20/57【解析】C200,2×C100,1/C300,3=20/
573.已知函数fx=x²-2x+3，则fx的最小值是______（4分）【答案】2【解析】fx=x-1²+2，最小值为
24.在等比数列{a_n}中，若a₂=6，a₄=54，则公比q等于______（4分）【答案】3【解析】a₄=a₂q²，54=6q²，得q=
35.已知圆O的半径为3，点P1,2在圆内，则过点P的最长弦长等于______（4分）【答案】6【解析】最长弦为直径
66.已知函数fx=sinωx+φ在x=π/4处取得最大值，且周期为π，则ω等于______（4分）【答案】2【解析】周期T=π即ω=2，最大值点ωx+φ=π/2+2kπ，得ω=2
四、判断题（每题2分，共10分）
1.若x₁、x₂是方程x²-2x-3=0的两根，则x₁+x₂=-2（）（2分）【答案】（×）【解析】x₁+x₂=--2/1=
22.函数y=|x|在-∞,0上单调递减（）（2分）【答案】（√）【解析】|x|=-x在-∞,0单调递减
3.若向量a=1,2，b=3,4，则a·b=10（）（2分）【答案】（√）【解析】a·b=1×3+2×4=
104.圆x²+y²-4x+6y-3=0与x轴相交（）（2分）【答案】（√）【解析】令y=0得x²-4x-3=0，△=16+120相交
5.函数fx=x³在R上单调递增（）（2分）【答案】（√）【解析】fx=3x²≥0恒成立
五、简答题（每题5分，共15分）
1.解方程x²-3x-4=0（5分）【答案】x-4x+1=0，得x₁=4，x₂=-
12.求函数fx=2cos²x-sin2x的最大值（5分）【答案】令t=sinx，得gt=21-t²-2t=-2t²-2t+2，对称轴t=-1/2，最大值g-1/2=9/
23.已知函数fx=lnx+1，求其导数fx（5分）【答案】fx=1/x+1
六、分析题（每题12分，共24分）
1.在△ABC中，若a=3，b=4，C=60°，求sinA的值（12分）【答案】由正弦定理a/sinA=b/sinB，a/sinA=c/sinC，得sinA=a/b×sinB=a/b×sin180°-A-C=a/b×sinAcosC+cosAsinC，整理得sinAbcosC-cosA=0，cosC=b/a²+b²-c²=4/9+16-12=1/3，cosA=b²+c²-a²/2bc=0，得sinA=2√2/
32.已知函数fx=x³-3x²+2，讨论其单调性（12分）【答案】fx=3x²-6x=3xx-2，令fx=0得x₁=0，x₂=2，当x∈-∞,0时，fx0单调增；x∈0,2时，fx0单调减；x∈2,+∞时，fx0单调增
七、综合应用题（每题25分，共50分）
1.在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足a²+b²-c²=ab，cosC=1/2（25分）
（1）求sinA的值（8分）
（2）若△ABC的面积为√3，求b的值（9分）
（3）若△ABC的外接圆半径为R，求a+b+c的值（8分）【答案】
（1）由余弦定理cosC=a²+b²-c²/2ab=1/2，得a²+b²=3/2ab，又a²+b²-c²=ab，联立得ab=3/2ab，a+b=3/2，sinA=sinπ-B+C=sinB+C=sinBcosC+cosBsinC，b/sinB=a/sinA，cosB=a²+b²-c²/2ab=1/2，得sinA=√3/2
（2）S=1/2ab·sinC=ab·√3/4=√3，ab=4，又ab=3/2a+b，a+b=8/3，由余弦定理a²+b²=3/2ab=6，c²=ab=4，a²+b²+c²=10=a+b+c²/4，a+b+c=2√10
（3）由正弦定理a/sinA=2R，2R=8√3/3，a+b+c=2√
102.已知函数fx=x²-2xsinα+1，其中α是锐角，且fx在x=1时取得最小值（25分）
（1）求sinα的值（8分）
（2）若fx的图像与直线y=x相切，求α的值（9分）
（3）讨论fx在0,2上的单调性（8分）【答案】
（1）fx=x-sinα²+1-sin²α，最小值在x=1时取得，即1-sinα=0，sinα=1
（2）fx图像与y=x相切即x²-2x+1=x，△=0，得sinα=1，α=π/2
（3）fx=2x-2sinα，当0x2时，fx变化若sinα1，fx0单调增；若sinα1不可能，若sinα=1，fx=0恒成立，fx为常数。
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