教资中学数学综合试题及答案梳理

教资中学数学综合试题及答案梳理

一、单选题（每题2分，共20分）

1.下列函数中，在其定义域内是增函数的是（）A.y=2x+1B.y=-3x+2C.y=x^2D.y=1/x【答案】A【解析】一次函数y=2x+1的斜率为正，故在其定义域内是增函数

2.已知集合A={1,2,3}，B={2,3,4}，则A∪B等于（）A.{1,2,3}B.{2,3,4}C.{1,2,3,4}D.{1,4}【答案】C【解析】集合A与B的并集包含两个集合中的所有元素，即{1,2,3,4}

3.函数y=sinx的图像关于哪个点对称？（）A.0,0B.π/2,0C.π,0D.π/2,1【答案】A【解析】正弦函数y=sinx的图像关于原点0,0对称

4.三角形ABC中，若角A=60°，角B=45°，则角C等于（）A.75°B.105°C.120°D.135°【答案】A【解析】三角形内角和为180°，故角C=180°-60°-45°=75°

5.方程x^2-5x+6=0的解是（）A.x=1B.x=2C.x=1和x=2D.x=-1和x=-2【答案】C【解析】因式分解得x-2x-3=0，解得x=2和x=

36.下列哪个图形是轴对称图形但不是中心对称图形？（）A.正方形B.矩形C.等边三角形D.菱形【答案】C【解析】等边三角形是轴对称图形但不是中心对称图形

7.函数y=√x-1的定义域是（）A.x1B.x≥1C.x1D.x≤1【答案】B【解析】被开方数必须非负，故x-1≥0，解得x≥

18.直线y=3x-2与x轴的交点坐标是（）A.0,2B.2,0C.0,-2D.-2,0【答案】B【解析】令y=0，得3x-2=0，解得x=2/3，故交点坐标为2/3,

09.在直角坐标系中，点-3,4位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】B【解析】横坐标为负，纵坐标为正，故位于第二象限

10.下列不等式正确的是（）A.3√9B.-2-3C.1/21/3D.0√-1【答案】B【解析】-2-3是正确的不等式关系

二、多选题（每题4分，共20分）

1.以下哪些是平面几何的基本元素？（）A.点B.线C.面D.体E.角【答案】A、B、C、E【解析】平面几何研究平面内的基本元素，包括点、线、面、角

2.关于函数y=ax^2+bx+c，以下说法正确的有？（）A.当a0时，抛物线开口向上B.顶点坐标为-b/2a,c-b^2/4aC.对称轴方程为x=b/2aD.当a0时，函数在顶点处取得最大值E.函数图像与x轴最多有两个交点【答案】A、B、C、D、E【解析】以上均为二次函数的基本性质

三、填空题（每题4分，共32分）

1.若方程x^2+px+q=0的两根之和为3，两根之积为2，则p=______，q=______【答案】-3，2【解析】根据韦达定理，两根之和为-p，两根之积为q，故p=-3，q=

22.在等差数列{a_n}中，若a_1=5，a_5=15，则公差d=______【答案】2【解析】a_5=a_1+4d，解得d=15-5/4=

23.三角形的三边长分别为3cm、4cm、5cm，则其面积S=______cm^2【答案】6【解析】为直角三角形，面积S=1/2×3×4=

64.函数y=2^x的图像过点______【答案】1,2【解析】当x=1时，y=2^1=2，故图像过点1,

25.抛物线y=x^2-4x+3的顶点坐标是______【答案】2,-1【解析】顶点横坐标x=-b/2a=--4/2=2，纵坐标y=2^2-4×2+3=-

16.若sinα=1/2，且α是锐角，则cosα=______【答案】√3/2【解析】由sin^2α+cos^2α=1，解得cosα=√1-sin^2α=√3/

27.不等式3x-75的解集是______【答案】x4【解析】移项得3x12，解得x

48.直线y=kx+3与y轴交于点0,3，且斜率为-1，则k=______【答案】-1【解析】斜率k=-1

四、判断题（每题2分，共10分）

1.两个无理数的和一定是无理数（）【答案】（×）【解析】如√2+1-√2=1，是有理数

2.若ab，则√a√b（）【答案】（×）【解析】如a=-1，b=-2，则√a不存在，不能比较

3.等腰三角形的底角一定相等（）【答案】（√）【解析】等腰三角形的定义性质

4.函数y=1/x在x→0时，函数值趋于无穷大（）【答案】（√）【解析】反比例函数的性质

5.任意一个四边形都可以内接于一个圆（）【答案】（×）【解析】只有圆内接四边形才满足对角互补

五、简答题（每题5分，共15分）

1.简述勾股定理的内容及其应用【答案】勾股定理直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，即a^2+b^2=c^2应用计算直角三角形边长、测量不可达高度距离等

2.说明函数y=kx+b中k和b的意义【答案】k为斜率，表示直线的倾斜程度和方向；b为y轴截距，表示直线与y轴交点的纵坐标

3.解释什么是数列的通项公式及其作用【答案】数列的通项公式a_n表示第n项的值，作用是可以直接计算任意项的值，揭示数列的规律

六、分析题（每题12分，共24分）

1.已知函数fx=x^2-4x+3，求

（1）函数的顶点坐标和对称轴方程

（2）函数的单调区间

（3）函数的值域【答案】

（1）顶点坐标x=-b/2a=--4/2=2，y=2^2-4×2+3=-1，故顶点2,-1对称轴x=2

（2）开口向上，故在-∞,2单调递减，在2,+∞单调递增

（3）值域最小值-1，故值域[-1,+∞

2.某工厂生产某种产品，固定成本为10万元，每件产品成本为20元，售价为30元问

（1）当销售量为x件时，总成本C和总收入R的表达式是什么？

（2）何时开始盈利？盈亏平衡点是多少？

（3）若要获得5万元利润，至少需要销售多少件？【答案】

（1）C=10+20x，R=30x

（2）盈利条件RC，即30x10+20x，解得x5盈亏平衡点30x=10+20x，解得x=5

（3）利润P=R-C=10x-10，要P=5，解得x=6，至少需要销售6件

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.已知ABC为等腰三角形，AB=AC，∠BAC=40°，点D在BC上，且AD平分∠BAC

（1）求∠BAD和∠ADC的度数

（2）若BC=10cm，求AD的长度

（3）求△ABD的面积【答案】

（1）∠BAD=∠BAC/2=20°，∠ADC=180°-∠BAC-∠BAD=120°

（2）作AE⊥BC于E，为等腰三角形三线合一，DE=BC/2=5cm由直角三角形知识，AD=√AB^2-DE^2=√AC^2-DE^2=√10^2-5^2=5√3cm

（3）S△ABD=1/2×BC×DE=1/2×10×5=25cm^

22.某城市地铁线路如图所示，A、B、C为三个站点，AB=5km，BC=7km，∠ABC=60°，地铁全程票价为4元/km

（1）直接从A站到C站的最短路线是多少km？

（2）若从A站到C站有两种路线可选，分别经过B站和D站，求两种路线的总票价

（3）比较三种路线的票价，哪种最经济？【答案】

（1）最短路线为A→B→C，总长AB+BC=5+7=12km

（2）路线A→B→D→C AB+BD+DC=5+8+6=19km，票价76元路线A→D→C AD+DC=10+6=16km，票价64元

（3）最经济路线为A→D→C，票价64元---标准答案

一、单选题

1.A

2.C

3.A

4.A

5.C

6.C

7.B

8.B

9.B

10.B

二、多选题

1.A、B、C、E

2.A、B、C、D、E

三、填空题

1.-3，

22.

23.

64.1,

25.2,-

16.√3/

27.x

48.-1

四、判断题

1.×

2.×

3.√

4.√

5.×

五、简答题

1.勾股定理直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，即a^2+b^2=c^2应用计算直角三角形边长、测量不可达高度距离等

2.k为斜率，表示直线的倾斜程度和方向；b为y轴截距，表示直线与y轴交点的纵坐标

3.数列的通项公式a_n表示第n项的值，作用是可以直接计算任意项的值，揭示数列的规律

六、分析题

1.

（1）顶点2,-1，对称轴x=2

（2）-∞,2递减，（2,+∞递增（3[-1,+∞

2.

（1）C=10+20x，R=30x

（2）x5开始盈利，盈亏平衡点x=5（3x=6件

七、综合应用题

1.

（1）∠BAD=20°，∠ADC=120°

（2）AD=5√3cm

（3）S=25cm^

22.

（1）12km

（2）76元，64元

（3）A→D→C最经济，64元。