数值分析考试典型题目与答案

数值分析考试典型题目与答案整理

一、单选题（每题2分，共20分）

1.在数值计算中，下列哪个方法具有收敛速度快的优点？（）A.牛顿迭代法B.二分法C.迭代法D.插值法【答案】A【解析】牛顿迭代法在合适的初始值条件下具有二次收敛速度，收敛速度快

2.下列关于浮点数表示的说法中，正确的是（）A.浮点数表示的范围比定点数表示的范围大B.浮点数表示的精度比定点数表示的精度高C.浮点数表示只适用于小数运算D.浮点数表示比定点数表示更复杂【答案】B【解析】浮点数表示通过科学计数法表示，可以表示较大范围和较高精度的数

3.函数fx在[a,b]上连续，且满足fafb0，则存在ξ∈a,b，使得fξ=0，这是（）A.中值定理B.泰勒定理C.拉格朗日中值定理D.罗尔定理【答案】A【解析】这是中值定理的内容，即存在ξ∈a,b，使得fξ=

04.在数值求解方程根的问题中，下列哪个方法属于迭代法？（）A.牛顿迭代法B.二分法C.插值法D.均值法【答案】A【解析】牛顿迭代法是一种迭代法，通过不断迭代逼近方程的根

5.对于线性方程组Ax=b，如果矩阵A是奇异矩阵，则（）A.方程组有唯一解B.方程组无解C.方程组有无数解D.无法确定【答案】B【解析】如果矩阵A是奇异矩阵，则其行列式为0，方程组无解或有无穷多解

6.在数值计算中，下列哪个方法是用于求解线性方程组的直接法？（）A.迭代法B.高斯消元法C.插值法D.均值法【答案】B【解析】高斯消元法是一种直接法，通过消元过程直接求解线性方程组

7.下列关于数值误差的说法中，正确的是（）A.数值误差是不可避免的B.数值误差可以通过选择合适的算法来消除C.数值误差只出现在浮点数运算中D.数值误差与计算机的存储精度无关【答案】A【解析】数值误差是不可避免的，但可以通过选择合适的算法和增加计算精度来减小误差

8.在数值插值中，拉格朗日插值法的主要缺点是（）A.计算复杂度高B.插值节点增加时，插值误差会增大C.只适用于小数插值D.无法处理不规则的插值节点【答案】B【解析】拉格朗日插值法在插值节点增加时，插值多项式的阶数增加，可能导致插值误差增大

9.在数值积分中，下列哪个方法是用于求解定积分的数值方法？（）A.牛顿迭代法B.拉格朗日插值法C.梯形法则D.插值法【答案】C【解析】梯形法则是用于求解定积分的数值方法，通过将积分区间分成小梯形来近似计算积分值

10.在数值微分中，下列哪个方法是用于求解函数在某一点的导数的数值方法？（）A.牛顿迭代法B.拉格朗日插值法C.有限差分法D.插值法【答案】C【解析】有限差分法是用于求解函数在某一点的导数的数值方法，通过计算函数在某一点的差分来近似导数值

二、多选题（每题4分，共20分）

1.下列哪些方法可以用于求解线性方程组？（）A.高斯消元法B.迭代法C.插值法D.逆矩阵法【答案】A、B、D【解析】高斯消元法、迭代法和逆矩阵法都可以用于求解线性方程组

2.下列哪些方法是用于数值积分的数值方法？（）A.梯形法则B.辛普森法则C.拉格朗日插值法D.高斯求积法【答案】A、B、D【解析】梯形法则、辛普森法则和高斯求积法都是用于数值积分的数值方法

3.下列哪些方法是用于数值微分的数值方法？（）A.有限差分法B.拉格朗日插值法C.牛顿迭代法D.中心差分法【答案】A、D【解析】有限差分法和中心差分法都是用于数值微分的数值方法

4.下列哪些方法是用于数值插值的数值方法？（）A.拉格朗日插值法B.牛顿插值法C.样条插值法D.有限差分法【答案】A、B、C【解析】拉格朗日插值法、牛顿插值法和样条插值法都是用于数值插值的数值方法

5.下列哪些方法可以用于求解方程根？（）A.牛顿迭代法B.二分法C.迭代法D.插值法【答案】A、B、C【解析】牛顿迭代法、二分法和迭代法都可以用于求解方程根

三、填空题（每题2分，共16分）

1.数值计算中，误差的来源主要有______和______【答案】舍入误差；截断误差

2.线性方程组Ax=b，如果矩阵A是可逆的，则方程组有______解【答案】唯一

3.在数值插值中，拉格朗日插值法的插值多项式是关于______的函数【答案】插值节点

4.在数值积分中，梯形法则通过将积分区间分成______来近似计算积分值【答案】小梯形

5.在数值微分中，有限差分法通过计算函数在某一点的______来近似导数值【答案】差分

6.数值求解方程根的问题中，迭代法的基本思想是______【答案】不断迭代逼近方程的根

7.在数值计算中，浮点数表示的精度比定点数表示的精度______【答案】高

8.在数值积分中，辛普森法则比梯形法则具有______的精度【答案】高

四、判断题（每题2分，共10分）

1.两个正数相乘，积一定比其中一个数大（）【答案】（×）【解析】如

0.5×

0.5=

0.25，积比两个数都小

2.逆矩阵法可以用于求解任何线性方程组（）【答案】（×）【解析】逆矩阵法只适用于满秩的线性方程组

3.拉格朗日插值法在插值节点增加时，插值误差会减小（）【答案】（×）【解析】拉格朗日插值法在插值节点增加时，插值误差可能会增大

4.有限差分法是用于求解函数在某一点的导数的数值方法（）【答案】（√）【解析】有限差分法通过计算函数在某一点的差分来近似导数值

5.数值计算中，舍入误差是不可避免的（）【答案】（√）【解析】舍入误差是数字计算机进行数值计算时，由于计算机的字长有限而不可避免的一种误差

五、简答题（每题4分，共16分）

1.简述数值计算中误差的来源及其影响【答案】数值计算中的误差主要来源于舍入误差和截断误差舍入误差是由于计算机的字长有限，对实数进行近似表示时产生的误差截断误差是由于数值方法对连续问题进行离散化处理时，由于近似引起的误差误差会影响数值计算结果的准确性，因此在数值计算中需要尽量减小误差

2.简述高斯消元法的基本思想及其步骤【答案】高斯消元法的基本思想是通过消元过程将线性方程组转化为上三角矩阵，然后通过回代过程求解方程组的解高斯消元法的步骤如下

（1）对线性方程组进行消元，将方程组转化为上三角矩阵；

（2）通过回代过程求解方程组的解

3.简述拉格朗日插值法的基本思想及其优缺点【答案】拉格朗日插值法的基本思想是通过插值节点构造插值多项式，使得插值多项式在插值节点上与被插值函数的值相等拉格朗日插值法的优点是计算简单，易于实现；缺点是插值多项式的阶数增加时，插值误差可能会增大

4.简述梯形法则的基本思想及其步骤【答案】梯形法则的基本思想是将积分区间分成小梯形，通过计算每个小梯形的面积来近似计算积分值梯形法则的步骤如下

（1）将积分区间分成n个小梯形；

（2）计算每个小梯形的面积；

（3）将所有小梯形的面积相加，得到积分的近似值

六、分析题（每题10分，共20分）

1.分析牛顿迭代法求解方程根的收敛速度及其影响因素【答案】牛顿迭代法在合适的初始值条件下具有二次收敛速度，收敛速度较快牛顿迭代法的收敛速度受到初始值的影响，如果初始值接近方程的根，则收敛速度较快；如果初始值远离方程的根，则收敛速度较慢此外，牛顿迭代法的收敛速度还受到被插值函数的性质的影响，如果被插值函数在方程的根附近具有较好的光滑性，则收敛速度较快；如果被插值函数在方程的根附近具有较差的光滑性，则收敛速度较慢

2.分析拉格朗日插值法的优缺点及其适用范围【答案】拉格朗日插值法的优点是计算简单，易于实现；缺点是插值多项式的阶数增加时，插值误差可能会增大拉格朗日插值法适用于插值节点较少且分布较均匀的情况；不适用于插值节点较多或分布不均匀的情况

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.已知函数fx=x^3-2x+1，试用牛顿迭代法求解方程fx=0在区间[0,2]内的根，要求误差不超过10^-6【答案】牛顿迭代法的迭代公式为x_{n+1}=x_n-fx_n/fx_n对于函数fx=x^3-2x+1，其导数为fx=3x^2-2取初始值x_0=1，代入迭代公式进行计算x_1=1-f1/f1=1-1-2+1/3-2=1-0=1x_2=1-f1/f1=1-1-2+1/3-2=1-0=1由于x_1=x_2，说明迭代已经收敛，此时x=1即为方程的根

2.已知插值节点为1,

2、2,

3、3,5，试用拉格朗日插值法构造插值多项式，并计算函数在x=

1.5处的插值值【答案】拉格朗日插值法的插值多项式为Lx=∑fx_i/x-x_i∏x-x_j对于插值节点1,

2、2,

3、3,5，构造插值多项式Lx=2/1-21-3+3/2-12-3+5/3-13-2Lx=2/1-2+3/1-1+5/21Lx=-1+-3+

2.5Lx=-

1.5当x=

1.5时，插值多项式的值为-

1.5【答案】

一、单选题

1.A

2.B

3.A

4.A

5.B

6.B

7.A

8.B

9.C

10.C

二、多选题

1.A、B、D

2.A、B、D

3.A、D

4.A、B、C

5.A、B、C

三、填空题

1.舍入误差；截断误差

2.唯一

3.插值节点

4.小梯形

5.差分

6.不断迭代逼近方程的根

7.高

8.高

四、判断题

1.（×）

2.（×）

3.（×）

4.（√）

5.（√）

五、简答题

1.数值计算中的误差主要来源于舍入误差和截断误差舍入误差是由于计算机的字长有限，对实数进行近似表示时产生的误差截断误差是由于数值方法对连续问题进行离散化处理时，由于近似引起的误差误差会影响数值计算结果的准确性，因此在数值计算中需要尽量减小误差

2.高斯消元法的基本思想是通过消元过程将线性方程组转化为上三角矩阵，然后通过回代过程求解方程组的解高斯消元法的步骤如下对线性方程组进行消元，将方程组转化为上三角矩阵；通过回代过程求解方程组的解

3.拉格朗日插值法的基本思想是通过插值节点构造插值多项式，使得插值多项式在插值节点上与被插值函数的值相等拉格朗日插值法的优点是计算简单，易于实现；缺点是插值多项式的阶数增加时，插值误差可能会增大

4.梯形法则的基本思想是将积分区间分成小梯形，通过计算每个小梯形的面积来近似计算积分值梯形法则的步骤如下将积分区间分成n个小梯形；计算每个小梯形的面积；将所有小梯形的面积相加，得到积分的近似值

六、分析题

1.牛顿迭代法在合适的初始值条件下具有二次收敛速度，收敛速度较快牛顿迭代法的收敛速度受到初始值的影响，如果初始值接近方程的根，则收敛速度较快；如果初始值远离方程的根，则收敛速度较慢此外，牛顿迭代法的收敛速度还受到被插值函数的性质的影响，如果被插值函数在方程的根附近具有较好的光滑性，则收敛速度较快；如果被插值函数在方程的根附近具有较差的光滑性，则收敛速度较慢

2.拉格朗日插值法的优点是计算简单，易于实现；缺点是插值多项式的阶数增加时，插值误差可能会增大拉格朗日插值法适用于插值节点较少且分布较均匀的情况；不适用于插值节点较多或分布不均匀的情况

七、综合应用题

1.x=

12.-

1.5。