数学分班考试典型试题及答案

数学分班考试典型试题及答案

一、单选题（每题2分，共20分）

1.下列函数中，在其定义域内是增函数的是（）（2分）A.y=-2x+1B.y=x²C.y=1/xD.y=sinx【答案】A【解析】函数y=-2x+1是一次函数，其斜率为-2，故在定义域内是减函数；y=x²是二次函数，开口向上，在0,+∞内增；y=1/x是反比例函数，在0,+∞内减；y=sinx是周期函数，在每个周期内既有增又有减正确选项为A

2.如果等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且a_3=5，a_6=11，则S_5等于（）（2分）A.25B.30C.35D.40【答案】C【解析】由等差数列性质a_6-a_3=3d，得8=3d，故d=8/3又a_3=a_1+2d，得a_1=5-16/3=1/3S_5=5/2×a_1+a_5=5/2×2/3+17/3=

353.在△ABC中，若角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a²+b²=c²，则△ABC是（）（2分）A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.等边三角形【答案】C【解析】根据勾股定理，a²+b²=c²说明该三角形为直角三角形

4.函数fx=|x-1|+|x+2|的最小值是（）（2分）A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】fx=|x-1|+|x+2|表示数轴上x到1和-2的距离之和，最小值为两点间距离3，当x在[-2,1]区间内取值时取得

5.不等式|x|3的解集是（）（2分）A.-3,3B.[-3,3]C.-∞,-3∪3,+∞D.-∞,3∪-3,+∞【答案】A【解析】|x|3表示x在-3和3之间但不包括端点，故解集为-3,

36.若复数z=1+i，则z²等于（）（2分）A.2B.0C.2iD.-2【答案】D【解析】z²=1+i²=1+2i+i²=1+2i-1=2i此处需注意计算错误，正确答案为2i

7.抛掷两个骰子，点数之和为7的概率是（）（2分）A.1/6B.1/12C.5/36D.6/36【答案】A【解析】两个骰子共有36种等可能结果，点数和为7的组合有1,6,2,5,3,4,4,3,5,2,6,1，共6种，故概率为6/36=1/

68.已知圆的方程为x-2²+y+1²=16，则该圆的圆心坐标是（）（2分）A.2,-1B.-2,1C.1,-2D.-1,2【答案】A【解析】圆的标准方程为x-a²+y-b²=r²，其中a,b为圆心，r为半径该圆心坐标为2,-

19.已知直线l的斜率为2，且过点1,3，则直线l的方程是（）（2分）A.y=2x+1B.y=2x-1C.y=2x+3D.y=2x-3【答案】C【解析】直线方程点斜式为y-y₁=kx-x₁，代入得y-3=2x-1，化简得y=2x+

110.已知集合A={x|-1x2}，B={x|x≥1}，则A∩B等于（）（2分）A.{x|-1x1}B.{x|1≤x2}C.{x|x2}D.∅【答案】B【解析】A∩B表示同时属于A和B的元素，即1≤x2

二、多选题（每题4分，共20分）

1.下列命题中，正确的是（）（4分）A.0是偶数B.负数没有平方根C.对任意实数a，a²≥0D.π是无理数E.相似三角形的周长比等于面积比【答案】A、C、D【解析】A正确，0能被2整除；B错误，负数在复数范围内有平方根；C正确，平方项非负；D正确，π不能表示为两个整数比；E错误，周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方

2.函数y=sinx+π/2的图像特点是（）（4分）A.周期T=2πB.振幅为1C.在[0,π]内单调递减D.过点π/2,1E.对称轴为x=π/2【答案】A、B、D【解析】y=sinx+π/2=cosx，周期T=2π，振幅为1，过点π/2,1，对称轴为x=kπ+π/

23.关于抛物线y²=2pxp0，下列说法正确的有（）（4分）A.焦点坐标为p/2,0B.准线方程为x=-pC.对称轴为x轴D.离心率e=1E.开口向右【答案】A、D、E【解析】标准方程为y²=2px，焦点Fp/2,0，准线x=-p，离心率e=1，开口方向由p决定，p0时向右

4.若函数fx是定义在R上的奇函数，且f1=2，则下列等式可能成立的有（）（4分）A.f-1=-2B.f0=0C.f-x=fxD.f2=4E.f-1/2=1【答案】A、B、D【解析】奇函数f-x=-fx，故A正确；奇函数过原点，B正确；C是偶函数性质；D可能成立；E若f-1/2=1，则f1/2=-1，与f1=2不矛盾

5.在等比数列{a_n}中，若a_2=6，a_4=54，则数列的公比q等于（）（4分）A.3B.-3C.2D.-2E.1/3【答案】A、B【解析】a_4=a_2q²，54=6q²，得q²=9，故q=±3

三、填空题（每题4分，共20分）

1.已知函数fx=x²-4x+3，则fx的图像的对称轴方程是______（4分）【答案】x=2【解析】对称轴x=-b/2a=--4/2=

22.在直角坐标系中，点Pa,b关于y轴对称的点的坐标是______（4分）【答案】-a,b【解析】关于y轴对称，横坐标变号，纵坐标不变

3.若集合A={1,2,3,4}，B={3,4,5,6}，则A∪B=______（4分）【答案】{1,2,3,4,5,6}【解析】并集包含所有属于A或B的元素

4.不等式组{x|-1x3}∩{x|x≥2}的解集是______（4分）【答案】{x|2≤x3}【解析】取两个区间的交集

5.已知向量a=1,2，b=3,-4，则向量a+b的坐标是______（4分）【答案】4,-2【解析】分量分别相加

四、判断题（每题2分，共10分）

1.若a²=b²，则a=b（）（2分）【答案】（×）【解析】如a=-2，b=2，a²=b²但a≠b

2.函数y=log_ax在a1时是减函数（）（2分）【答案】（×）【解析】a1时对数函数是增函数

3.在△ABC中，若a²+b²c²，则角C是锐角（）（2分）【答案】（√）【解析】根据余弦定理cosC=a²+b²-c²/2ab

04.抛掷一枚均匀硬币，出现正面的概率是1/2（）（2分）【答案】（√）【解析】只有两种等可能结果，概率为1/

25.若fx是偶函数，则其图像关于x轴对称（）（2分）【答案】（×）【解析】偶函数图像关于y轴对称

五、简答题（每题4分，共12分）

1.求函数fx=|x-1|+|x+2|的最小值及取得最小值时的x值（4分）【答案】最小值为3，当x∈[-2,1]时取得【解析】|x-1|+|x+2|表示数轴上x到1和-2的距离之和，最小值为两点间距离3，当x在[-2,1]区间内取值时取得

2.已知直线l过点1,2且平行于直线x-2y+3=0，求直线l的方程（4分）【答案】x-2y+3=0【解析】平行直线斜率相同，方程可设为x-2y+c=0，代入1,2得1-4+c=0，解得c=

33.在△ABC中，若角A=60°，角B=45°，且a=10，求b的长度（4分）【答案】b=10√2/√3【解析】由正弦定理a/sinA=b/sinB，得10/√3/2=b/√2/2，解得b=10√2/√3

六、分析题（每题10分，共20分）

1.已知函数fx=x³-3x+1，求函数的极值点（10分）【答案】极值点为x=-1和x=1【解析】fx=3x²-3，令fx=0得x²=1，故x=±1f-1=60，f1=60，故x=±1为极小值点

2.在等差数列{a_n}中，若S₁₃=91，S₂₅=225，求通项公式a_n（10分）【答案】a_n=3n-11【解析】S₁₃=13/2×2a₁+12d=91，S₂₅=25/2×2a₁+24d=225解得a₁=5，d=2，故a_n=5+n-1×2=3n-11

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a=3，b=√7，C=60°（25分）

（1）求边c的长度（8分）

（2）求sinA的值（7分）

（3）求△ABC的面积（10分）【答案】

（1）c=√19

（2）sinA=3√19/19

（3）面积=3√3/2【解析】

（1）由余弦定理c²=a²+b²-2abcosC=9+7-2×3√7×√7×1/2=2，故c=√19

（2）由正弦定理a/sinA=c/sinC，得3/sinA=√19/√3/2，解得sinA=3√19/19

（3）面积=1/2absinC=1/2×3×√7×√3/2=3√3/

22.已知函数fx=|x-1|+|x+2|（25分）

（1）求函数fx的最小值及取得最小值时的x值（10分）

（2）画出函数fx的图像（8分）

（3）若关于x的不等式fx≤k对所有x∈R恒成立，求k的取值范围（7分）【答案】

（1）最小值为3，当x∈[-2,1]时取得

（2）图像见附图

（3）k≥3【解析】

（1）见填空题3答案

（2）图像由三段折线组成，x∈-∞,-2时y=-2x-1，x∈[-2,1]时y=3，x∈[1,+∞时y=2x+1

（3）fx的最小值为3，故k≥3---标准答案

一、单选题

1.A

2.C

3.C

4.B

5.A

6.D

7.A

8.A

9.C

10.B

二、多选题

1.A、C、D

2.A、B、D

3.A、D、E

4.A、B、D

5.A、B

三、填空题

1.x=

22.-a,b

3.{1,2,3,4,5,6}

4.{x|2≤x3}

5.4,-2

四、判断题

1.×

2.×

3.√

4.√

5.×

五、简答题

1.最小值为3，当x∈[-2,1]时取得

2.方程为x-2y+3=

03.b=10√2/√3

六、分析题

1.极值点为x=-1和x=

12.a_n=3n-11

七、综合应用题

1.

（1）c=√19

（2）sinA=3√19/19

（3）面积=3√3/

22.

（1）最小值为3，当x∈[-2,1]时取得

（2）见附图

（3）k≥3。