数学甲卷高考真题与答案解析

数学甲卷高考真题与答案解析

一、单选题

1.若集合A={x|x^2-3x+2=0}，B={x|x=2k+1，k∈Z}，则集合A与B的关系是（）（2分）A.A⊆BB.B⊆AC.A=BD.A∩B=∅【答案】D【解析】集合A={1,2}，集合B为所有形如2k+1的整数组成的集合，A与B无交集

2.函数fx=log_ax+1在-1,+∞上单调递增，则实数a的取值范围是（）（2分）A.0,1B.1,+\inftyC.0,1∪1,+\inftyD.R【答案】B【解析】对数函数底数a1时单调递增

3.若向量a=1,2，b=x,1，且a∥b，则x的值为（）（1分）A.1/2B.2C.4D.-2【答案】C【解析】向量平行则对应分量成比例，x=

44.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a^2+b^2=2c^2，则sinC的值为（）（2分）A.1/2B.√2/2C.√3/2D.1【答案】A【解析】由余弦定理cosC=a^2+b^2-c^2/2ab=1/2，得sinC=√3/

25.执行以下程序段后，变量s的值为（）（2分）i=1;s=0;whilei=5dos=s+i;i=i+2;endwhileA.3B.8C.15D.31【答案】C【解析】计算1+3+5=

96.若复数z满足z^2+2z+1=0，则|z|的值为（）（1分）A.1B.√2C.2D.√3【答案】A【解析】z=-1，|z|=

17.某校高三年级有3个班级，每个班级选出正副班长各1名，则不同的选法共有（）种（2分）A.6B.8C.18D.36【答案】D【解析】每个班级2种选法，共有3×2×2×2=36种

8.在等差数列{a_n}中，a_1=5，a_4=10，则a_10的值为（）（2分）A.15B.20C.25D.30【答案】C【解析】公差d=5/3，a_10=5+9×5/3=

259.若直线y=kx+1与圆x-1^2+y^2=4相交于两点，则实数k的取值范围是（）（2分）A.k√3B.k√3C.|k|√3D.|k|√3【答案】C【解析】圆心到直线距离小于半径，|k|√

310.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）（2分）A.8πB.16πC.24πD.32π【答案】A【解析】由三视图可知为半球，体积=2πR^3/3=8π

二、多选题（每题4分，共20分）

1.以下命题中，正确的是（）A.空集是任何集合的子集B.若ab，则a^2b^2C.若fx为奇函数，则f0=0D.等比数列的任意项可以表示为首项与公比的积【答案】A、D【解析】B反例a=1b=-2；C反例fx=x^3，f0=

02.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，则下列条件中能确定△ABC的是（）A.a=3，b=4，c=5B.sinA:sinB:sinC=3:4:5C.cosA=1/2D.边长a、b及角C【答案】A、B、D【解析】C不唯一确定三角形

3.关于x的方程x^2+px+q=0（p≠0）的根的情况是（）A.若Δ0，则方程无实根B.若Δ=0，则方程有一根C.若Δ0，则方程两根异号D.若一根为-1，则p-q=1【答案】A、B【解析】C两根同号；D一根为-1时p+1=0，p-q=-

14.在极坐标系中，曲线ρ=4sinθ与ρ=3cosθ的交点坐标是（）A.0,0B.3√2/2,π/4C.3√2/2,3π/4D.3√2/2,π/4或3√2/2,3π/4【答案】D【解析】联立方程得ρ=3√2/2，θ=π/4或3π/

45.从6名男生和4名女生中选出3名代表参加活动，则满足以下条件的选法共有（）种

①至少有2名男生

②女生不能连在一起A.24B.36C.48D.60【答案】B、C【解析】

①选法为C6,2C4,1+C6,3=36；

②选法为C6,2C4,1=48

三、填空题

1.函数fx=|x-1|+|x+2|的最小值是______（2分）【答案】3【解析】分段函数fx=-2x-1x-23-2≤x≤12x+1x

12.执行以下程序段后，变量s的值为______（4分）i=1;s=0;whilei=5dos=s+i;i=i+1;ifi3thens=s+i;endifendwhile【答案】11【解析】计算1+2+3+4+5+4+3+2+1=

113.在直角坐标系中，点A1,2关于直线y=x的对称点的坐标是______（2分）【答案】2,1【解析】交换x,y坐标

4.某校高三年级有500名学生，其中男生占60%，则该校高三年级女生人数的标准差约为______（4分）【答案】

15.49【解析】n=500，p=

0.4，σ=np1-p≈

15.

495.在等比数列{a_n}中，a_1=1，a_3=8，则前5项和S_5的值为______（4分）【答案】31【解析】q=2，S_5=

316.若复数z=1+i，则|z|^2+z^的值为______（2分）【答案】3【解析】|z|^2+z^=1+1+1=

37.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为______（4分）【答案】50π【解析】由三视图可知为圆锥，侧面积+底面积=50π

8.执行以下程序段后，变量s的值为______（4分）a=1;b=2;s=0;whilea=10dos=s+ab;a=a+2;b=b-1;endwhile【答案】35【解析】计算12+31+50+7-1+9-2=35

四、判断题（每题2分，共10分）

1.若fx为偶函数，则fx=f-x恒成立（）【答案】（√）

2.两个相似三角形的周长比等于它们的面积比（）【答案】（√）

3.若直线y=kx+b与圆x-a^2+y^2=r^2相切，则圆心到直线的距离等于r（）【答案】（√）

4.在等差数列{a_n}中，若a_m=a_n，则m=n（）【答案】（×）【解析】可能m、n关于中项对称

5.若事件A与B互斥，则PA∪B=PA+PB（）【答案】（√）

五、简答题（每题4分，共20分）

1.已知函数fx=x^3-3x+1，求fx在[-2,2]上的最大值和最小值【解】fx=3x^2-3，令fx=0得x=±1f-2=-5，f-1=3，f1=-1，f2=3最大值为3，最小值为-

52.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a=2，b=√3，C=30°，求sinB的值【解】由正弦定理a/sinA=b/sinB，得sinB=bsinA/a=√3sin30°/2=3√3/

43.已知数列{a_n}的前n项和为S_n=2n^2+3n，求a_5的值【解】a_n=S_n-S_{n-1}=4n+5，a_5=

254.若复数z=1+i，求|z|^2和z^的值【解】|z|^2=2，z^=1-i

5.已知直线l x-y+1=0与圆C x-2^2+y^2=4相交于A、B两点，求弦AB的长度【解】圆心到直线距离d=√2，弦长=2√r^2-d^2=2√2

六、分析题（每题10分，共20分）

1.已知函数fx=x^3-3x^2+2x，求fx的单调区间【解】fx=3x^2-6x+2=3x-1x-2，令fx=0得x=1/3，2当x∈-∞,1/3时fx0，递增；当x∈1/3,2时fx0，递减；当x∈2,+∞时fx0，递增单调增区间-∞,1/3∪2,+∞；单调减区间1/3,

22.某工厂生产一种产品，每件成本为10元，售价为x元，根据市场调查，销售量y与售价x满足关系y=1200-20x，

（1）求该工厂的利润函数Px；

（2）求该工厂获得最大利润时的售价和利润【解】

（1）Px=xy-10y=x1200-20x-101200-20x=-20x^2+2200x-12000；

（2）Px=-40x+2200，令Px=0得x=55Px=-400，x=55时取得极大值，也是最大值P55=-20×55^2+2200×55-12000=6050元

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a=3，b=√7，C=60°，求

（1）边c的值；

（2）cosB的值；

（3）△ABC的面积【解】

（1）由余弦定理c^2=a^2+b^2-2abcosC=9+7-23√7cos60°=4，c=2；

（2）由余弦定理cosB=a^2+c^2-b^2/2ac=9+4-7/232=1/2；

（3）sinB=√3/2，S_△=1/2acsinB=3√3/

22.某商场销售一种商品，进价为a元，售价为b元，根据市场调查，销售量与售价的关系近似满足y=k√b+1（k为常数），

（1）若商场要获得最大利润，应将售价定为多少？

（2）若商场计划获得1000元利润，至少需要销售多少件商品？

（3）若商场的月销售额为8000元，求该商品的定价b【解】

（1）利润P=b-ak√b+1=kb^3/2-a√b-a，P=3/2kb^1/2-a/b，令P=0得b=a^2/3，此时取得极大值，也是最大值；

（2）1000=kb^3/2-a√b-a，解得b≈

15.49；

（3）8000=bk√b+1，代入b=a^2/3得a≈

7.59，b≈

17.59。