数学研究员创新考试题及完美答案

数学研究员创新考试题及完美答案

一、单选题（每题2分，共20分）

1.下列函数中，在其定义域内是增函数的是（）A.y=-2x+1B.y=x^2C.y=1/xD.y=2^x【答案】D【解析】指数函数y=a^x（a1）在其定义域内是增函数，只有选项D符合条件

2.若集合A={x|x^2-3x+2=0}，B={x|x=1或x=2}，则集合A与B的关系是（）A.A⊂BB.A⊃BC.A=BD.A∩B=∅【答案】C【解析】解方程x^2-3x+2=0得x=1或x=2，所以A={1,2}，B={1,2}，故A=B

3.在△ABC中，若角A=60°，角B=45°，则角C等于（）A.75°B.105°C.135°D.150°【答案】A【解析】三角形内角和为180°，所以角C=180°-60°-45°=75°

4.函数y=sinx+π/4的图像关于（）对称A.x轴B.y轴C原点D直线x=π/4【答案】C【解析】正弦函数y=sinx+φ的图像关于原点对称

5.若复数z=1+i，则|z|等于（）A.1B.√2C.2D.√3【答案】B【解析】复数z=1+i的模|z|=√1^2+1^2=√

26.直线y=kx+1与圆x^2+y^2=1相切，则k的值为（）A.±1B.±√2C.±√3D.0【答案】B【解析】圆心到直线的距离等于半径，即|k|/√1+k^2=1，解得k=±√

27.等差数列{a_n}中，a_1=2，a_5=8，则其前10项和S_10等于（）A.50B.100C.150D.200【答案】B【解析】由等差数列通项公式a_n=a_1+n-1d，得d=8-2/5-1=2，所以S_10=10×2+10×9/2×2=

1008.若事件A的概率PA=

0.6，事件B的概率PB=

0.7，且PA∪B=

0.8，则PA∩B等于（）A.

0.1B.

0.2C.

0.3D.

0.4【答案】C【解析】根据概率加法公式PA∪B=PA+PB-PA∩B，得PA∩B=PA+PB-PA∪B=

0.6+

0.7-

0.8=

0.

59.函数fx=log_ax+1在区间-1,+∞上单调递增，则a的取值范围是（）A.0,1B.1,+∞C.0,1∪1,+∞D.R【答案】B【解析】对数函数y=log_ax+1在底数a1时单调递增

10.在空间直角坐标系中，点P1,2,3到平面x+y+z=1的距离等于（）A.√6/3B.√15/3C.2D.3【答案】A【解析】点到平面的距离公式为|ax_0+by_0+cz_0+d|/√a^2+b^2+c^2，代入得|1+2+3-1|/√1^2+1^2+1^2=√6/3

二、多选题（每题4分，共20分）

1.下列命题中，正确的有（）A.空集是任何集合的子集B.若A⊆B，B⊆C，则A⊆CC.若A∩B=A，则A⊆BD.若A∪B=A，则B⊆AE.集合{1,2,3}的真子集共有7个【答案】A、B、C、D【解析】根据集合理论基本性质，以上四个命题均正确集合{1,2,3}的真子集共有2^3-1=7个，故E也正确

2.以下函数中，在其定义域内连续的有（）A.y=√xB.y=tanxC.y=1/xD.y=lnxE.y=cotx【答案】A、D【解析】根式函数、对数函数在其定义域内连续，tanx在kπ+π/2（k∈Z）处不连续，1/x在x=0处不连续，cotx在kπ（k∈Z）处不连续

3.在直角坐标系中，以下方程表示圆的有（）A.x^2+y^2-2x+4y-1=0B.x^2+y^2+4x+6y+9=0C.x^2+y^2+2x-2y+1=0D.x^2+y^2-4x+2y+5=0E.x^2+y^2+6x-4y+9=0【答案】A、C、E【解析】圆的一般方程为x^2+y^2+Ax+By+C=0，其中A^2+B^2-4C0经检验，B、D不满足条件

4.以下不等式成立的有（）A.-2^3-1^3B.√21C.2^-12^0D.-3^2-2^2E.log_39log_38【答案】B、C、E【解析】A错误，-2^3=-8-1^3=-1；B正确，√2≈

1.4141；C正确，2^-1=1/21=2^0；D错误，-3^2=9=-2^2；E正确，log_39=2log_38≈

1.

8935.以下命题中，属于充分不必要条件的有（）A.x0且y0⇒x+y0B.x^2=1⇒x=1C.sinα=1⇒α=π/2D.ab⇒a^2b^2E.|x|1⇒x^21【答案】A、E【解析】A正确，x0且y0时x+y0，但x+y0不一定x0且y0；E正确，|x|1时x^2=|x|^21，但x^21不一定|x|1（如x=-2）；B错误，x^2=1⇒x=±1；C错误，sinα=1⇒α=2kπ+π/2（k∈Z）；D错误，ab且a,b0时a^2b^2，但a^2b^2不一定ab（如a=-3,b=-2）

三、填空题（每题4分，共20分）

1.若直线y=kx+b过点1,2和-1,0，则k+b=______【答案】3【解析】由两点式得k=0-2/-1-1=1，代入1,2得2=1×1+b，解得b=1，所以k+b=1+1=

32.函数y=2sin3x+π/6的最小正周期T=______【答案】2π/3【解析】正弦函数y=asinωx+φ的周期T=2π/|ω|=2π/

33.在△ABC中，若角A=30°，角B=60°，边a=2，则边c=______【答案】2√3【解析】由正弦定理a/sinA=c/sinC，得c=asinC/sinA=asin180°-A-B/sinA=2×sin90°/sin30°=2√

34.若复数z=1-2i的模与复数w=3+i的模相等，则|w|的值为______【答案】√10【解析】|z|=√1^2+-2^2=√5，所以|w|=√

105.在等比数列{a_n}中，a_1=1，a_4=16，则其前5项和S_5=______【答案】31【解析】由等比数列通项公式a_n=a_1q^n-1，得q^3=a_4/a_1=16，解得q=2，所以S_5=1×1-2^5/1-2=31

四、判断题（每题2分，共10分）

1.若fx是奇函数，则f0=0（）【答案】（×）【解析】奇函数fx满足f-x=-fx，但f0=-f0，所以f0=0如fx=x^3，f0=0；但fx=x^3+x，f0=0，但fx不是奇函数，故命题错误

2.方程x^2+px+q=0有实根的充要条件是Δ=p^2-4q≥0（）【答案】（√）【解析】根据一元二次方程根的判别式，Δ≥0是方程有实根的充要条件

3.函数y=|x|在区间-1,1上是减函数（）【答案】（×）【解析】函数y=|x|在-1,0上减，在0,1上增，故在-1,1上不是减函数

4.若集合A={1,2,3}，B={2,3,4}，则A∩B={1}（）【答案】（×）【解析】A∩B是两个集合的公共元素，A∩B={2,3}

5.对任意实数x，y，有|x+y|≥|x|+|y|（）【答案】（×）【解析】根据绝对值三角不等式，|x+y|≤|x|+|y|，只有当xy≥0时等号成立

五、简答题（每题4分，共12分）

1.简述等差数列与等比数列的主要区别【答案】等差数列与等比数列的主要区别

（1）定义不同等差数列是指从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数；等比数列是指从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数

（2）通项公式不同等差数列通项公式a_n=a_1+n-1d，等比数列通项公式a_n=a_1q^n-1

（3）前n项和公式不同等差数列前n项和S_n=na_1+a_n/2或S_n=na_1+nn-1/2d；等比数列前n项和S_n=a_11-q^n/1-q（q≠1）或S_n=a_11-q/1-q^n（q=1）

（4）几何意义不同等差数列对应数轴上均匀分布的点；等比数列对应数轴上等比分布的点

2.简述函数y=cosx的图像特点【答案】函数y=cosx的图像特点

（1）定义域R（所有实数）

（2）值域[-1,1]

（3）周期性周期T=2π，即cosx+2π=cosx

（4）奇偶性偶函数，即cos-x=cosx

（5）单调性在[2kπ,2kπ+π]（k∈Z）上单调递减，在[2kπ+π,2kπ+2π]（k∈Z）上单调递增

（6）对称性关于x=π/2+kπ（k∈Z）对称

（7）零点x=kπ+π/2（k∈Z）

3.简述直线与圆的位置关系的判断方法【答案】直线与圆的位置关系的判断方法

（1）代数法将直线方程代入圆方程，消去y（或x）得x（或y）的一元二次方程，判别式Δ-若Δ0，直线与圆相交；-若Δ=0，直线与圆相切；-若Δ0，直线与圆相离

（2）几何法计算圆心到直线的距离d与圆的半径r的关系-若dr，直线与圆相离；-若d=r，直线与圆相切；-若dr，直线与圆相交

六、分析题（每题10分，共20分）

1.已知函数fx=x^3-3x^2+2，求fx的单调区间【答案】求fx的单调区间

（1）求导数fx=3x^2-6x

（2）令fx=0，得3xx-2=0，解得x=0或x=2

（3）用导数符号法判断-当x∈-∞,0时，fx=3xx-20，fx单调递增；-当x∈0,2时，fx=3xx-20，fx单调递减；-当x∈2,+∞时，fx=3xx-20，fx单调递增

（4）结论fx的单调增区间为-∞,0和2,+∞，单调减区间为0,

22.已知数列{a_n}的前n项和为S_n=2^n-1，求证数列是等比数列，并求通项公式【答案】证明数列是等比数列

（1）当n=1时，a_1=S_1=2^1-1=1

（2）当n≥2时，a_n=S_n-S_{n-1}=2^n-1-2^{n-1}-1=2^n-2^{n-1}=2^{n-1}

（3）验证通项公式对于n=1，a_1=2^0=1；对于n≥2，a_n=2^{n-1}，符合等比数列通项公式a_n=a_1q^n-1

（4）所以数列是等比数列，公比q=2，通项公式a_n=2^{n-1}

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.某工厂生产一种产品，固定成本为10000元，每件产品可变成本为50元，售价为80元若产品需求量x（件）与价格p（元）的关系为p=120-2x，求该工厂的利润函数，并求当产量x=200件时的利润【答案】求利润函数

（1）收入函数Rx=x·p=x120-2x=120x-2x^2

（2）成本函数Cx=10000+50x

（3）利润函数Lx=Rx-Cx=120x-2x^2-10000+50x=-2x^2+70x-10000求x=200件时的利润

（1）代入Lx=-2x^2+70x-10000，得L200=-2×200^2+70×200-10000=-28000+14000-10000=-28000+4000=-24000

（2）结论当产量x=200件时，工厂的利润为-24000元，即亏损24000元

2.已知在△ABC中，角A=60°，角B=45°，边a=2√3，求边b、边c及面积S△ABC【答案】求边b、边c及面积S△ABC

（1）求角C角C=180°-60°-45°=75°

（2）求边b由正弦定理a/sinA=b/sinB，得b=asinB/sinA=2√3×sin45°/sin60°=2√3×√2/2÷√3=√6

（3）求边c由正弦定理a/sinA=c/sinC，得c=asinC/sinA=2√3×sin75°/sin60°=2√3×√6+√2/4÷√3=√6+√2/2

（4）求面积S△ABC S△ABC=1/2×a×b×sinC=1/2×2√3×√6×√6+√2/4=3√2+1

（5）结论边b=√6，边c=√6+√2/2，面积S△ABC=3√2+1。