数学竞赛试题展示与答案揭秘

数学竞赛经典试题展示与答案揭秘

一、单选题（每题2分，共20分）

1.已知函数fx=x³-3x+1，则方程fx=0在区间-2,-1内的实根个数为（）（2分）A.0B.1C.2D.3【答案】B【解析】f-2=-50，f-1=-1+3+1=30，由介值定理可知存在唯一实根

2.在△ABC中，若cosAcosB+sinAsinBcosC=1/2，则角C的度数可能是（）（2分）A.30°B.60°C.120°D.150°【答案】B【解析】cosA-B=1/2，A-B=60°，又C=180°-A+B，所以C=60°

3.若正数a,b满足a²+b²=2，则a³+b³的最小值为（）（2分）A.-1B.1C.2D.3【答案】B【解析】a+b²=a²+b²+2ab=2+2ab，a³+b³=a+ba²-b²=a+b²-ab=2-ab≤

24.定义运算ab=√a²+b²，则函数y=2x-1x+3的最小值是（）（2分）A.2√2B.√10C.5D.√13【答案】B【解析】y=√[2x-1²+x+3²]=√5x²+10x+10，当x=-1时取最小值√

105.已知点P在圆x²+y²=1上运动，则|OP-2|+|OP+3|的最小值为（）（2分）A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】设Px,y，则|OP-2|+|OP+3|=|√x²+y²-2|+|√x²+y²+3|≥|√x²+y²+1|=

36.不等式|x-1|+|x+2|3的解集是（）（2分）A.{x|x-1或x2}B.{x|-1x2}C.{x|x-2或x1}D.{x|x-3或x4}【答案】A【解析】分段讨论x-2时，-x+1-x+23，x-1；-2≤x-1时，-x+1+x+23，无解；-1x1时，x-1+x+23，x1；x≥1时，x-1+x+23，x

27.已知数列{a_n}的前n项和为S_n，若a_n=S_n/S_n-S_{n-1}，则{a_n}一定是（）（2分）A.等差数列B.等比数列C.递增数列D.常数列【答案】D【解析】a_n=S_n/S_n-S_{n-1}=1，故a_n=1为常数列

8.函数fx=x²lnx在x=1处的切线方程是（）（2分）A.y=x-1B.y=xC.y=2x-2D.y=2x【答案】A【解析】fx=2xlnx+x，f1=1，f1=0，故切线方程为y=x-

19.若复数z满足|z|=1，则z²+z+1=0的解的辐角主值是（）（2分）A.π/3B.2π/3C.4π/3D.5π/3【答案】B【解析】设z=cosθ+isinθ，则z²+z+1=0等价于cos2θ+cosθ+isin2θ+sinθ=0，解得θ=2π/

310.在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，若底面是边长为a的正方形，则顶点P到对角线AC的垂线段长为（）（2分）A.a/2B.a√2/2C.a√3/2D.a【答案】B【解析】取AC中点E，连PE，则PE⊥AC，PE=√PA²+AE/2²=√a²+a√2/2²=a√2/2

二、多选题（每题4分，共20分）

1.下列命题中正确的有（）（4分）A.若ab，则a²b²B.若fx是奇函数，则fx²是偶函数C.若直线l不垂直于平面α，则l与α一定相交D.若fx在x=x₀处可导，则fx在x=x₀处必连续E.若数列{a_n}单调递增，则对任意n，都有a_n+1a_n【答案】B、D、E【解析】A反例a=2b=1，但a²=4b²=1不成立；C反例l在α内；B由f-x=-fx得fx²=f-x²=-fx²，是偶函数；D可导必连续；E单调递增定义

2.下列函数中，在定义域上为增函数的有（）（4分）A.y=3x²-2xB.y=1/xC.y=√x+1D.y=|x|E.y=ln1-x【答案】C、D【解析】A在x=1/3处递减；B在x0递减；C单调递增；D在x≥0递增；E单调递减

3.下列方程中，在复数域中有解的有（）（4分）A.x²+4=0B.x²-2x+5=0C.x³-x=0D.x⁴+1=0E.x²+x+1=0【答案】A、B、C、D、E【解析】A有解x=±2i；B△=4-20=-160有解x=1±2i；C有解x=0，±1；D有解x=±1/√2±i/√2；E△=1-4=-30有解x=-1±√3i/

24.下列几何体中，其三视图完全相同的有（）（4分）A.正方体B.球体C.正三棱柱D.圆锥E.正四棱锥【答案】A、B【解析】正方体三视图均为正方形；球体三视图均为圆形；正三棱柱、圆锥、正四棱锥三视图均不同

5.已知函数fx满足fx+1=fx+f1，且f0=1，则下列说法正确的有（）（4分）A.fx是周期函数B.fx是奇函数C.f2023=2024D.fx是单调函数E.f2023=f1+f2+...+f2022【答案】C、E【解析】fx+1=fx+1，fx=x，f2023=2023，f2023=f1+f2+...+f2022成立；A周期为1；B非奇非偶；C正确；D非单调；E正确

三、填空题（每题4分，共20分）

1.已知x²+y²=1，则x+ymax=______（4分）【答案】√2【解析】x+y=√2+2cos2θ≤√

22.函数fx=x²+2ax+1在区间[-1,1]上的最小值是-2，则a=______（4分）【答案】±√3【解析】f-1=1-2a+1=-2，a=±√

33.设fx=√x，若gx是fx的反函数，则g4=______（4分）【答案】2【解析】gx=x²，g4=16=4²，故g4=

24.在△ABC中，若cosA=1/2，cosB=1/3，则cosC=______（4分）【答案】-5/6【解析】cosC=-cosA+B=-cosAcosB+sinAsinB=-1/6+√1-1/4×√1-1/9=-5/

65.在数列{a_n}中，若a₁=1，a_n+1=3a_n+2，则a₁+a₂+...+a₁₀=______（4分）【答案】8877【解析】{a_n+1}是等比数列，a_n=2×3ⁿ⁻¹-1，S₁₀=3¹⁰-1=8877

四、判断题（每题2分，共10分）

1.若函数fx在区间I上单调递增，则fx在该区间上必有最大值（）（2分）【答案】（×）【解析】如fx=x在0,+∞上单调递增，但无最大值

2.若复数z满足|z|=1，则z²+z+1=0的解一定是纯虚数（）（2分）【答案】（√）【解析】设z=a+bi，则a²+b²+a+bi+1=0，解得a=-1/2，b=±√3/2，均为纯虚数

3.若数列{a_n}满足a_n+1=a_n+c（c为常数），则{a_n}一定是等差数列（）（2分）【答案】（√）【解析】a_n+1-a_n=c，是等差数列定义

4.若四面体ABCD的体积为V，则过顶点A的截面将体积分为1:2两部分时，该截面的面积是2V/3（）（2分）【答案】（×）【解析】当截面与BCD平行时，面积是V/3；当截面不过BCD中心时，面积不等于2V/

35.若fx是定义在R上的奇函数，且fx在x0时单调递增，则fx在x0时也单调递增（）（2分）【答案】（√）【解析】f-x=-fx，若x₁x₂，则fx₁fx₂，得f-x₂f-x₁，即fx在x0时单调递增

五、简答题（每题5分，共15分）

1.已知函数fx=x³-3x+1，求fx在[0,3]上的最大值和最小值（5分）【答案】f1=-1最小，f3=19最大【解析】fx=3x²-3，x=±1，f0=1，f1=-1，f3=19，故最大值为19，最小值为-

12.已知数列{a_n}的前n项和为S_n=2n²-3n，求a₁和a_n的表达式（5分）【答案】a₁=-1，a_n=4n-5（n≥2）【解析】a₁=S₁=-1，a_n=S_n-S_{n-1}=4n-5（n≥2）

3.在△ABC中，若角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a²+b²+c²=ab+bc+ca，求角C的度数（5分）【答案】C=60°【解析】2a²+b²+c²=2ab+bc+ca，cosC=1/2，故C=60°

六、分析题（每题10分，共20分）

1.已知函数fx=|x-1|+|x+2|，求fx的最小值，并画出函数图像（10分）【答案】最小值为3【解析】fx=x+3（x-2），-3（-2≤x≤1），x-1（x1），图像是折线段

2.已知数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=a_n+1/√a_n+1（n≥1），证明{a_n}单调递增且收敛（10分）【证明】a_n0，a_n+1-a_n=a_n+1/√a_n+1-a_n=√a_n+1-√a_n²/√a_n+10，故单调递增；又a_n≤1，故有界，故收敛

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.在△ABC中，若角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足a²+b²+c²=ab+bc+ca，且cosA=1/3，求△ABC的面积（25分）【解】cosA=1/3，sinA=2√2/3，由余弦定理a²=b²+c²-ac，代入面积公式S=1/2bcsinA=bc√2/

32.已知函数fx=x³-3x+a，若曲线y=fx在点1,0处的切线与直线y=x-1平行，求a的值，并讨论fx的单调性（25分）【解】fx=3x²-3，f1=0，故a=2，fx=x³-3x+2，fx=3x+1x-1，增区间-∞,-

1、1,+∞，减区间-1,1---标准答案

一、单选题

1.B

2.B

3.B

4.B

5.C

6.A

7.D

8.A

9.B

10.B

二、多选题

1.B、D、E

2.C、D

3.A、B、C、D、E

4.A、B

5.C、E

三、填空题

1.√

22.±√

33.

24.-5/

65.8877

四、判断题

1.（×）

2.（√）

3.（√）

4.（×）

5.（√）

五、简答题

1.最大值19，最小值-

12.a₁=-1，a_n=4n-5（n≥2）

3.C=60°

六、分析题

1.最小值3，图像见解析

2.证明见解析

七、综合应用题

1.S=bc√2/

32.a=2，增区间-∞,-

1、1,+∞，减区间-1,1。