数学系硕士研究生入学试题及参考答案

数学系硕士研究生入学试题及参考答案

一、单选题（每题2分，共20分）

1.函数fx=x^3-3x+2在区间[-2,2]上的最大值是（）（2分）A.8B.6C.2D.0【答案】A【解析】fx=3x^2-3，令fx=0，得x=±1f-2=-4+6=2，f-1=-1+3=2，f1=-1+3=2，f2=8-6=2最大值为

62.极限limx→0sinx-x/x^3的值是（）（2分）A.0B.1/6C.1/2D.-1/3【答案】B【解析】利用洛必达法则，原式=limx→0cosx-1/3x^2=limx→0-sinx/6x=-1/

63.级数∑n=1to∞-1^n+1/n收敛性是（）（2分）A.发散B.绝对收敛C.条件收敛D.无法判断【答案】C【解析】交错级数，满足莱布尼茨判别法，条件收敛

4.方程x^2+y^2-2x+4y-1=0表示的曲线是（）（2分）A.圆B.椭圆C.抛物线D.双曲线【答案】A【解析】完成平方得x-1^2+y+2^2=6，是圆的标准方程

5.设A为3阶方阵，|A|=2，则|3A|=（）（2分）A.3B.6C.18D.54【答案】D【解析】|kA|=k^n|A|，n为阶数，|3A|=3^3|A|=

546.矩阵A=[[1,2],[3,4]]的特征值是（）（2分）A.1,2B.-1,4C.2,-3D.0,5【答案】B【解析】|λI-A|=λ-1λ-4-6=λ^2-5λ-2=0，解得λ=-1,

47.随机变量X的分布律为PX=k=k+1/6，k=1,2,则EX=（）（2分）A.1B.3/2C.2D.5/3【答案】C【解析】EX=ΣkPX=k=1+1/6+2+1/6+3+1/6=5/

28.正态分布N0,1的分布函数值Φ1约等于（）（2分）A.

0.1B.

0.5C.

0.8413D.

0.9772【答案】C【解析】标准正态分布表查得Φ1≈

0.

84139.设事件A，B互斥，PA=

0.3，PB=

0.4，则PA∪B=（）（2分）A.

0.1B.

0.7C.

0.8D.

0.1【答案】B【解析】PA∪B=PA+PB=

0.3+

0.4=

0.

710.设空间直线L过点1,2,3，方向向量为1,1,1，则L的参数方程是（）（2分）A.x=1+t,y=2+t,z=3+tB.x=1-t,y=2-t,z=3-tC.x=1,y=2,z=3D.x=1,y=2+t,z=3+t【答案】A【解析】直线参数方程为x=x0+at,y=y0+bt,z=z0+ct，得x=1+t,y=2+t,z=3+t

二、多选题（每题4分，共20分）

1.下列函数在x→0时是无穷小量的有（）（4分）A.sinxB.x^2C.log1+xD.e^x-1【答案】B、C、D【解析】sinx、x^

2、log1+x、e^x-1当x→0时极限均为0，是无穷小量考查无穷小定义

2.多项式fx=x^3-ax^2+bx-1有重根的充要条件是（）（4分）A.a=3,b=3B.a=0,b=-1C.a=1,b=2D.a=2,b=3【答案】A、B【解析】fx=3x^2-2ax+b，有重根需fx与fx有公共根，解方程组得A、B选项

3.下列向量组线性无关的有（）（4分）A.1,0,0,0,1,0,0,0,1B.1,2,3,2,4,6C.1,1,2,2D.1,0,0,1,1,1【答案】A【解析】A选项为标准正交基，线性无关；B选项2,4,6=21,2,3，线性相关；C选项2,2=21,1，线性相关；D选项1,1=1,0+0,1，线性相关

4.下列命题正确的有（）（4分）A.若A可逆，则kA也可逆（k≠0）B.若A可逆，则|A|≠0C.若A^2=0，则A=0D.若A是实对称矩阵，则A的特征值都是实数【答案】A、B、D【解析】A选项|kA|=k^n|A|≠0，kA可逆；B选项A可逆⇔|A|≠0；C选项反例A=[1,0;0,0]；D选项实对称矩阵特征值必为实数

5.下列统计量是总体均值的无偏估计的有（）（4分）A.样本均值B.样本中位数C.样本最大值D.样本方差【答案】A【解析】E样本均值=μ，E样本中位数≠μ（除非分布对称），E样本最大值≠μ，E样本方差=σ^2（注意是样本方差s^2）

三、填空题（每题4分，共20分）

1.若函数fx在x=0处二阶可导，且f0=0,f0=1,f0=3，则limx→0e^x-fx/x^2=______（4分）【答案】-1/2【解析】利用泰勒展开fx=f0+f0x+f0x^2/2+ox^2，原式=e^x-1+x+3x^2/2+ox^2/x^2=x^2/2+ox^2/x^2=1/2→1/2，答案为-1/2（此处修正参考答案）

2.抛物线y=4-x^2与直线y=2x相交的面积是______（4分）【答案】18/5【解析】联立方程得x=-2/3,x=0，面积=∫[-2/3to0]4-x^2-2xdx=[4x-x^2/3-x^2/2]from-2/3to0=18/

53.矩阵A=[[1,0,0],[0,2,1],[0,1,2]]的特征多项式是______（4分）【答案】λ^3-5λ^2+4λ【解析】|λI-A|=|λ-1|[λ-2^2-1]=λ-1λ^2-4λ+3=λ^3-5λ^2+4λ

4.设随机变量X~Nμ,σ^2，PXμ-σ=

0.2，则PXμ+σ=______（4分）【答案】

0.8【解析】对称性，PXμ+σ=1-PXμ-σ=

0.

85.曲线y=lnx在点1,0处的曲率半径是______（4分）【答案】1【解析】ρ=1/|y|=1+1/x^2^3/2/|-2/x^3|atx=1=1

四、判断题（每题2分，共10分）

1.若函数fx在[a,b]上连续，则fx在[a,b]上必有界（）（2分）【答案】（×）【解析】反例fx=1/x在0,1]上连续无界

2.若向量组α1,α2,α3线性无关，则α1+α2,α2+α3,α3+α1也线性无关（）（2分）【答案】（×）【解析】α1+α2+-α2-α3+α3+α1=α1+α2+α3，线性相关

3.若A是可逆矩阵，则|A|0（）（2分）【答案】（√）【解析】A可逆⇔|A|≠0，若|A|0，则|A|≠0，A可逆

4.设A是n阶实对称矩阵，则存在正交矩阵P，使P^TAP为对角矩阵（）（2分）【答案】（√）【解析】实对称矩阵必可正交对角化，即存在正交P使P^TAP=diagλ1,...,λn

5.若事件A，B相互独立，则PA|B=PA（）（2分）【答案】（√）【解析】PA|B=PAB/PB=PAPB/PB=PA

五、简答题（每题5分，共15分）

1.证明若级数∑an收敛，则级数∑an^2收敛（5分）【解析】因为|an|→0，存在N，当n≥N时|an|1，an^2≤|an|，由比较审敛法，∑an^2收敛

2.设z=fu,v，u=xy，v=x+y，求∂^2z/∂x^2（5分）【解析】∂z/∂x=∂f/∂u·∂u/∂x+∂f/∂v·∂v/∂x=fu·y+fv·1=yfu+fv，∂^2z/∂x^2=yfuy+yfvu+fu+yfvu+fv=y^2fu+2yfv+yfvu+fv

3.写出样本均值X和样本方差S^2的公式，并说明它们是总体均值μ和方差σ^2的无偏估计量（5分）【解析】X=Σx/n，S^2=Σx-x^2/n-1，EX=μ，ES^2=σ^2，故均为无偏估计

六、分析题（每题10分，共20分）

1.讨论函数fx=x^3-3x^2+2在-∞,∞上的单调性和极值（10分）【解析】fx=3x^2-6x=3xx-2，令fx=0得x=0,2f-∞0，f00，f20，f+∞0单调增区间-∞,0,2,+∞，单调减区间0,2f0=2为极大值，f2=-2为极小值

2.设A为n阶实对称矩阵，证明存在正交变换x=Py，将二次型fx=x^TAx化成标准形fy=Σλiyi^2（10分）【解析】因A对称，必正交对角化存在正交P使P^TAP=diagλ1,...,λn令x=Py，fx=x^TAx=Py^TAPy=y^TP^TAPy=Σλiyi^2，即fy=Σλiyi^2，其中λi为A的特征值

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.求解微分方程组x=x-2y，y=3x-2y，x0=1,y0=0（25分）【解析】系数矩阵A=[1,-2;3,-2]，特征值λ=-1,-1特征向量对应-1I-A=[-3,2;3,1]→[1,-2/3;0,0]，取v1=[2/3;1]求广义特征向量-I-Av2=x，v2=[1;3]通解x=c1e^{-t}2/3v1+v2+c2te^{-t}v1=e^{-t}[2/3×2/3+1×2/3+c2t×2/3]i+e^{-t}[c1×1/3+3c2t]j=e^{-t}[4/9+1×2/3+2/3c2t]i+e^{-t}[c1/3+3c2t]j=e^{-t}10/27+2/3c2ti+e^{-t}c1/3+3c2tj由x0=1,y0=0，得c1=10/27,c2=-1/9解为x=10e^{-t}/27-2te^{-t}/9，y=-10e^{-t}/27+3te^{-t}/

92.某地区有100万人，每年新增人口与当年人口成正比，比例系数为

0.1设xt为t年后人口数，初始人口为100万求

（1）xt的表达式；

（2）10年后人口是多少？

（3）多少年后人口翻倍？（25分）【解析】

（1）dx/dt=

0.1x⇒x=Ce^

0.1t，x0=100万⇒C=100万⇒x=100万e^

0.1t

（2）x10=100万e=

271.8万

（3）100万e^

0.1t=200万⇒e^

0.1t=2⇒

0.1t=ln2⇒t≈

6.9年。