数学考试高频题目及答案详解

数学考试高频题目及答案详解

一、单选题（每题2分，共20分）

1.若函数fx=ax^2+bx+c在x=1时取得最小值-1，且f0=1，则（）（2分）A.a0,b=-2,c=1B.a0,b=2,c=1C.a=1,b=-2,c=1D.a=-1,b=2,c=1【答案】A【解析】fx在x=1时取得最小值，说明对称轴为x=1，且a0f0=1即c=1，代入f1=-1得a+b+c=-1，解得b=-2故选A

2.若等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_5=25，S_10=70，则a_6+a_7+a_8+a_9+a_10的值为（）（2分）A.30B.35C.40D.45【答案】C【解析】由S_n公式得a_1+4d=5，a_1+9d=14，解得a_1=1,d=3则a_6+a_7+a_8+a_9+a_10=5a_1+20d=105故选C

3.在△ABC中，若角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a^2+b^2-c^2=ab，则角C的大小为（）（2分）A.30°B.45°C.60°D.90°【答案】D【解析】由余弦定理cosC=a^2+b^2-c^2/2ab=1/2，得C=60°又a^2+b^2=c^2，故△ABC为直角三角形，C为直角故选D

4.若复数z满足z^2+2z+1=0，则|z|的值为（）（2分）A.1B.√2C.2D.0【答案】A【解析】z^2+2z+1=z+1^2=0，得z=-1|z|=|-1|=1故选A

5.函数fx=|x-1|+|x+2|的最小值为（）（2分）A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】fx在x=-2时取得最小值，f-2=3故选B

6.不等式|x|+|y|≤1所表示的平面区域面积为（）（2分）A.πB.2πC.4πD.8π【答案】A【解析】表示以原点为中心，边长为2的菱形，面积为2故选A

7.抛掷两枚质地均匀的骰子，点数之和为5的概率为（）（2分）A.1/6B.1/12C.5/36D.1/18【答案】A【解析】满足条件的情况有1,4,2,3,3,2,4,1，共4种总情况36种，概率为4/36=1/9故选A

8.已知直线l ax+by+c=0与圆O x^2+y^2=1相切，则a^2+b^2的值为（）（2分）A.1B.√2C.2D.4【答案】C【解析】圆心到直线的距离d=|c|/√a^2+b^2=1，得a^2+b^2=1故选C

9.设fx=e^x-x，则fx在区间-∞,+∞上（）（2分）A.单调递增B.单调递减C.先增后减D.先减后增【答案】A【解析】fx=e^x-1，当x0时fx0，当x0时fx0，故fx在-∞,0递减，在0,+∞递增故选A

10.已知三棱锥A-BCD的体积为V，若过顶点A的三个截面将三棱锥分成四个小三棱锥，则这四个小三棱锥的体积之比为（）（2分）A.1:1:1:1B.1:2:3:4C.1:3:5:7D.1:4:9:16【答案】A【解析】由等体积法，每个小三棱锥的体积均为V/4故选A

二、多选题（每题4分，共20分）

1.下列命题中正确的有（）（4分）A.若ab，则a^2b^2B.若fx是奇函数，则f-x=-fxC.若数列{a_n}单调递增，则a_n→+∞D.若sinα=1/2，则α=30°E.若函数fx在x=c处取得极值，则fc=0【答案】B、E【解析】A中若a,b异号则不成立；C中需加收敛条件；D中α=30°+k360°或150°+k360°；E为极值必要条件故选B、E

2.下列函数中，在其定义域内为增函数的有（）（4分）A.y=2^xB.y=lnxC.y=1/xD.y=x^2E.y=√x【答案】A、B、E【解析】y=2^x，y=lnx，y=√x在定义域内单调递增；y=1/x单调递减；y=x^2在x0时递增故选A、B、E

3.下列命题中正确的有（）（4分）A.若△ABC中，a^2=b^2+c^2，则△ABC为直角三角形B.若四边形ABCD的对角线互相垂直且平分，则ABCD为菱形C.若函数fx在x=c处取得极大值，则fc=0D.若圆x^2+y^2=r^2与直线ax+by+c=0相切，则a^2+b^2=r^2E.若向量a=1,2，b=3,4，则a⊥b【答案】A、C【解析】B中应为矩形；D中应为a^2+b^2=r^2+c^2；E中a·b=11≠0故选A、C

4.下列函数中，在区间0,1内单调递减的有（）（4分）A.y=1/xB.y=lnxC.y=x^2D.y=e^xE.y=√x【答案】A、B【解析】y=1/x，y=lnx在0,1单调递减；y=x^2单调递增；y=e^x单调递增；y=√x单调递增故选A、B

5.下列命题中正确的有（）（4分）A.若fx是偶函数，则fx是奇函数B.若fx是奇函数，则fx是偶函数C.若数列{a_n}单调递增，则a_n→+∞D.若数列{a_n}收敛，则其任一子列也收敛E.若数列{a_n}发散，则其任一子列也发散【答案】B、D【解析】A中fx为偶函数；C中需加条件；D为收敛数列性质；E中{a_n}发散可由子列发散证得故选B、D

三、填空题（每题4分，共20分）

1.若复数z=1+i，则|z|^2=________（4分）【答案】2【解析】|z|^2=1^2+1^2=

22.在△ABC中，若角A=45°，角B=60°，边a=2，则边b=________（4分）【答案】√6【解析】由正弦定理b=asinB/sinA=2√3/2/√2=√

63.函数fx=x^3-3x^2+2在区间[-1,3]上的最大值为________（4分）【答案】3【解析】f-1=50，f2=-40，f-1=4，f2=-2，f3=2，最大值为max{4,-2,2}=

44.不等式|x-1|+|x+2|3的解集为________（4分）【答案】-∞,-3∪0,+∞【解析】分x-2，-2≤x≤1，x1三段解得

5.已知向量a=2,1，b=1,-1，则向量a+b的坐标为________（4分）【答案】3,0【解析】a+b=2+1,1-1=3,0

四、判断题（每题2分，共10分）

1.若函数fx在x=c处取得极值，则fc=0（）（2分）【答案】（√）

2.若数列{a_n}单调递增，则a_n→+∞（）（2分）【答案】（×）【解析】需加收敛条件，如a_n有上界

3.若复数z满足z^2=z，则z=1（）（2分）【答案】（×）【解析】z=0也满足

4.若函数fx在区间I上单调递增，则fx在I上连续（）（2分）【答案】（×）【解析】单调递增函数不连续也可单调

5.若向量a=1,1，b=2,2，则a//b（）（2分）【答案】（√）【解析】b=2a，故平行

五、简答题（每题5分，共15分）

1.求函数fx=x^3-3x^2+2的极值点（5分）【解析】fx=3x^2-6x=3xx-2，令fx=0得x=0,2fx=6x-6，f0=-60，f2=60故x=0为极大值点，x=2为极小值点

2.求函数fx=x^3-3x^2+2在区间[-1,3]上的最大值和最小值（5分）【解析】f-1=50，f-1/2=15/80，f1=-30，f2=-40，f3=120端点值f-1=4，f3=2，驻点值f-1/2=15/8，f1=0，f2=-2最大值为4，最小值为-

23.证明若函数fx在区间I上连续，且在I上单调递增，则fx在I上取到最小值和最大值（5分）【解析】任取x_1,x_2∈I，x_1x_2，由单调性fx_1≤fx_2若fx在I上无界，则存在x_n→+∞，fx_n→+∞，与x_n∈I矛盾故fx有上界M最小值min=fx_0，其中x_0为使fx_0≤fx对任意x∈I成立的点最大值max=fx_n，其中x_n为使fx_n≥fx对任意x∈I成立的点

六、分析题（每题10分，共20分）

1.已知函数fx=x^3-ax^2+bx在x=1时取得极大值，且f0=0，求a,b的值（10分）【解析】fx=3x^2-2ax+b，由极值条件f1=0，f1=6-2a0，得a=3,b=-3又f0=0，代入b=-3得b=-3解得a=3,b=-

32.已知数列{a_n}的前n项和为S_n=n^2+n，求a_n的通项公式（10分）【解析】当n=1时a_1=S_1=2当n≥2时a_n=S_n-S_{n-1}=2n故a_n=2n需验证n=1时成立，故a_n=2n

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.已知圆C x^2+y^2-2x+4y-3=0，直线l ax+by+c=0（10分）

（1）求圆C的圆心和半径；（10分）

（2）若直线l与圆C相切，求a,b,c满足的条件（15分）【解析】

（1）配方得x-1^2+y+2^2=4，圆心1,-2，半径2

（2）圆心到直线距离d=|a-2b+c|/√a^2+b^2=2，得a-2b+c^2=4a^2+b^

22.已知函数fx=|x^3-3x^2+2|（15分）

（1）求函数fx的表达式；（15分）

（2）求函数fx的单调区间和极值（25分）【解析】

（1）fx=|x^3-3x^2+2|=|x^2x-3+2|因式分解得fx=|x^2x-3+2|

（2）fx=3x^2-6x=3xx-2，令fx=0得x=0,2fx=6x-6，f0=-60，f2=60故x=0为极大值点，x=2为极小值点---标准答案

一、单选题

1.A

2.C

3.D

4.A

5.B

6.A

7.A

8.C

9.A

10.A

二、多选题

1.B、E

2.A、B、E

3.A、C

4.A、B

5.B、D

三、填空题

1.

22.√

63.

34.-∞,-3∪0,+∞

5.3,0

四、判断题

1.（√）

2.（×）

3.（×）

4.（×）

5.（√）

五、简答题

1.x=0为极大值点，x=2为极小值点

2.最大值为4，最小值为-

23.证明略

六、分析题

1.a=3,b=-

32.a_n=2n

七、综合应用题

1.

（1）圆心1,-2，半径2

（2）a^2+b^2=4a-2b+c^

22.

（1）fx=|x^2x-3+2|

（2）单调区间-∞,0,0,2,2,+∞；极大值点x=0，极小值点x=2。