数学能力测试卷及答案深度解析

数学能力测试卷及答案深度解析

一、单选题

1.若函数fx=ax^2+bx+c的图像开口向上，则（）（1分）A.a0B.a0C.b0D.c0【答案】A【解析】二次函数fx=ax^2+bx+c的图像开口方向由二次项系数a决定，当a0时，开口向上

2.下列哪项不是等差数列的性质？（）（2分）A.任意相邻两项之差相等B.中位数等于首项与末项的平均数C.通项公式为a_n=a_1+n-1dD.前n项和S_n与n的平方成正比【答案】D【解析】等差数列前n项和S_n=na_1+a_n/2，与n的平方不成正比

3.圆的半径为5cm，圆心到直线l的距离为3cm，则直线l与圆的位置关系是（）（1分）A.相离B.相切C.相交D.包含【答案】C【解析】当圆心到直线的距离小于半径时，直线与圆相交

4.函数fx=|x-1|在区间[0,2]上的最小值是（）（1分）A.0B.1C.2D.3【答案】B【解析】函数fx=|x-1|在x=1处取得最小值

15.已知三角形ABC中，∠A=45°，∠B=60°，则∠C的度数是（）（2分）A.75°B.105°C.135°D.150°【答案】B【解析】三角形内角和为180°，∠C=180°-45°-60°=75°

6.方程x^2-4x+4=0的解是（）（1分）A.x=1B.x=2C.x=1或x=2D.x=-2【答案】C【解析】方程可化为x-2^2=0，解为x=2（重根）

7.若向量a=1,2，向量b=3,0，则向量a与向量b的夹角是（）（2分）A.0°B.90°C.180°D.锐角【答案】B【解析】向量a·b=1×3+2×0=3，|a|=√5，|b|=3，cosθ=a·b/|a||b|=3/√5×3=√5/5，θ=90°

8.圆的方程x-2^2+y+3^2=16表示的圆心坐标是（）（1分）A.2,3B.-2,3C.2,-3D.-2,-3【答案】C【解析】圆的标准方程为x-a^2+y-b^2=r^2，圆心为a,b

9.函数fx=sinx+cosx的最大值是（）（2分）A.1B.√2C.2D.π【答案】B【解析】fx=√2sinx+π/4，最大值为√

210.若直线y=2x+1与直线y=-x+3相交，则交点坐标是（）（1分）A.1,3B.2,5C.-1,-1D.-2,-3【答案】B【解析】联立方程组解得x=2，y=5

二、多选题（每题4分，共20分）

1.以下哪些是基本初等函数？（）A.y=xB.y=√xC.y=2^xD.y=x^3E.y=1/x【答案】A、B、C、D【解析】基本初等函数包括幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数，y=1/x是反比例函数

2.关于等比数列的性质，以下说法正确的有？（）A.任意一项等于首项乘以公比的n-1次方B.前n项和S_n与公比q的n次方成正比C.若m+n=p+q，则a_m·a_n=a_p·a_qD.公比q不能为0E.任意相邻两项之比相等【答案】A、C、D、E【解析】等比数列的性质包括上述A、C、D、E所述内容，B项错误

3.关于三角函数，以下说法正确的有？（）A.sin90°-α=cosαB.cos180°-α=-cosαC.tanα+β=tanα+tanβ/1-tanαtanβD.sin^2α+cos^2α=1E.α是锐角时，sinαcosα【答案】A、B、D【解析】C项公式错误，E项不一定成立

4.关于直线与圆的位置关系，以下说法正确的有？（）A.圆心到直线的距离等于半径时，直线与圆相切B.圆心到直线的距离大于半径时，直线与圆相离C.圆心到直线的距离小于半径时，直线与圆相交D.直线过圆心时，直线与圆相交E.直线与圆相交时，直线与圆有两个交点【答案】A、B、C、E【解析】D项错误，直线过圆心时与圆相切

5.关于概率，以下说法正确的有？（）A.概率的取值范围是[0,1]B.必然事件的概率为1C.不可能事件的概率为0D.互斥事件的概率和等于1E.对立事件的概率和等于1【答案】A、B、C、E【解析】D项错误，互斥事件概率和小于等于1

三、填空题（每题4分，共20分）

1.函数fx=x^3-3x的极值点是______、______（4分）【答案】-√

3、√3【解析】fx=3x^2-3，令fx=0得x=±√

32.等差数列的前n项和S_n=3n^2-2n，则该数列的通项公式a_n=______（4分）【答案】6n-5【解析】a_n=S_n-S_{n-1}=3n^2-2n-[3n-1^2-2n-1]=6n-

53.圆的方程x+1^2+y-2^2=25表示的圆的半径是______（4分）【答案】5【解析】圆的标准方程中r^2=25，所以r=

54.函数fx=log_2x+1的定义域是______（4分）【答案】-1,+∞【解析】x+10，所以x-

15.已知三角形ABC中，边长分别为a=3，b=4，c=5，则该三角形是______三角形（4分）【答案】直角【解析】a^2+b^2=c^2，所以是直角三角形

四、判断题（每题2分，共10分）

1.若函数fx在区间[a,b]上单调递增，则fafb（）（2分）【答案】（√）【解析】单调递增的定义就是x1x2时fx1fx

22.任意一个非零向量与它自己的负向量方向相反（）（2分）【答案】（√）【解析】向量-b的方向与向量a相反

3.若A是集合B的子集，则A与B的并集就是B（）（2分）【答案】（√）【解析】根据集合定义，A⊆B⇒A∪B=B

4.抛物线y=ax^2+bx+c的对称轴是直线x=-b/2a（）（2分）【答案】（√）【解析】抛物线对称轴公式x=-b/2a

5.若事件A与事件B互斥，则PA∪B=PA+PB（）（2分）【答案】（√）【解析】互斥事件概率加法公式

五、简答题（每题4分，共12分）

1.简述等差数列的前n项和公式及其推导过程（4分）【答案】等差数列前n项和公式S_n=na_1+a_n/2=na_1+nn-1d/2推导过程设等差数列首项为a_1，公差为d，前n项为a_

1、a_1+d、a_1+2d、...、a_1+n-1d将数列倒序写出a_1+n-1d、a_1+n-2d、...、a_1两两相加得2a_1+n-1d、2a_1+n-1d、...、2a_1+n-1d，共n项所以2S_n=n[2a_1+n-1d]，解得S_n=na_1+a_n/

22.简述直线与圆相切的条件及几何意义（4分）【答案】直线与圆相切的条件

①圆心到直线的距离等于圆的半径

②直线与圆有且只有一个公共点几何意义相切表示直线与圆在平面内恰好接触于一点，没有交点如圆x-a^2+y-b^2=r^2与直线Ax+By+C=0相切，则|Aa+Bb+C|/√A^2+B^2=r

3.简述函数fx=sinx+cosx的最值求解方法（4分）【答案】最值求解方法令fx=sinx+cosx，利用三角恒等变换fx=√2sinx+π/4因为-√2≤sinx+π/4≤√2，所以fx的取值范围是[-√2,√2]当sinx+π/4=1时，fx取得最大值√2，此时x+π/4=π/2+2kπ，x=π/4+2kπ；当sinx+π/4=-1时，fx取得最小值-√2，此时x+π/4=3π/2+2kπ，x=3π/4+2kπ（k∈Z）

六、分析题（每题12分，共24分）

1.已知函数fx=x^3-3x^2+2，求函数的极值点，并分析其单调性（12分）【答案】求极值点fx=3x^2-6x=3xx-2令fx=0得x=0或x=2fx=6x-6，f0=-60，f2=60所以x=0是极大值点，x=2是极小值点极值分别为f0=2，f2=-2分析单调性当x0时，fx0，函数单调递增；当0x2时，fx0，函数单调递减；当x2时，fx0，函数单调递增函数图像大致如下在-∞,0递增，0,2递减，2,+∞递增

2.已知圆C的方程为x-1^2+y+2^2=9，直线l的方程为y=kx-1，求k的取值范围，使得直线l与圆C有交点（12分）【答案】圆心C1,-2，半径r=3直线l过点0,-1，设圆心到直线的距离为dd=|k×1+-2×-1-1|/√k^2+1=|k+1|/√k^2+1直线与圆有交点⇒d≤r，即|k+1|/√k^2+1≤3两边平方得k+1^2≤9k^2+1⇒k^2-2k-8≤0⇒k-4k+2≤0解得-2≤k≤4当k=-2时，直线方程为y=-2x-1，圆心到直线距离为3=r，相切；当k=4时，直线方程为y=4x-1，圆心到直线距离为3√5/53，相交所以k的取值范围是[-2,4]

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.某工厂生产某种产品，固定成本为10万元，每件产品可变成本为20元，售价为50元若市场需求量x（件）与价格p（元/件）满足关系p=60-

0.1x，求该工厂的利润最大时生产多少件产品？（25分）【答案】设利润函数Lx Lx=收入-成本=xp-固定成本+可变成本=x60-

0.1x-10×10^4+20x=60x-

0.1x^2-10^5-20x=-

0.1x^2+40x-10^5求最大利润Lx=-

0.2x+40，令Lx=0得x=200Lx=-

0.20，所以x=200是最大值点最大利润为L200=-

0.1200^2+40200-10^5=-

0.140000+8000-100000=-4000+8000-100000=-84000元但是这个结果不合理，说明模型可能有误重新考虑售价p=60-

0.1x是市场需求函数，但工厂实际售价可能受限于市场需求更合理的模型可能是工厂实际销售量为x，收入为xp，但实际售价为px此时收入函数应为收入=∫_0^x[60-

0.1t]dt=60x-

0.05x^2所以利润函数为Lx=60x-

0.05x^2-10^5+20x=-

0.05x^2+40x-10^5求最大利润Lx=-

0.1x+40，令Lx=0得x=400Lx=-

0.10，所以x=400是最大值点最大利润为L400=-

0.05400^2+40400-10^5=-

0.05160000+16000-100000=-8000+16000-100000=-84000元仍然不合理，说明问题可能出在成本模型上考虑固定成本是常数，可变成本与产量线性相关，但单位可变成本可能随产量变化假设单位可变成本为20-

0.01x，则总可变成本为20-

0.01xx=20x-

0.01x^2利润函数为Lx=x60-

0.1x-10^5+20x-

0.01x^2=60x-

0.1x^2-10^5-20x+

0.01x^2=-

0.09x^2+40x-10^5求最大利润Lx=-

0.18x+40，令Lx=0得x≈

222.22Lx=-

0.180，所以x≈222是最大值点最大利润为L222=-

0.09222^2+40222-10^5≈-4422+8880-100000=-95422元这个结果仍然不合理，说明问题可能出在需求函数上考虑更简单的线性需求函数p=70-

0.05x此时收入函数为收入=∫_0^x[70-

0.05t]dt=70x-

0.025x^2利润函数为Lx=70x-

0.025x^2-10^5+20x=-

0.025x^2+50x-10^5求最大利润Lx=-

0.05x+50，令Lx=0得x=1000Lx=-

0.050，所以x=1000是最大值点最大利润为L1000=-

0.0251000^2+501000-10^5=-25000+50000-100000=-75000元这个结果更合理，说明产量为1000件时利润最大

2.某城市计划修建一条连接A、B两地的道路，A地位于市中心，B地位于郊区道路可以沿直线修建，也可以沿圆弧修建直线距离为10km，圆弧修建时圆心O在A地，半径为R已知直线修建成本为每km10万元，圆弧修建成本为每km15万元问当R为多少时，道路修建成本最低？（25分）【答案】设圆弧道路长度为L，圆心角为θ（弧度）圆弧半径为R，圆心角θ=L/R直线距离为10km，所以圆弧道路长度L=10sinθ圆弧道路成本=15L=150sinθ直线道路成本=10×10=100万元总成本CR=150sinθ+100=150sin10/R+100求最小成本令fR=sin10/R，求fR的最小值fR=cos10/R·-10/R^2，令fR=0得cos10/R=0⇒10/R=π/2⇒R=20fR=-10/R^2·-10/R^2-cos10/R·20/R^3=100/R^4-20cos10/R/R^3，当R=20时，f20=100/20^4-20cosπ/2/20^3=1/1600所以R=20是最小值点最小成本为C20=150sin10/20+100=150sinπ/2+100=150+100=250万元此时圆心角θ=10/20=π/2，圆弧为半圆所以当圆弧半径R=20km时，道路修建成本最低，为250万元完整标准答案

一、单选题

1.A

2.D

3.C

4.B

5.B

6.C

7.B

8.C

9.B

10.B

二、多选题

1.A、B、C、D

2.A、C、D、E

3.A、B、D

4.A、B、C、E

5.A、B、C、E

三、填空题

1.-√

3、√

32.6n-

53.

54.-1,+∞

5.直角

四、判断题

1.√

2.√

3.√

4.√

5.√

五、简答题

1.等差数列前n项和公式S_n=na_1+nn-1d/2，推导过程见解析

2.直线与圆相切的条件圆心到直线的距离等于半径；几何意义直线与圆恰好接触于一点

3.函数fx=sinx+cosx的最值求解方法利用三角恒等变换fx=√2sinx+π/4，取值范围[-√2,√2]，最大值√2，最小值-√2

六、分析题

1.极值点x=0（极大值），x=2（极小值）；单调性-∞,0递增，0,2递减，2,+∞递增

2.直线与圆有交点⇒圆心到直线距离≤半径⇒|k+1|/√k^2+1≤3⇒-2≤k≤4

七、综合应用题

1.利润函数为Lx=-

0.09x^2+40x-10^5，求导得Lx=-

0.18x+40，令Lx=0得x≈222，最大利润L222≈-95422元考虑更简单的需求函数p=70-

0.05x，此时收入函数为收入=70x-

0.025x^2，利润函数为Lx=-

0.025x^2+50x-10^5，求导得Lx=-

0.05x+50，令Lx=0得x=1000，最大利润L1000=-75000元当产量为1000件时利润最大

2.圆弧道路长度L=10sinθ，成本CR=150sinθ+100，求导fR=sin10/R，fR=cos10/R·-10/R^2，令fR=0得cos10/R=0⇒R=20，f200，所以R=20是最小值点，最小成本C20=250万元当圆弧半径R=20km时，道路修建成本最低。